高等數(shù)學(xué)教程　上冊(cè)　第4版 習(xí)題及答案 P073 第3章 導(dǎo)數(shù)與微分

第三章導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題3.1用導(dǎo)數(shù)定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1)(2)解:（1）（2）2.設(shè)下列各題中的均存在,求下列各式的極限值。(1)(2)(3)（4）解：(1)(2)(3)（4）3.討論下列函數(shù)在的連續(xù)性與可導(dǎo)性：（1）（2）解：（1）因?yàn)樗栽谑沁B續(xù)的。又所以在是可導(dǎo)的，且。（2）因?yàn)楣?，即在即右連續(xù)也左連續(xù)，所以在是連續(xù)的。又因?yàn)?，所以，在不可?dǎo)。4.討論函數(shù)在點(diǎn)，及處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。解：當(dāng)時(shí)，故在不是右連續(xù)，所以在不連續(xù)的，因而不可導(dǎo)。當(dāng)時(shí)，故，即在右連續(xù)且左連續(xù)，所以，在是連續(xù)的。又所以有，即在是可導(dǎo)的。當(dāng)時(shí)，故，即在右連續(xù)且也左連續(xù)，所以，在是連續(xù)的。又因?yàn)?，故在不可?dǎo)。5.一物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度。解：物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為。6．求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程。解：曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為曲線在點(diǎn)處的切線方程為曲線在點(diǎn)處的法線方程為7．試確定常數(shù)的值，使得函數(shù)在處可導(dǎo)。解：因?yàn)樵摵瘮?shù)在處可導(dǎo)，所以該函數(shù)在處連續(xù)。因此有即由得8．證明：在曲線上任意一點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所構(gòu)成的面積都等于2。證明：設(shè)點(diǎn)是曲線的點(diǎn)，則，且在該點(diǎn)的切線方程為而，所以切線方程為，該切線方程在軸和為軸的截距長(zhǎng)分別為，切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所構(gòu)成的面積為9．證明函數(shù)在處連續(xù)，但不可導(dǎo)。證明：因?yàn)樗?，故該函?shù)在處連續(xù)。又不存在故該函數(shù)在處不可導(dǎo)。10.設(shè)某商品的需求函數(shù)，求邊際需求函數(shù)。解這一結(jié)果表示該商品的價(jià)格每增加一個(gè)單位，需求量就會(huì)減小5個(gè)單位。習(xí)題3.21.利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：(8)解：(9)解：(10)解：(11)解：(12)解：（13）解：（14）解：（15）解：（16）解：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：(7)解：（8)解：(9)解：(10)解：==(=（11）解：（12）解：3.設(shè)是可導(dǎo)的函數(shù),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：4.求下列分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，(2)解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，，，，，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)不連續(xù)，故不可導(dǎo)。5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：6.驗(yàn)證函數(shù)滿足關(guān)系式。解：，將帶入方程左端有即滿足關(guān)系式。8．求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有從上式中解出，得(2)解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有從上式中解出，得(3)解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有從上式中解出，得(4)解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有從上式中解出，得（5）解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有從上式中解出，得（6）解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有從上式中解出，得8.若是由方程所確定的隱函數(shù)，求解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有（1）由原方程當(dāng)時(shí)，，將，代入（1）得（1）式兩邊再求導(dǎo)有將，及代入上式得9.求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程。解：對(duì)方程兩邊求導(dǎo)得解得，曲線在點(diǎn)處的切線斜率是所以，所求切線方程是即所求法線方程是即10．