2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.1直線與直線的方程2.1.5第2課時(shí)點(diǎn)到直線的距離公式課時(shí)分層作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGE課時(shí)分層作業(yè)二十一點(diǎn)到直線的距離公式一、選擇題(每小題5分，共30分)1.若兩直線3x+4y+3=0與6x+my+1=0平行，則它們之間的距離為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由兩直線平行得m=8，將6x+my+1=0化為3x+4y+QUOTE=0，所求距離為QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.原點(diǎn)到直線x+2y-5=0的距離是 ()A.1 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選D.d=QUOTE=QUOTE.3.已知直線l1：3x+4y-2=0，l2：mx+2y+1+2m=0，當(dāng)l1∥l2時(shí)，兩條直線的距離是 ()A.QUOTE B.1 C.2 D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)閘1∥l2時(shí)，-QUOTE=-QUOTE，解得m=QUOTE，所以直線l2的方程為：3x+4y+8=0，所以d=QUOTE=QUOTE=2.4.(2024·江淮名校高二檢測(cè))與兩直線3x+2y-4=0和3x+2y+8=0的距離相等的直線是 ()A.3x+2y+2=0 B.3x+2y-2=0C.3x+2y±2=0 D.以上都不對(duì)【解析】選A.由已知，設(shè)所求直線為3x+2y+C=0，則|C-(-4)|=|C-8|，所以C=2，所求直線方程為3x+2y+2=0.5.已知A(-1，a)，B(a，8)兩點(diǎn)到直線2x-y+1=0的距離相等，則a的值為 ()A.8 B.2 C.5或2 D.2或8【解析】選D.由已知得QUOTE=QUOTE，解得a=2或8.6.(2024·重慶高二檢測(cè))直線l過(guò)點(diǎn)B(3，3)，若A(1，2)到直線l的距離為2，則直線l的方程為 ()A.y=3或3x+4y-21=0 B.3x+4y-21=0C.x=3或3x+4y-21=0 D.x=3【解析】選C.①若l的斜率不存在，即l：x=3，符合題意；②若l斜率存在，設(shè)為k，則l：y-3=k(x-3)，即kx-y-3k+3=0，所以A(1，2)到直線l的距離為d=QUOTE=QUOTE=2，解得k=-QUOTE，直線l的方程為3x+4y-21=0.二、填空題(每小題5分，共10分)7.已知直線l1與l2：x+y-1=0平行，且l1與l2的距離是QUOTE，則直線l1的方程為_(kāi)________.

【解析】因?yàn)閘1與l2：x+y-1=0平行，所以可設(shè)l1的方程為x+y+b=0.又因?yàn)閘1與l2的距離是QUOTE，所以QUOTE=QUOTE，解得b=1或b=-3，即l1的方程為x+y+1=0或x+y-3=0.答案：x+y+1=0或x+y-3=08.已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0相互平行，則它們之間的距離是_________.

