《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 第4版》課件 第三章 最優(yōu)化方法

第三章最優(yōu)化方法實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃一、線(xiàn)性規(guī)劃的概念二、線(xiàn)性規(guī)劃的圖解法三、用MATLAB優(yōu)化工具箱解線(xiàn)性規(guī)劃四、應(yīng)用舉例：投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃需占用機(jī)床產(chǎn)品機(jī)床甲乙機(jī)床可利用時(shí)間（百臺(tái)時(shí)）A2212B128C4016D0412利潤(rùn)（千元）23例1

資源的最佳利用問(wèn)題：一、線(xiàn)性規(guī)劃的概念

某工廠(chǎng)有A、B、C、D四種機(jī)床，可生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．一件產(chǎn)品需經(jīng)各臺(tái)機(jī)床加工的時(shí)間和利潤(rùn)情況如表所示，問(wèn)如何安排生產(chǎn)才能使得到的利潤(rùn)最高？實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃解設(shè)計(jì)劃生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件,且使達(dá)到最大值求的值，使其滿(mǎn)足條件實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃例2

運(yùn)輸問(wèn)題：

實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃設(shè)有兩個(gè)磚廠(chǎng)、，生產(chǎn)磚產(chǎn)量分別為23萬(wàn)塊與27萬(wàn)塊，、、三個(gè)工地，其需要量分別為17萬(wàn)塊，將磚供應(yīng)18萬(wàn)塊和15萬(wàn)塊．自產(chǎn)地到工地的運(yùn)價(jià)如表所示．解且使具有最小值設(shè)由磚廠(chǎng)運(yùn)往工地的磚的運(yùn)量為（單位：萬(wàn)塊）求的值，使其滿(mǎn)足條件實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃①需要確定一組變量的值，這些變量通常稱(chēng)為決策變量，簡(jiǎn)稱(chēng)變量，它們通常是非負(fù)的.②對(duì)于決策變量，存在著可用一組線(xiàn)性等式或不等式來(lái)表達(dá)的限制條件，這些條件稱(chēng)為約束條件.③有一個(gè)可以表示為決策變量的線(xiàn)性函數(shù)的目標(biāo)要求，這一函數(shù)稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)．按問(wèn)題的不同要求，可要求目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值．

在線(xiàn)性約束條件下，要求一組決策變量的值，使線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的問(wèn)題，就叫做線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，常用符號(hào)LP(LinearProgramming)表示。以上兩個(gè)例子具有三個(gè)共同的特征：實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃，也稱(chēng)非負(fù)條件；稱(chēng)為價(jià)值系數(shù)．滿(mǎn)足約束條件的決策變量的一組值，稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃的可行解使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到所要求的最大值或最小值的可行解，稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃的最優(yōu)解，也就是線(xiàn)性規(guī)劃的解．

求線(xiàn)性規(guī)劃的解的過(guò)程叫做解線(xiàn)性規(guī)劃．實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃,達(dá)到所要求的最大值或最小值s.t.(subjectedto)標(biāo)準(zhǔn)形式矩陣形式s.t.實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃只含兩個(gè)決策變量的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，可以用圖解法求解．二、線(xiàn)性規(guī)劃的圖解法約束條件目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值，當(dāng)直線(xiàn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，于是最優(yōu)解是最優(yōu)值為例1實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃約束條件目標(biāo)函數(shù)例3

解線(xiàn)性規(guī)劃：?jiǎn)栴}無(wú)最優(yōu)解線(xiàn)性規(guī)劃有唯一解、無(wú)窮多解或無(wú)解三種情況．

對(duì)于決策變量?jī)蓚€(gè)以上的線(xiàn)性規(guī)劃就不能用圖解法，最常用、最有效的算法之一是單純形方法。實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃minz=cX

1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）

2、模型：minz=cX

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注：若沒(méi)有不等式約束條件存在，則令A(yù)=[]，b=[].三、解線(xiàn)性規(guī)劃的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃3、模型：minz=cX

VLB≤X≤VUB命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）

[2]

x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）注意：[1]若沒(méi)有等式約束

,則令A(yù)eq=[],beq=[].