利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)解,(2)解,（3）解：上式兩邊求導(dǎo)得所以（4）解：上式兩邊求導(dǎo)得所以11.求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。(1)(2)解（1），則，反復(fù)求導(dǎo)有。（2），則一般地，，。即，。習(xí)題3.3已知計(jì)算當(dāng)時(shí)的及。解：求下列函數(shù)的微分(1)解：因?yàn)樗?2)解：因?yàn)樗?3)解：因?yàn)樗?4)解：因?yàn)樗?5)解：因?yàn)樗?6)解：因?yàn)樗?7)解：因?yàn)樗?8)解：因?yàn)樗?9)解：因?yàn)樗?10)解：因?yàn)樗?.求由方程所確定的函數(shù)的微分。解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有從上式中解出，得所以4.一個(gè)直徑為20厘米的球，球殼厚度為0.2厘米，求該球殼體積的近似值。解：半徑為的求體積為，當(dāng)，球殼體積為5.計(jì)算下列各題的近似值(1)(2)解：（1）令，則解：（2）令，則習(xí)題3.4彈性分析1．給定需求函數(shù)，求(1)當(dāng)下降到時(shí)的平均彈性;（2）當(dāng)時(shí)的點(diǎn)彈性。解：(1)當(dāng)，時(shí)，有，，的平均值為的平均值為平均彈性為（2），，當(dāng)時(shí)的點(diǎn)彈性為2.給定需求函數(shù)，求價(jià)格時(shí)的需求彈性？并說(shuō)明在此價(jià)格上需求是缺乏彈性、單位彈性還是富有彈性？解：由，得，所以。當(dāng)時(shí)，需求為，此時(shí)需求彈性為該產(chǎn)品的需求彈性的絕對(duì)值，說(shuō)明該產(chǎn)品的需求函數(shù)是缺乏彈性的。3．設(shè)某產(chǎn)品總成本C萬(wàn)元是產(chǎn)量kg的函數(shù)為產(chǎn)品銷售價(jià)格為萬(wàn)元，需求函數(shù)為試求：（1）產(chǎn)量為100kg（2）銷售價(jià)格為4萬(wàn)元水平上的需求彈性值，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義；（3）當(dāng)時(shí)，如果價(jià)格上漲1%，總收益增加還是減少？變化多少？解：（1）邊際成本函數(shù)為，所以在產(chǎn)量為水平上邊際成本值（萬(wàn)元）（2）計(jì)算邊際需求函數(shù)需求彈性函數(shù)為所以在銷售價(jià)格為4萬(wàn)元水平上的需求彈性值為該產(chǎn)品的需求彈性的絕對(duì)值，說(shuō)明該產(chǎn)品的需求函數(shù)是富于彈性的，需求量隨價(jià)格變化會(huì)呈現(xiàn)較大波動(dòng)，同時(shí)，彈性說(shuō)明需求量隨價(jià)格變化會(huì)呈現(xiàn)反向波動(dòng)，即漲價(jià)則需求量減小，降價(jià)則需求量增加。（3）總收益函數(shù)，所以即總收益量將減少0.177%。綜合習(xí)題3一、填空選擇題：1.設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則下列極限值等于的是（C）ABCD2.已知，若極限，則等于（A）ABCD3.函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是其在該點(diǎn)可導(dǎo)的（D）A充分而必要條件B必要而非充分條件C充分條件D必要條件二、計(jì)算或證明題1.設(shè)函數(shù)滿足，且其中均為常數(shù)，證明在處可導(dǎo)，且。證明：由，得，即2.討論下列函數(shù)在的連續(xù)性與可導(dǎo)性：（1）（2）解：（1）因?yàn)樗栽摵瘮?shù)在處右連續(xù)且左連續(xù)，故連續(xù)。該函數(shù)在左導(dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)，故在函數(shù)不可導(dǎo)。（2）因?yàn)樗栽摵瘮?shù)在處左連續(xù)且右連續(xù)，故連續(xù)。該函數(shù)在左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)，故在函數(shù)可導(dǎo)，且。3.函數(shù)在是否連續(xù)，是否可導(dǎo)？解：因?yàn)樗栽摵瘮?shù)在函數(shù)可導(dǎo)，故在函數(shù)連續(xù)。4.設(shè)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，證明。證明：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以。又所以有。5．當(dāng)為何值時(shí)，拋物線與相切（在某點(diǎn)處有相同的切線）？并求切點(diǎn)和切線方程。解：設(shè)拋物線與在點(diǎn)處相切，則兩條曲線在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)相等，有，又，，解得，，切點(diǎn)，切線方程為6．設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，，證明函數(shù)在處可導(dǎo)。若，函數(shù)在處可導(dǎo)嗎？解：由函數(shù)在處連續(xù)有。所以，函數(shù)在處可導(dǎo)。當(dāng)時(shí)，有，則函數(shù)在處可導(dǎo)。當(dāng)時(shí)，有，則函數(shù)在處不可導(dǎo)。7．設(shè)在處連續(xù)，且，證明：。證明：由函數(shù)在處連續(xù)有，又，所以8