第五章-傅里葉變換

梁昆淼編(第四版)高等教育出版社主講：馮杰第五章傅里葉變換5.2傅里葉積分與付里葉變換5.3

函數(shù)§5.1傅里葉級數(shù)第一篇復變函數(shù)論

第五章傅里葉變換§5.1傅里葉級數(shù)一、周期函數(shù)的傅里葉展開★設f(x)為周期為2l的函數(shù)將f(x)展開★考慮三角函數(shù)族為基本函數(shù)族1、周期函數(shù)族

2、函數(shù)f(x)的傅里葉展開3、再談周期函數(shù)族的正交性

★驗算一個！

4、利用三角函數(shù)族的正交性展開

f(x)，并且求f(x)的展開系數(shù)★即★由★得

★由★得★結(jié)合合寫系數(shù)：★函數(shù)的傅氏級數(shù)為★稱為周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)！

★由★得4、狄里希利定理：若f(x)滿足：

(1)處處連續(xù)，或在每個周期有有限個第一類間斷點；

(2)或在每個周期有有限個極值點，則級數(shù)收斂，且(在連續(xù)點x)級數(shù)和=(在間斷點x)★狄里希利定理是傅里葉級數(shù)的收斂條件!

二、奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉展開1、奇函數(shù)2、奇函數(shù)展開式只有正弦項★其系數(shù)為3、奇函數(shù)展開式（正弦項）的系數(shù)求法如下：

3、奇函數(shù)展開式（正弦項）的系數(shù)求法如下:

（1）其偶次項的系數(shù)為零，計算如下：

★最后得

（2）其奇次項的系數(shù)為零，計算如下：4、偶函數(shù)的傅里葉展開及其展開系數(shù)

★其奇次項的系數(shù)為零★最后得

例1，要求在（-

，）上，f(x)=x2,

展開為Fourier級數(shù)，在本題展開所得中置

x=0，由此驗證:解：f(x)=x2，為偶函數(shù)；

★

x=0

三、定義在有限區(qū)間上的

函數(shù)的傅里葉展開★定義在有限區(qū)間上的函數(shù)，如在(0，l)上的

f(x)，可以延拓其成為周期函數(shù)g(x)，使在(0，l)上有

g(x)

f(x)；然后對g(x)進行傅里葉展開；★要根據(jù)具體情況進行偶延拓，或奇延拓；★如果，奇延拓成奇周期函數(shù)；★如果，偶延拓成偶周期函數(shù)；1、任意函數(shù)的傅里葉展開方法2、偶延拓或奇延拓的使用原則

例2，要求f(x)=cosax在它的定義區(qū)間的邊界

上為零，而且要求在區(qū)間（0，）上進行展開。解：★因為在區(qū)間（0，）上為零，所以要將函數(shù)進行奇延拓成奇周期函數(shù)，其展開式為★其展開系數(shù)為

★其結(jié)果為

四、復數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1、復數(shù)形式的基本正交函數(shù)族2、復數(shù)形式的傅里葉級數(shù)★形式★求系數(shù)

§5.2傅里葉積分與

傅里葉變換一、實函數(shù)形式的傅里葉變換★設f(x)為定義在-<x<上的非周期函數(shù)；★將g(x)展開傅里葉級數(shù)：★將f(x)看為周期函數(shù)g(x)于周期

2l

的極限；k=0,1，2，...1、傅里葉變換的含義

★求系數(shù)：★做代換k=0,1，2，...

★將系數(shù)代入傅里葉級數(shù)得到l

2、傅里葉變換的余弦項

★同理，可以得到正弦項3、傅里葉變換的正弦項★其中，★其中，

★稱為f(x)的傅里葉積分★稱為f(x)的傅里葉變換式

4、傅里葉積分定理若f(x)在區(qū)間（－∞，＋∞）上滿足條件：

(1)f(x)在任一有限區(qū)間滿足狄里希利條件；

(2)f(x)在（－∞，＋∞）上絕對可積分，則f(x)可表示為付里葉積分，而且傅里葉積分值=

為振幅譜（功率譜）為相位譜（頻率譜）5、函數(shù)的振幅譜和頻率譜★將f(x)的傅里葉積分改寫為

★對于偶函數(shù)，有傅里葉余弦積分★對稱寫法6、傅里葉余弦積分及其變換★余弦變換★余弦變換

★對于奇函數(shù)，傅里葉正弦積分★對稱寫法7、傅里葉正弦積分及其變換★正弦變換

例1：將如圖的單個rectx矩形脈沖展為傅里葉積分。解：o-TThf(t)t★偶函數(shù)，有傅里葉余弦積分★其傅里葉變換圖5-1矩形脈沖振幅譜

★

A(

)與

曲線稱為頻譜線，如圖5-2教材P76?！锲涓道锶~變換圖5-2矩形脈沖頻譜——傅里葉變換的頻譜

例2，求由2N個（N為整數(shù)）函數(shù)正弦波組成的有限正弦波列：解：的傅里葉積分★f(x)是奇函數(shù)，應當展開為正弦函數(shù)；★其傅里葉變換為