[2]其中X0表示初始點(diǎn)

4、命令：[x,fval]=linprog(…)返回最優(yōu)解ｘ及ｘ處的目標(biāo)函數(shù)值fval.實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃x=

4

2A=[11;12;10;01];b=[6,8,4,3];c=-[2,3];A1=[];b1=[];v1=[0,0];x=linprog(c,A,b,A1,b1,v1)↙例1

資源的最佳利用問(wèn)題：實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃A=[11;12;10;01];b=[6,8,4,3];c=-[2,3];A1=[];b1=[];v1=[0,0];x=linprog(c,A,b,A1,b1,v1)z=-c*x↙x=

4

2z=

14A=[11;12;10;01];b=[6,8,4,3];c=-[2,3];A1=[];b1=[];v1=[0,0];[x,fval]=linprog(c,A,b,A1,b1,v1)↙x=

4

2fval=-14實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃a=[1,1,1,0,0,0;0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1];b=[23,27,17,18,15];c=[50,60,70,60,110,160];v1=zeros(1,6);[x,fval]=linprog(c,[],[],a,b,v1)↙例2運(yùn)輸問(wèn)題：

實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃具有最小值．x=

0

8

15

17

10

0fval=

3650即以下運(yùn)輸方案是最優(yōu)的運(yùn)量（萬(wàn)塊）工地磚廠(chǎng)081517100實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃約束條件目標(biāo)函數(shù)例3解線(xiàn)性規(guī)劃：a=[-2,1;1,-1];b=[4,2];c=-[1,1];v1=[0,0];x=linprog(c,a,b,[],[],v1)↙實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題無(wú)界。x=[]表明此線(xiàn)性規(guī)劃無(wú)最優(yōu)解.四、應(yīng)用舉例：投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)1、問(wèn)題提出實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)（i=1,2……n）可以選擇，

現(xiàn)用數(shù)額為M的相當(dāng)大的資金作一個(gè)時(shí)期的投資。

這n種資產(chǎn)在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)的平均收益率為風(fēng)險(xiǎn)損失率為，投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資的

中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。

購(gòu)買(mǎi)時(shí)要付交易費(fèi)，(費(fèi)率)，

當(dāng)購(gòu)買(mǎi)額不超過(guò)給定值時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買(mǎi)計(jì)算。

另外，假定同期銀行存款利率是，既無(wú)交易費(fèi)又無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。

（=5%）

已知n=4時(shí)相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定達(dá)到資金M，有選擇地購(gòu)買(mǎi)若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，使總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃符號(hào)規(guī)定基本假設(shè)實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃2、模型的建立(1)

總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)衡量，即(3)

要使凈收益盡可能大,總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小,這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃。實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃(2)

購(gòu)買(mǎi)

所付交易費(fèi)是一個(gè)分段函數(shù)，即交易費(fèi)=可以忽略不計(jì)，這樣購(gòu)買(mǎi)的凈收益為而題目所給定的定值(單位:元)相對(duì)總投資M很小,

更小，目標(biāo)函數(shù)

約束條件模型1

固定風(fēng)險(xiǎn)水平，優(yōu)化收益約束條件：目標(biāo)函數(shù)：實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃3、模型簡(jiǎn)化(1)在實(shí)際投資中，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)程度不一樣，若給定風(fēng)險(xiǎn)一個(gè)界限a，使最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)

可找到相應(yīng)的投資方案。這樣把多目標(biāo)規(guī)劃變成一個(gè)目標(biāo)的線(xiàn)性規(guī)劃。

(2)若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合。模型2

固定盈利水平，極小化風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)函數(shù)：約束條件：實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)：

模型3

約束條件：實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃(3)投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時(shí)，希望選擇一個(gè)令自己滿(mǎn)意的投資組合。