【解析】直線3x+2y-3=0變?yōu)?x+4y-6=0，所以m=4.由兩條平行線間的距離公式得d=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE三、解答題(每小題10分，共20分)9.(2024·安慶高二檢測(cè))分別求適合下列條件的直線l方程：(1)設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1，-3)且斜率等于直線y=3x斜率的-QUOTE.(2)設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1，1)，且點(diǎn)B(2，-1)與直線l的距離最大.【解析】(1)由已知，直線y=3x的斜率為3，所求直線l斜率為-QUOTE，又因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1，-3)，所以所求直線方程為y+3=-QUOTE(x+1)，即3x+4y+15=0.(2)設(shè)點(diǎn)B(2，-1)到直線l的距離為d，當(dāng)d=|AB|時(shí)取得最大值，此時(shí)直線l垂直于直線AB，即kl=-QUOTE=QUOTE，所以直線l的方程為y-1=QUOTE(x+1)，即3x-2y+5=0.10.求在兩坐標(biāo)軸上截距相等，且與點(diǎn)A(3，1)的距離為QUOTE的直線方程.【解析】(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx，即kx-y=0.由題設(shè)知QUOTE=QUOTE，解得k=1或k=-QUOTE.所以所求直線的方程為x-y=0或x+7y=0.(2)當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求的直線方程為QUOTE+QUOTE=1，即x+y-a=0.由題意，有QUOTE=QUOTE，解得a=2或a=6.所以所求直線的方程為x+y-2=0或x+y-6=0.綜上可知，所求直線的方程為x-y=0或x+7y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.一、選擇題(每小題5分，共25分)1.(2024·南昌高二檢測(cè))已知直線l1：x+y+1=0，l2：2x+2y-3=0，則l1與l2之間的距離為 ()A.2QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.將l2化為x+y-QUOTE=0，所求距離為QUOTE=QUOTE.2.P點(diǎn)在直線3x+y-5=0上，且P到直線x-y-1=0的距離為QUOTE，則P點(diǎn)坐標(biāo)為 ()A.(1，2) B.(2，1)C.(1，2)或(2，-1) D.(2，1)或(-1，2)【解析】選C.設(shè)P(x，5-3x)，則d=QUOTE=QUOTE，|4x-6|=2，4x-6=±2，即x=1或x=2，故P(1，2)或(2，-1).3.在直線3x-4y-27=0上到點(diǎn)P(2，1)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ()A.(5，-3) B.(9，0) C.(-3，5) D.(-5，3)【解析】選A.過(guò)P垂直于3x-4y-27=0的直線為y-1=-QUOTE(x-2)即4x+3y-11=0，由QUOTE得QUOTE4.(2024·北京高二檢測(cè))已知點(diǎn)P(1，1)，Q為直線x+y-1=0上隨意一點(diǎn)，那么|PQ|的最小值是 ()A.1 B.2 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.|PQ|的最小值就是點(diǎn)P到直線x+y-1=0的距離，d=QUOTE=QUOTE.5.已知點(diǎn)A(a，6)到直線3x-4y=2的距離為4，則a= ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.2或QUOTE【解析】選D.由點(diǎn)到直線距離公式得d=QUOTE=QUOTE=4，即|3a-26|=20，所以3a-26=20或3a-26=-20，即a=QUOTE或a=2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·宜昌高二檢測(cè))兩平行直線5x+12y+3=0與10x+24y+5=0之間的距離為_(kāi)________.

【解析】直線10x+24y+5=0化為5x+12y+QUOTE=0，所求距離為QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE二、填空題(每小題5分，共20分)6.在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A(1，2)距離為1，且與點(diǎn)B(3，1)距離為2的直線共有條.

【解析】由題意知，所求直線斜率必存在，設(shè)為直線y=kx+b，即kx-y+b=0.由d1=QUOTE=1，d2=QUOTE=2，解得QUOTE或QUOTE答案：27.若兩條平行直線3x-2y-1=0和6x+ay+c=0之間的距離為QUOTE，則QUOTE=_________.

【解析】由兩條直線平行得a=-4，應(yīng)用距離公式得QUOTE=QUOTE.解得|c+2|=4，所以QUOTE=QUOTE=±1.答案：±18.已知兩條平行直線，l1：mx+8y+n=0與l2：2x+my-1=0間的距離為QUOTE，則直線l1的方程為_(kāi)________.

【解析】因?yàn)閘1∥l2，所以QUOTE=QUOTE≠Q(mào)UOTE，所以QUOTE或QUOTE①當(dāng)m=4時(shí)，直線l1的方程為4x+8y+n=0，把l2的方程寫(xiě)成4x+8y-2=0，所以QUOTE=QUOTE，解得n=-22或18.故所求直線的方程為2x+4y-11=0或2x+4y+9=0.②當(dāng)m=-4時(shí)，直線l1的方程為4x-8y-n=0，l2的方程為4x-8y-2=0，所以QUOTE=QUOTE，解得n=-18或22.故所求直線的方程為2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.答案：2x±4y+9=0或2x±4y-11=09.點(diǎn)P在直線x+3y=0上，且它到原點(diǎn)與到直線x+3y-2=0的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)________.