圖5-4有限正弦波列頻譜——傅里葉變換的頻譜

二、復函數(shù)形式的傅里葉變換1、復數(shù)形式傅里葉變換的導出

★第二個積分中，

換為-

★得到

★考察傅立葉積分變換式

★無論、，都有

★對稱寫法★記為原函數(shù)像函數(shù)2、傅里葉變換的原函數(shù)和像函數(shù)

例3，求的矩形脈沖f(t)

=rect

(t/2T)

的復數(shù)形式的傅里葉變換解：o-

/2

/2hf(t)t

←與例1的結(jié)果相同！矩形脈沖振幅譜矩形脈沖頻譜

例4，求函數(shù)解：的傅里葉變換。

例5，求函數(shù)解：的傅氏變換。

三、傅里葉變換的性質(zhì)1、線性定理★證明：★如果★則★傅里葉變換形式

證畢！證明：2、導數(shù)定理證畢！★同理：

證明：★而3、積分定理

證畢！證明：4、相似定理

證畢！5、延遲定理證明：

證畢！6、位移定理證明：

證畢！7、卷積定理證明：★若★其中★稱為f1(x)與

f2(x)

的卷積?！飫t

★令

證畢！什么是卷積？★f(x)與

g(x)

的卷積定義如下運算：

★參與卷積的函數(shù)f(x)與

g(x

)如圖（a）

所示：★如果f(x)與

g(x

)

是時間的函數(shù)，則卷積的物理意義是：響應函數(shù)

g(x)受激勵信號

f(x)作用后，系統(tǒng)的總響應效果；★卷積的幾何意義是：動函數(shù)

g(x)與靜函數(shù)

f(x)

乘積的積分；★卷積的代數(shù)意義是：函數(shù)g(x)翻轉(zhuǎn)和平移之后與靜函數(shù)

f(x)

重疊的累積；

卷積的代數(shù)意義、物理意義和幾何意義

四、多重傅里葉積分★非周期函數(shù)f(x,y,z)展開為F(k1,k2,k3)★對稱寫法1、三元非周期函數(shù)傅里葉積分

2、多重傅里葉積分的簡潔和對稱形式★簡潔形式★對稱寫法

§5.3

函數(shù)一、函數(shù)的引入（1）考慮一維金屬線的質(zhì)量密度（2）若總質(zhì)量為1，而且集中在x=0處，則1、函數(shù)的實際例子★總質(zhì)量為1★總質(zhì)量集中在x=0

2、函數(shù)的定義★更一般的形式★定義滿足以下關系的函數(shù)稱為

函數(shù)，即

(x)

函數(shù)

(x-x0)

函數(shù)(1)若總質(zhì)量為m集中在x=a處，則質(zhì)量密度函數(shù)(3)

函數(shù)為廣義函數(shù),它沒有隨自變量改變而不斷改變的函數(shù)值。(2)

電荷密度為q集中在x=a處，則電荷密度函數(shù)3、函數(shù)的應用——物理意義

(x-a)

函數(shù)二、函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的奇偶性★

函數(shù)是偶函數(shù):★其導數(shù)是奇函數(shù):證：

★再看定義證畢！2、階躍函數(shù)是函數(shù)的原函數(shù)★因為★即

證畢！證明：階躍函數(shù)H(x)3、函數(shù)的挑選性證明：★對于任意

>0,有

★對于-<<,

0，有：

★所以，得★對于-<<,

有★同理，可以證明：證畢！★

+d

時間間隔沖量：★瞬時力：

4、持續(xù)力的函數(shù)表示★注意函數(shù)的量綱！★持續(xù)力可以用函數(shù)表示為：持續(xù)力的沖量圖★若f(x)為x0處連續(xù)的普通函數(shù)，則例：求證：

解：證畢！5、如

(x)=0的實根

為xk為單根，則

證明：證畢！

三、函數(shù)是一種廣義函數(shù)1、函數(shù)是某些普通函數(shù)的極限★矩形脈沖表示法：★辛格函數(shù)：★抽樣函數(shù)：

2、矩形函數(shù)是

函數(shù)的證明★符合函數(shù)的積分定義！——證畢！

P85另外兩個函數(shù)的證明方法類似。

矩形函數(shù)四、函數(shù)的傅立葉變換1、