因此對(duì)風(fēng)險(xiǎn)、收益賦予權(quán)重

稱(chēng)為投資偏好系數(shù)。4、模型求解

模型1實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃

由于a是任意給定的風(fēng)險(xiǎn)度，到底怎樣給定沒(méi)有一個(gè)準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的風(fēng)險(xiǎn)度。我們從a=0開(kāi)始，以步長(zhǎng)△a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.'),axis([00.100.5])holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')↙實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃部分計(jì)算結(jié)果如下：a=0.0030x=0.49490.12000.20000.05450.1154Q=0.1266a=0.0060x=0.00000.24000.40000.10910.2212Q=0.2019a=0.0080x=0.00000.32000.53330.12710.0000Q=0.2112a=0.0100x=0.00000.40000.58430.00000.0000Q=0.2190a=0.0200x=0.00000.80000.18820.00000.0000Q=0.2518a=0.0400x=0.00000.99010.00000.00000.0000Q=0.2673生成圖實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃5、結(jié)果分析(3)

曲線(xiàn)上的任一點(diǎn)都表示該風(fēng)險(xiǎn)水平的最大可能收益和該收益要求的最小風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于不同風(fēng)險(xiǎn)的承受能力，選擇該風(fēng)險(xiǎn)水平下的最優(yōu)投資組合。(2)

當(dāng)投資越分散時(shí)，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小，這與題意一致。即:冒險(xiǎn)的投資者會(huì)出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。(1)

風(fēng)險(xiǎn)越大，收益也越大。實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃(4)在a=0.006附近有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這一點(diǎn)左邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很少時(shí)，利潤(rùn)增長(zhǎng)很快。在這一點(diǎn)右邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很大時(shí)，利潤(rùn)增長(zhǎng)很緩慢。所以對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒(méi)有特殊偏好的投資者來(lái)說(shuō)，應(yīng)該選擇曲線(xiàn)的拐點(diǎn)作為最優(yōu)投資組合。類(lèi)似地,可解模型2和3.大約是a*=0.6%，Q*=20%，所對(duì)應(yīng)投資方案為:

風(fēng)險(xiǎn)度收益

x0x1x2x3x40.00600.201900.24000.40000.10910.2212實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃模型2目標(biāo)函數(shù)：約束條件：模型2’目標(biāo)函數(shù)：約束條件：實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)：

模型3

約束條件：目標(biāo)函數(shù)：

模型3’

約束條件：實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃第三章最優(yōu)化方法實(shí)驗(yàn)3.1線(xiàn)性規(guī)劃實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃一、非線(xiàn)性規(guī)劃的概念二、二次規(guī)劃三、無(wú)約束非線(xiàn)性規(guī)劃四、帶約束非線(xiàn)性規(guī)劃五、應(yīng)用舉例一、非線(xiàn)性規(guī)劃的概念

如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件中包含非線(xiàn)性函數(shù)，就稱(chēng)這種規(guī)劃問(wèn)題為非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.

一般說(shuō)來(lái)，解非線(xiàn)性規(guī)劃要比解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題困難得多.而且，也不象線(xiàn)性規(guī)劃有單純形法這一通用方法，非線(xiàn)性規(guī)劃目前還沒(méi)有適于各種問(wèn)題的一般算法，各個(gè)方法都有自己特定的適用范圍.

下面通過(guò)實(shí)例歸納出非線(xiàn)性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式，介紹有關(guān)非線(xiàn)性規(guī)劃的基本概念.實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃故有限制條件元.試選擇最佳投資方案.元，并預(yù)計(jì)可收益?zhèn)€項(xiàng)目可供選擇投資，并且至少要對(duì)（投資決策問(wèn)題）某企業(yè)有元，投資于第個(gè)項(xiàng)目需花資金例4其中一個(gè)項(xiàng)目投資.已知該企業(yè)擁有總資金解設(shè)投資決策變量為則投資總額為，投資總收益為因?yàn)楣局辽僖獙?duì)一個(gè)項(xiàng)目投資，并且總的投資金額不能超過(guò)總資金A，實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃另外，由于只取值0或1，所以還有最佳投資方案應(yīng)是投資額最小而總收益最大的方案.s.t.所以這個(gè)最佳投資決策問(wèn)題歸結(jié)為總資金以及決策變量（取0或1）的限制條件下，極大化總收益和總投資之比.因此，其數(shù)學(xué)模型為：實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃

