《1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性》知識(shí)清單

《1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性》知識(shí)清單一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的基本概念1、導(dǎo)數(shù)是什么導(dǎo)數(shù)就像是函數(shù)的一個(gè)小跟班，它能告訴我們函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)上的變化速度。比如說，你可以把函數(shù)想象成一輛汽車的行駛路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，那導(dǎo)數(shù)就是汽車在每個(gè)瞬間的速度。如果導(dǎo)數(shù)大，就好像汽車開得快；導(dǎo)數(shù)小，就像汽車開得慢。從數(shù)學(xué)定義上來說，函數(shù)\（y＝f(x)＼）在點(diǎn)\（x_0\）處的導(dǎo)數(shù)\（f^＼prime(x_0)＼）就是當(dāng)\（＼Deltax\）趨近于\（0\）時(shí)，＼（＼frac{＼Deltay}｛＼Deltax}＝＼frac{f(x_0+＼Deltax)f(x_0)｝｛＼Deltax}＼）的極限。用大白話講，就是我們看函數(shù)\（y＝f(x)＼）在\（x_0\）附近的變化情況，這個(gè)變化情況就是導(dǎo)數(shù)。舉例：就像我們觀察一個(gè)人爬山，山的高度\（h\）是關(guān)于這個(gè)人水平移動(dòng)距離\（x\）的函數(shù)\（h＝f(x)＼）。那在某個(gè)位置\（x_0\）的導(dǎo)數(shù)\（f^＼prime(x_0)＼）就是這個(gè)人在這個(gè)位置的爬坡速度。如果導(dǎo)數(shù)是正的，說明他在往上爬；如果是負(fù)的，說明他在往下走；如果是\（0\），那他可能是在一個(gè)平臺(tái)上休息呢。2、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性就是函數(shù)是在上升（單調(diào)遞增）還是在下降（單調(diào)遞減）。如果對(duì)于區(qū)間\（I\）內(nèi)的任意兩個(gè)自變量\（x_1\）和\（x_2\），當(dāng)\（x_1<x_2\）時(shí)，都有\(zhòng)（f(x_1)＜f(x_2)＼），那么函數(shù)\（y＝f(x)＼）在區(qū)間\（I\）上就是單調(diào)遞增的；反之，如果當(dāng)\（x_1<x_2\）時(shí)，都有\(zhòng)（f(x_1)＞f(x_2)＼），那么函數(shù)在區(qū)間\（I\）上就是單調(diào)遞減的。舉例：想象你在看股票價(jià)格的走勢(shì)圖，這個(gè)走勢(shì)圖就是一個(gè)函數(shù)圖像。如果股票價(jià)格隨著時(shí)間一直在上漲，那這個(gè)函數(shù)（股票價(jià)格關(guān)于時(shí)間的函數(shù)）在這個(gè)時(shí)間段就是單調(diào)遞增的；如果一直在下跌，那就是單調(diào)遞減的。二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系1、導(dǎo)數(shù)的正負(fù)決定函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)\（y＝f(x)＼）在區(qū)間\（I\）上可導(dǎo)，且\（f^＼prime(x)＞0\）對(duì)\（x\inI\）恒成立，那么函數(shù)\（y＝f(x)＼）在區(qū)間\（I\）上單調(diào)遞增。這就好比你在跑步，你的速度（導(dǎo)數(shù)）一直是正的，那你跑的路程（函數(shù)值）肯定是越來越多的，也就是函數(shù)在單調(diào)遞增。如果\（f^＼prime(x)＜0\）對(duì)\（x\inI\）恒成立，那么函數(shù)\（y＝f(x)＼）在區(qū)間\（I\）上單調(diào)遞減。