微積分第3版課件 9第一節(jié) 常微分方程的基本概念

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解第九章微分方程與差分方程9.1常微分方程的基本概念設(shè)所求曲線方程為所求曲線方程為例9.1用水管以每分鐘

的速度向長(zhǎng)方形水池里注水，水池的底面積為.已知注水前水池里的水深為，求水深的表達(dá)式.解則，第九章微分方程與差分方程9.1常微分方程的基本概念求不定積分得例9.1用水管以每分鐘

的速度向長(zhǎng)方形水池里注水，水池的底面積為.已知注水前水池里的水深為，求水深的表達(dá)式.設(shè)為時(shí)刻水池里的水深，解因例2

驗(yàn)證是任意常

數(shù))是二階微分方程的解.故,

是原方程的解.解將例3

驗(yàn)證是任意常數(shù))是微分方程的通解.代入方程,得恒等式

所以,

是原方程的解.又因中含有一個(gè)任意常數(shù),原方程是一階微分方程,因此是原方程的通解.注:微分方程的通解不一定能包含所有的解.許多情況下,我們關(guān)心微分方程滿足一定條件的解,例如,

是方程的解,但它并不在通解當(dāng)中.微分方程不含任意常數(shù)的解稱為方程的特解.例如,

都是方程的特解.這樣的條件稱為初始條件.

帶有初始條件的微分方程問(wèn)題稱為初值問(wèn)題或定解問(wèn)題.例1的微分方程模型可以改寫(xiě)為:

常微分方程分為線性微分方程和非線性微分方程.

在n階微分方程中形如

的微分方程稱為線性微分方程;為已知函數(shù),

其中其它的都是非線性微分方程.都是線性微分方程,都是非線性微分方程.例如,

而

例4試指出下列微分方程的階數(shù),并說(shuō)明它們是線性的還是非線性的?

解(1),(4),(6)為一階微分方程;(2),(5)為二階微分方程;(3

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