上面例題是在一組等式或不等式的約束下，求一個(gè)函數(shù)的最大值（或最小值）問(wèn)題，其中目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個(gè)非線(xiàn)性函數(shù)，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)之為非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，簡(jiǎn)記為（NP）.其中稱(chēng)為決策變量，稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)，和稱(chēng)為約束函數(shù).稱(chēng)為等式約束，稱(chēng)為不等式約束.實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃可概括為一般形式

對(duì)于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，在把它歸結(jié)成非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，一般要注意以下幾點(diǎn)：(1)確定供選方案：首先要收集同問(wèn)題有關(guān)的資料和數(shù)據(jù)，在全面熟悉問(wèn)題的基礎(chǔ)上，確認(rèn)什么是問(wèn)題的可供選擇的方案，并用一組變量來(lái)表示它們.(2)提出追求目標(biāo)：經(jīng)過(guò)資料分析，根據(jù)實(shí)際需要和可能，提出要追求極小化或極大化的目標(biāo).并且，運(yùn)用各種科學(xué)和技術(shù)原理，把它表示成數(shù)學(xué)關(guān)系式.(3)給出價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)：在提出要追求的目標(biāo)之后，要確立所考慮目標(biāo)的“好”或“壞”的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)，并用某種數(shù)量形式來(lái)描述它.實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃(4)尋求限制條件：由于所追求的目標(biāo)一般都要在一定的條件下取得極小化或極大化效果，因此還需要尋找出問(wèn)題的所有限制條件，這些條件通常用變量之間的一些不等式或等式來(lái)表示.

如果線(xiàn)性規(guī)劃的最優(yōu)解存在，其最優(yōu)解只能在其可行域的邊界上達(dá)到（特別是可行域的頂點(diǎn)上達(dá)到）；而非線(xiàn)性規(guī)劃的最優(yōu)解（如果最優(yōu)解存在）則可能在其可行域的任意一點(diǎn)達(dá)到.我們先來(lái)討論最簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性規(guī)劃——二次規(guī)劃．實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃二、二次規(guī)劃

二次規(guī)劃（QuadraticProgramming，記作QP）指目標(biāo)函數(shù)是二次函數(shù)，約束條件為線(xiàn)性的.其一般形式為：s.t.為階對(duì)稱(chēng)矩陣，特別地，當(dāng)正定時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，線(xiàn)性約束下可行域是凸集，稱(chēng)為凸二次規(guī)劃．實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃式中的意義與線(xiàn)性規(guī)劃相同，、、、、MATLAB解二次規(guī)劃的程序：

1. x=quadprog(H,c,A,b);2. x=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq);3. x=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);4. x=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0);5. x=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options);6. [x,fval]=quaprog(...);7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...);8. [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃例5

求解

s.t.解輸入命令：H=[2-2;-24];c=[-4;-12];A=[-12;21];b=[2;3];

Aeq=[1,1];beq=[2];VLB=[0;0];VUB=[];[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)↙

實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃x=0.66671.3333z=

-16.4444三、無(wú)約束非線(xiàn)性規(guī)劃無(wú)約束非線(xiàn)性規(guī)劃的一般形式是可以是非線(xiàn)性的．其中[x,fval]=fminbnd(fun,x1,x2,options)，這里fun是用M文件定義的函數(shù)或Matlab中的單變量數(shù)學(xué)函數(shù).這實(shí)際上就是多元函數(shù)極值問(wèn)題．1．求單變量有界非線(xiàn)性函數(shù)在區(qū)間上的極小值:Matlab的命令為它的返回值是極小值點(diǎn)和函數(shù)的極小值.實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃例6

求函數(shù)

的最小值.