就像你在倒車，速度（導(dǎo)數(shù)）是負(fù)的，那你離原來的位置（函數(shù)值相對(duì)于某個(gè)方向）就越來越遠(yuǎn)，也就是函數(shù)在單調(diào)遞減。如果\（f^＼prime(x)＝0\）對(duì)\（x\inI\）恒成立，那么函數(shù)\（y＝f(x)＼）在區(qū)間\（I\）上是常函數(shù)。這就像你站著不動(dòng)，速度（導(dǎo)數(shù)）為\（0\），你的位置（函數(shù)值）就不變了。舉例：我們來看一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)\（y＝x^｛2}＼），它的導(dǎo)數(shù)\（y^＼prime＝2x\）。當(dāng)\（x>0\）時(shí)，＼（y^＼prime=2x＞0\），所以函數(shù)在\（（0,＋＼infty)＼）上單調(diào)遞增；當(dāng)\（x<0\）時(shí)，＼（y^＼prime＝2x<0\），所以函數(shù)在\（（＼infty,0)＼）上單調(diào)遞減。2、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟第一步，求出函數(shù)\（y＝f(x)＼）的導(dǎo)數(shù)\（f^＼prime(x)＼）。這就像我們要知道汽車的速度函數(shù)一樣，先得根據(jù)路程函數(shù)求出速度函數(shù)。第二步，令\（f^＼prime(x)＝0\），求出這個(gè)方程的根。這些根就像是速度為\（0\）的點(diǎn)，可能是函數(shù)單調(diào)性發(fā)生變化的點(diǎn)，我們把這些點(diǎn)叫做駐點(diǎn)。第三步，用駐點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間內(nèi)判斷\（f^＼prime(x)＼）的正負(fù)性。就像把一段路分成幾段，然后看看在每段路上汽車是在加速還是減速。第四步，根據(jù)\（f^＼prime(x)＼）的正負(fù)性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。如果\（f^＼prime(x)＞0\），就是單調(diào)遞增區(qū)間；如果\（f^＼prime(x)＜0\），就是單調(diào)遞減區(qū)間。舉例：對(duì)于函數(shù)\（y=＼sinxx\），首先求導(dǎo)得到\（y^＼prime=＼cosx1\）。令\（y^＼prime＝0\），即\（＼cosx-1＝0\），解得\（x＝2k\pi\），＼（k\inZ\）。當(dāng)\（x\in(2k\pi,2(k＋1)＼pi)＼）時(shí)，＼（＼cosx-1\leqslant0\），所以函數(shù)\（y=＼sinxx\）在\（（2k\pi,2(k＋1)＼pi)＼），＼（k\inZ\）上單調(diào)遞減。三、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1、比較函數(shù)值的大小如果函數(shù)\（y＝f(x)＼）在區(qū)間\（I\）上單調(diào)遞增，且\（x_1,x_2\inI\），＼（x_1<x_2\），那么\（f(x_1)＜f(x_2)＼）。反過來，如果函數(shù)在區(qū)間\（I\）上單調(diào)遞減，且\（x_1,x_2\inI\），＼（x_1<x_2\），那么\（f(x_1)＞f(x_2)＼）。舉例：已知函數(shù)\（y＝e^｛x}＼）在\（R\）上單調(diào)遞增。如果\（x_1＝1\），＼（x_2＝2\），那么\（e^｛1}＜e^｛2}＼）。就像兩個(gè)人在同一條路上跑步，一個(gè)人在前面出發(fā)一會(huì)兒，另一個(gè)人在后面出發(fā)，如果他們的速度一直在增加（函數(shù)單調(diào)遞增），那后面出發(fā)的人肯定比前面出發(fā)的人跑得慢（函數(shù)值小）。2、解不等式例如，已知函數(shù)\（y＝f(x)＼）的導(dǎo)數(shù)\（f^＼prime(x)＼），要解不等式\（f(x)＞g(x)＼），可以先構(gòu)造函數(shù)\（h(x)＝f(x)g(x)＼），然后求\（h(x)＼）的導(dǎo)數(shù)\（h^＼prime(x)＼），根據(jù)\（h^＼prime(x)＼）確定\（h(x)＼）的單調(diào)性，再結(jié)合\（h(x)＼）的特殊值來解不等式。