2024春新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線(xiàn)平面的垂直8.6.1直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直分層演練含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE第八章立體幾何初步A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠ABC=90°,AB=BC=1,則異面直線(xiàn)B1C1與AC所成角的大小為()A.45°B.60°C.30°D.90°解析:因?yàn)锽C∥B1C1,所以∠ACB(或它的補(bǔ)角)為異面直線(xiàn)B1C1與AC所成角.因?yàn)椤螦BC=90°,AB=BC=1,所以∠ACB=45°,所以異面直線(xiàn)B1C1與AC所成角為45°.答案:A2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心,則EF和CD所成的角是()A.60°B.45°C.30°D.90°解析:如圖所示,連接B1D1,AB1,則E為B1D1的中點(diǎn),F為AD1的中點(diǎn),所以EF∥AB1.因?yàn)镃D∥AB,所以∠B1AB為異面直線(xiàn)EF與CD所成的角.在正方體中,∠B1AB=45°,所以EF與CD所成的角是45°.答案:B3.設(shè)P是直線(xiàn)l外肯定點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且與l成30°角的異面直線(xiàn)()A.有多數(shù)條 B.有兩條C.至多有兩條 D.有一條解析:如圖所示,過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l'∥l,以l'為軸,與l'成30°角的圓錐面的全部母線(xiàn)都與l成30°角.答案:A4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與AD1異面,且與AD1所成角為90°的面對(duì)角線(xiàn)共有1條.解析:面對(duì)角線(xiàn)是指正方體各個(gè)面上的對(duì)角線(xiàn),與AD1異面的面對(duì)角線(xiàn)有A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中與AD1所成角為90°的僅有B1C.5.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),EF=2.求證:AD⊥BC.證明:如圖所示,取BD的中點(diǎn)H,連接EH,FH.因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),且AD=2,所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1.所以∠EHF(或其補(bǔ)角)是異面直線(xiàn)AD,BC所成的角.因?yàn)镋F=2,所以EH2+FH2=EF2,所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜邊,所以∠EHF=90°,即AD與BC所成的角是90°,所以AD⊥BC.B級(jí)實(shí)力提升6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長(zhǎng)都相等,若M為A1C1的中點(diǎn),則AM與BC1所成角的余弦值為()A.153B.53C.64解析:由題意,取AC的中點(diǎn)N,連接C1N,BN,如圖所示,則AM∥C1N,所以異面直線(xiàn)AM與BC1所成角就是直線(xiàn)BC1與C1N所成角.設(shè)直三棱柱的各棱長(zhǎng)均為2,則C1N=5,BC1=22,BN=3.設(shè)直線(xiàn)BC1與C1N所成的角為θ,在△BNC1中,由余弦定理可得cosθ=(5)2即異面直線(xiàn)AM與BC1所成角的余弦值為104,故選D答案:D7.如圖所示,空間四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC=8,BD=6,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),若異面直線(xiàn)AC與BD所成的角為90°,則MN=5.解析:如圖所示,取AD的中點(diǎn)P,連接PM,PN.則BD∥PM,PM=12BD=3,AC∥PN,PN=12AC=4,所以∠MPN(或其補(bǔ)角)即為異面直線(xiàn)AC與BD所成的角.因?yàn)锳C與BD所成的角為90°,所以∠MPN=90°.在Rt△MPN中,MN=P8.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)A1M與DN所成的角的大小是90°.解析:如圖所示,過(guò)點(diǎn)M作ME∥DN交CC1于點(diǎn)E,連接A1E,則∠A1ME(或其補(bǔ)角)為異面直線(xiàn)A1M與DN所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則A1M=32a,ME=54a,A1E=414a,所以A1M2+ME2=A1所以∠A1ME=90°,即異面直線(xiàn)A1M與DN所成的角為90°.9.如圖所示,在正方體ABCD-EFGH中,O為側(cè)面ADHE的中心.求:(1)BE與CG所成的角;(2)FO與BD所成的角.解:(1)因?yàn)镃G∥BF,所以∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線(xiàn)BE與CG所成的角.由題意知∠EBF=45°,所以BE與CG所成的角為45°.(2)如圖所示,連接FH.因?yàn)镠D∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB.因?yàn)镠D=FB,所以四邊形HFBD為平行四邊形,所以HF∥BD,所以∠HFO(或其補(bǔ)角)為異面直線(xiàn)FO與BD所成的角.連接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH為等邊三角形.因?yàn)镺為側(cè)面ADHE的中心,所以O(shè)為AH的中點(diǎn),所以∠HFO=30°,即FO與BD所成的角為30°.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)面都是矩形,底面ABCD是菱形,且AB=BC=23,∠ABC=120°,異面直線(xiàn)A1B和AD1所成的角為90°,試求AA1.解:如圖所示,連接CD1,AC.由題意,得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC=23,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其補(bǔ)角)為A1B和AD1所成的角.因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)A1B和AD1所成的角為90°,所以∠AD1C=90°.因?yàn)樗睦庵鵄BCD