解編寫(xiě)M文件fun1.mfunctionf=fun1(x);f=(x-3)^2-1;在Matlab的命令行窗口輸入[x,y]=fminbnd('fun1',0,5)↙

即可求得極小值點(diǎn)和極小值.x=3y=-1實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃例7

求在中的最小值與最大值

解：命令如下f=@(x)2*exp(-x).*sin(x)';[xmin,ymin]=fminbnd(f,0,8)f1=@(x)-2*exp(-x).*sin(x)';%f的最大值點(diǎn)即-f的最小值點(diǎn)[xmax,ymax]=fminbnd(f1,0,8)↙運(yùn)行結(jié)果：xmin=3.9270ymin=-0.0279xmax=0.7854ymax=-0.6448實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃

所以函數(shù)在x=3.9270處取得最小值-0.0279，在x=0.7854處取得最大值0.6448.，則水槽的容積為：例8有一張邊長(zhǎng)為3m的正方形鐵板，在四個(gè)角剪去相等的正方形以制成方形無(wú)蓋水槽，問(wèn)如何剪可使水槽的容積最大？解設(shè)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為建立無(wú)約束優(yōu)化模型為：先編寫(xiě)M文件fun2.m如下:functionf=fun2(x)f=-(3-2*x).^2*x;主程序?yàn)?[x,fval]=fminbnd('fun2',0,1.5);xmax=xfmax=-fval↙實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃運(yùn)算結(jié)果為:xmax=0.5000fmax=2.0000即剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為0.5米時(shí)水槽的容積最大,最大容積為2立方米.實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃2．求多變量函數(shù)的極小值其中是一個(gè)向量，是一個(gè)標(biāo)量函數(shù).Matlab中求解多變量函數(shù)極小值的基本命令有兩個(gè)：[x,fval]=fminunc(fun,x0,options,p1,p2,...)[x,fval]=fminsearch(fun,x0,options,p1,p2,...).實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃例9

求解

解：編寫(xiě)M-文件fun3.m:functionf=fun3(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

x0=[-1,1];

[x,y]=fminunc('fun3',x0)↙x=0.5000-1.0000y=

3.6609e-15實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃[x,y]=fminsearch('fun3',x0)↙x=0.5000-1.0000y=5.1425e-10四、帶約束非線(xiàn)性規(guī)劃

帶有約束條件的極值問(wèn)題稱(chēng)為約束極值問(wèn)題，也叫約束規(guī)劃問(wèn)題.求解約束極值問(wèn)題要比求解無(wú)約束極值問(wèn)題困難得多.為了簡(jiǎn)化其優(yōu)化工作，可采用以下方法：帶約束非線(xiàn)性規(guī)劃的一般形式為:其中是定義在上的實(shí)值函數(shù)．實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃將約束問(wèn)題化為無(wú)約束問(wèn)題；將非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，以及能將復(fù)雜問(wèn)題變換為較簡(jiǎn)單問(wèn)題的其它方法.標(biāo)準(zhǔn)型為：用Matlab解非線(xiàn)性規(guī)劃的一般步驟是：（1）首先建立M文件fun.m，定義目標(biāo)函數(shù)F(ｘ):functionf=fun(ｘ);f=F(ｘ);（2）若約束條件中有非線(xiàn)性約束:C(x)<=0或Ceq(x)=0，則建立M文件nonlcon.m定義函數(shù)C(x)與Ceq(x):Function[C,Ceq]=nonlcon(x)C=...Ceq=...實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃（3）建立主程序．非線(xiàn)性規(guī)劃求解的函數(shù)是fmincon，命令的基本格式如下：①x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)②x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)③x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)④x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)⑤x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)⑥[x,fval]=fmincon(...)其中x為返回的自變量的值，fval為返回的函數(shù)的值，X0為迭代的初值，VLB,VUB變量上下限，options參數(shù)說(shuō)明．實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃例10