舉例：解不等式\（x^｛2}＞2x1\）。我們構(gòu)造函數(shù)\（h(x)＝x^｛2}－2x＋1\），求導(dǎo)得\（h^＼prime(x)＝2x2\）。令\（h^＼prime(x)＝0\），解得\（x＝1\）。當(dāng)\（x<1\）時(shí)，＼（h^＼prime(x)＜0\），＼（h(x)＼）單調(diào)遞減；當(dāng)\（x>1\）時(shí)，＼（h^＼prime(x)＞0\），＼（h(x)＼）單調(diào)遞增。又因?yàn)閈（h(1)＝0\），所以不等式\（x^｛2}＞2x1\）的解為\（x\neq1\）。3、證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式是一種很巧妙的方法。通常我們會(huì)把不等式兩邊的式子構(gòu)造成一個(gè)函數(shù)，然后通過研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式。舉例：證明當(dāng)\（x>0\）時(shí)，＼（x\frac{x^｛2}｝｛2}＜＼ln(1＋x)＼）。我們構(gòu)造函數(shù)\（f(x)＝＼ln(1＋x)x+＼frac{x^｛2}｝｛2}＼），求導(dǎo)得\（f^＼prime(x)＝＼frac{1}｛1＋x}－1＋x=＼frac{x^｛2}｝｛1＋x}＼）。當(dāng)\（x>0\）時(shí)，＼（f^＼prime(x)＞0\），所以\（f(x)＼）在\（（0,＋＼infty)＼）上單調(diào)遞增。又因?yàn)閈（f(0)＝0\），所以當(dāng)\（x>0\）時(shí)，＼（f(x)＞0\），即\（x\frac{x^｛2}｝｛2}＜＼ln(1＋x)＼）。四、二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的凹凸性（拓展知識(shí)）1、二階導(dǎo)數(shù)的概念二階導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。如果函數(shù)\（y＝f(x)＼）的導(dǎo)數(shù)\（y^＼prime=f^＼prime(x)＼）仍然可導(dǎo)，那么\（（f^＼prime(x)）＾＼prime=f^｛＼prime\prime}（x)＼）就是函數(shù)\（y＝f(x)＼）的二階導(dǎo)數(shù)?？梢园讯A導(dǎo)數(shù)想象成是對(duì)函數(shù)變化速度的變化速度的描述。舉例：還是拿汽車行駛來說，一階導(dǎo)數(shù)是汽車的速度，那二階導(dǎo)數(shù)就是汽車速度的變化率，也就是加速度。如果加速度是正的，說明汽車在加速；如果是負(fù)的，說明汽車在減速。2、二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)凹凸性的關(guān)系如果函數(shù)\（y＝f(x)＼）在區(qū)間\（I\）上二階可導(dǎo)，且\（f^｛＼prime\prime}（x)＞0\）對(duì)\（x\inI\）恒成立，那么函數(shù)\（y＝f(x)＼）在區(qū)間\（I\）上是下凸函數(shù)（也叫凹函數(shù)）。就像一個(gè)碗的形狀，底部是凹下去的。如果\（f^｛＼prime\prime}（x)＜0\）對(duì)\（x\inI\）恒成立，那么函數(shù)\（y＝f(x)＼）在區(qū)間\（I\）上是上凸函數(shù)（也叫凸函數(shù)）。就像一個(gè)倒扣的碗的形狀。舉例：對(duì)于函數(shù)\（y＝x^｛2}＼），它的一階導(dǎo)數(shù)\（y^＼prime＝2x\），二階導(dǎo)數(shù)\（y^｛＼prime\prime}＝2\）。因?yàn)閈（y^｛＼prime\prime}＝2>0\），所以函數(shù)\（y＝x^｛2}＼）是下凸函數(shù)。3、利用凹凸性解決問題在一些優(yōu)化問題或者幾何問題中，函數(shù)的凹凸性可以給我們提供很多有用的信息。