【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3t，t)，則QUOTE=QUOTE，解得t=±QUOTE，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為QUOTE或QUOTE.答案：QUOTE或QUOTE三、解答題(每小題10分，共30分)10.(2024·天津高一檢測(cè))已知點(diǎn)P(2，-1).(1)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程.(2)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？【解析】(1)①當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)l的方程為x=2，符合題意；②當(dāng)l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l：y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0，由點(diǎn)到直線距離公式得QUOTE=2，解得k=QUOTE，所以l：3x-4y-10=0，綜上，所求l的方程為x=2或3x-4y-10=0.(2)數(shù)形結(jié)合可得，過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)O距離最大的直線是過(guò)點(diǎn)P且與PO垂直的直線，由l⊥OP，得klkOP=-1，所以kl=-QUOTE=2，直線l的方程為y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0，即直線2x-y-5=0是過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為QUOTE=QUOTE.11.求過(guò)點(diǎn)P(-1，2)且與點(diǎn)A(2，3)和B(-4，5)距離相等的直線l的方程.【解析】方法一：設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0.由題意知，QUOTE=QUOTE，即|3k-1|=|-3k-3|，所以k=-QUOTE.所以直線l的方程為y-2=-QUOTE(x+1)，即x+3y-5=0；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=-1，也符合題意.故所求直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1.方法二：當(dāng)AB∥l時(shí)，有k=kAB=-QUOTE，直線l的方程為y-2=-QUOTE(x+1)，即x+3y-5=0.當(dāng)l過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為(-1，4)，所以直線AB的方程為x=-1.故所求直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1.12.(2024·萬(wàn)州高二檢測(cè))如圖，△ABC的頂點(diǎn)A(3，2)，∠C的平分線CD所在直線方程為y-1=0，AC邊上的高BH所在直線方程為4x+2y-9=0.(1)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo).(2)求△ABC的面積.【解析】(1)因?yàn)锳C⊥BH，所以kAC=QUOTE，所以直線AC的方程為y=QUOTEx+QUOTE，由QUOTE解得QUOTE所以C(1，1).(2)由kBC=-kAC=-QUOTE，所以直線BC的方程為y=-QUOTEx+QUOTE，由QUOTE解得QUOTE所以BQUOTE，所以|AC|=QUOTE=QUOTE，又因?yàn)辄c(diǎn)B到直線AC的距離d=QUOTE，所以S△ABC=QUOTE|AC|d=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知三條直線l1：2x-y+a=0(a>0)；l2：-4x+2y+1=0；l3：x+y-1=0，且l1與l2間的距離是QUOTE.(1)求a的值.(2)能否找到一點(diǎn)P，使P同時(shí)滿意下列三個(gè)條件：①點(diǎn)P在第一象限.②點(diǎn)P到l1的距離是點(diǎn)P到l2的距離的QUOTE.③點(diǎn)P到l1的距離與點(diǎn)P到l3的距離之比是QUOTE∶QUOTE.若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由.【解析】(1)直線l2：2x-y-QUOTE=0，所以兩條平行線l1與l2間的距離為d=QUOTE=QUOTE，所以QUOTE=QUOTE，即a+QUOTE=QUOTE，又a>0，解得a=3.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，若P點(diǎn)滿意條件②，則P點(diǎn)在與l1，l2平行的直線l′：2x-y+c=0上，且QUOTE=QUOTE，即c=QUOTE或QUOTE，所以2x0-y0+QUOTE=0或2x0-y0+QUOTE=0；若P點(diǎn)滿意條件③，由點(diǎn)到直線的距離公式，有QUOTE=QUOTE