求s.t.解

（1）先建立M文件fun4.m,定義目標(biāo)函數(shù):functionf=fun4(x);f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);（2）再建立M文件mycon.m定義非線(xiàn)性約束：function[g,ceq]=mycon(x)g=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];ceq=0;實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃（3）求解非線(xiàn)性規(guī)劃:x0=[-1;1];A=[];b=[];Aeq=[11];beq=[0];vlb=[];vub=[];[x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon')↙（4）運(yùn)算結(jié)果為：

x=-3.16233.1623fval=1.1566實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃例11

拋物面被平面截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最短距離．解（1）先建立M文件fun5.m,定義目標(biāo)函數(shù):functionf=fun5(x)f=sqrt(x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2);（2）再建立M文件mycon1.m定義非線(xiàn)性約束：function[g,ceq]=mycon1(x)g=0;ceq=x(1)^2+x(2)^2-x(3);實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃（4）運(yùn)算結(jié)果為：x=0.36600.36600.2679fval=0.5829實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃（3）求解非線(xiàn)性規(guī)劃:x0=[0;0;0];A=[];b=[];Aeq=[111];beq=[1];vlb=[];vub=[];[x,fval]=fmincon('fun5',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1')

↙例12資金使用問(wèn)題：設(shè)有400萬(wàn)元資金,要求4年內(nèi)使用完,若在一年內(nèi)使用資金x萬(wàn)元,則可得效益年利率為10%.試制定出資金的使用計(jì)劃,以使4年效益之和為最大.萬(wàn)元(效益不能再使用),當(dāng)年不用的資金可存入銀行,解設(shè)變量表示第i年所使用的資金數(shù),則有

實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃（1）先建立M文件fun6.m,定義目標(biāo)函數(shù):functionf=fun6(x)f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)));（2）由于沒(méi)有非線(xiàn)性約束條件，可直接求解非線(xiàn)性規(guī)劃:

x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];A=[1,0,0,0;1.1,1,0,0;1.21,1.1,1,0;1.331,1.21,1.1,1];b=[400,440,484,532.4];Aeq=[];beq=[];[x,fval]=fmincon('fun6',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)↙實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃（3）結(jié)果為:實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃x=86.1883104.2878126.1883152.6879fval=-43.0860五、應(yīng)用舉例:供應(yīng)與選址總的噸千米數(shù)最?。?/p>

某公司有6個(gè)建筑工地，每個(gè)工地的位置（用平面坐標(biāo)a，b表示，單位：km）及水泥日用量d（單位：t）由表給出．目前有兩個(gè)臨時(shí)料場(chǎng)位于，日儲(chǔ)量各有20t．（1）假設(shè)從料場(chǎng)到工地之間均有直線(xiàn)道路相連，試制訂每天的供應(yīng)計(jì)劃，即從A、B兩料場(chǎng)分別向各工地運(yùn)送多少?lài)嵥?，使工?234561.258.750.55.7537.251.250.754.7556.57.753547611（2）為了進(jìn)一步減少?lài)嵡讛?shù)，打算舍棄兩個(gè)臨時(shí)料場(chǎng)，改建兩個(gè)新的，日儲(chǔ)量仍各為20t，問(wèn)應(yīng)建在何處，節(jié)省的噸千米數(shù)有多大．實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃62，因此目標(biāo)函數(shù)為：解向工地從料場(chǎng)的運(yùn)送量為記工地的位置為，水泥日用量，，料場(chǎng)位置為，日儲(chǔ)量為約束條件實(shí)驗(yàn)3.2非線(xiàn)性規(guī)劃，這是一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，（1）當(dāng)用臨時(shí)料場(chǎng)時(shí)，決策變量為計(jì)算程序如下：a=[1.258.750.55.7537.25];b=[1.250.754.7556.57.75];d=[3547611]';e=[2020]';g=[51];h=[27];c=zeros(1,12);fori=1:6c(i)=sqrt((g(1)-a(i))^2+(g(2)-b(i))^2);c(i+6)=sqrt((h(1)-a(i))^2+(h(2)-b(i))^2);endA=[ones(1,6),zeros(1,6);zeros(1,6),one