例如，在求函數(shù)的最值時(shí)，如果函數(shù)是凸函數(shù)，那么它的最大值可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得；如果是凹函數(shù)，最小值可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得。舉例：考慮函數(shù)\（y=＼sinx\）在\（0,＼pi\）上，它的二階導(dǎo)數(shù)\（y^｛＼prime\prime}＝＼sinx\）。在\（（0,＼pi)＼）內(nèi)，＼（y^｛＼prime\prime}＜0\），所以\（y＝＼sinx\）在\（0,＼pi\）上是上凸函數(shù)。那么\（＼sinx\）在\（0,＼pi\）上的最大值是\（＼sin\frac{＼pi}｛2}＝1\），最小值在端點(diǎn)\（0\）或者\(yùn)（＼pi\）處取得，＼（＼sin0=＼sin\pi＝0\）。五、習(xí)題1、求函數(shù)\（y＝3x^｛4}－4x^｛3}＋1\）的單調(diào)區(qū)間。2、已知函數(shù)\（y＝f(x)＼）在區(qū)間\（（＼infty,＋＼infty)＼）上可導(dǎo)，且\（f^＼prime(x)＝x^｛2}－2x3\），求函數(shù)\（y＝f(x)＼）的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間。3、證明當(dāng)\（x>0\）時(shí)，＼（e^｛x}＞1＋x+＼frac{x^｛2}｝｛2}＼）。4、比較\（＼ln2\）和\（＼frac{1}｛2}＼）的大小，利用函數(shù)\（y＝＼ln(1＋x)＼）的單調(diào)性。習(xí)題答案1、首先求函數(shù)\（y＝3x^｛4}－4x^｛3}＋1\）的導(dǎo)數(shù)，＼（y^＼prime＝12x^｛3}－12x^｛2}＝12x^｛2}（x1)＼）。令\（y^＼prime=0\），解得\（x＝0\）或者\(yùn)（x＝1\）。當(dāng)\（x<0\）或者\(yùn)（x>1\）時(shí)，＼（y^＼prime>0\），函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\（0<x<1\）時(shí)，＼（y^＼prime<0\），函數(shù)單調(diào)遞減。所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是\（（＼infty,0)＼cup(1,＋＼infty)＼），單調(diào)遞減區(qū)間是\（（0,1)＼）。2、令\（f^＼prime(x)＝x^｛2}－2x3=（x3)（x＋1)＝0\），解得\（x＝3\）或者\(yùn)（x=1\）。當(dāng)\（x<－1\）或者\(yùn)（x>3\）時(shí)，＼（f^＼prime(x)＞0\），函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\（－1<x<3\）時(shí)，＼（f^＼prime(x)＜0\），函數(shù)單調(diào)遞減。所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是\（（＼infty,－1)＼cup(3,＋＼infty)＼），單調(diào)遞減區(qū)間是\（（－1,3)＼）。3、構(gòu)造函數(shù)\（f(x)＝e^｛x}－1x\frac{x^｛2}｝｛2}＼），求導(dǎo)得\（f^＼prime(x)＝e^｛x}－1x\），再求導(dǎo)得\（f^｛＼prime\prime}（x)＝e^｛x}－1\）。當(dāng)\（x>0\）時(shí)，＼（f^｛＼prime\prime}（x)＞0\），所以\（f^＼prime(x)＼）在\（（0,＋＼infty)＼）上單調(diào)遞增。又因?yàn)閈（f^＼prime(0)＝0\），所以當(dāng)\（x>0\）時(shí)，＼（f^＼prime(x)＞0\），所以\（f(x)＼）在\（（0,＋＼infty)＼）上單調(diào)遞增。又因?yàn)閈（f(0)＝0\），所以當(dāng)\（x>0\）時(shí)，＼（f(x)＞0\），即\（e^｛x}＞1