2024-2025學(xué)年重慶市烏江新高考協(xié)作體高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（10月份）（二）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年重慶市烏江新高考協(xié)作體高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（10月份）（二）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。1.由1，2，3抽出一部分或全部數(shù)字所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)集合有(????)個(gè)元素．A.15 B.16 C.17 D.182.若直線y=2x是曲線f(x)=x(e2x?a)的切線，則a=A.?e B.?1 C.1 D.e3.已知tanα=2，則1+cos2αA.2 B.12 C.?2 D.4.若A(1,0)，B(0,b)，C(?2,?2)三點(diǎn)共線，則b=(

)A.?23 B.?32 C.5.《九章算術(shù)》中有“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步.問(wèn)：勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法：如圖1，用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為b和a的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形(黃)和兩個(gè)小直角三角形(朱、青)將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為a+b，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)d.由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3，設(shè)D為斜邊BC的中點(diǎn)，作直角三角形ABC的內(nèi)接正方形對(duì)角線AE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，則下列推理正確的是(

)

A.由圖1和圖2面積相等得d=2aba+b

B.由AE≥AF可得a2+b24≥a+b26.已知設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，則|(x?3)+(y+3)i|=2，則|z+1|的最小值為(

)A.3 B.4 C.5 D.67.若數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，a3=1，數(shù)列{bn}為公差為6，首項(xiàng)為1A.1874 B.1674 C.14748.設(shè)a=tan0.21，b=ln1.21，c=2122，則下列大小關(guān)系正確的是(

)A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a9.已知非零向量a,b,cA.若a(b?c)=0，則b⊥c

B.若(a+b)⊥(a?b10.已知m，n∈(0,1)∪(1,+∞)，若logm2=11?2a，A.若a=2，則mn=2 B.若a>2，則mn>2

C.若mn=1，則a=1 D.若mn>1，則a>111.已知{cosα,cos2α,cos3α}={sinα,sin2α,sin3α}，則α可以是(

)A.π8 B.?3π8 C.?12.1843年，Hamilton在愛(ài)爾蘭發(fā)現(xiàn)四元數(shù).當(dāng)時(shí)他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次(復(fù)數(shù)可視為平面上的點(diǎn)).他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù).根據(jù)哈密頓記述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家運(yùn)河上散步時(shí)突然想到的方程解.之后哈密頓立刻將此方程刻在Broug?antBridge.對(duì)四元數(shù)u=a+bi+cj+dk，a，b，c，d∈R的單位i，j，k，其運(yùn)算滿足：i2=j2=k2=?1，ij=k，jk=i，ki=j，ji=?k，kj=?i，ik=?j；記u?=a?bi?cj?dk，N(u)=uA.集合{1,i,j,k}的元素按乘法得到一個(gè)八元集合

B.若非零元u，v∈V，則有：u?1vu=v?1

C.若u，v∈V，則有：N(uv)=N(u)N(v)

D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若函數(shù)f(x)=x2?4ax?3在區(qū)間(?4,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

14.若f(x)=asin(x+π6)+3sin(x+π315.小澄玩一個(gè)游戲：一開(kāi)始她在2個(gè)盒子A，B中分別放入3顆糖，然后在游戲的每一輪她投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，如果結(jié)果小于3她就將B中的1顆糖放入A中，否則將A中的1顆糖放入B中，直到無(wú)法繼續(xù)游戲.那么游戲結(jié)束時(shí)B中沒(méi)有糖的概率是______．16.已知a>0，如果有且僅有四個(gè)不同的復(fù)數(shù)z，同時(shí)滿足|(z?1)(z+1)2|=a和|z|=1，則a三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.（10分）已知函數(shù)f(x)=log21?x1+x．

(1)判斷并證明f(x)的奇偶性；

(2)若對(duì)任意x∈[?13,1318.（12分）海水受日月引力會(huì)產(chǎn)生潮汐.以海底平面為基準(zhǔn)，漲潮時(shí)水面升高，退潮時(shí)水面降低.現(xiàn)測(cè)得某港口某天的時(shí)刻與水深的關(guān)系表如下所示：時(shí)刻：x(時(shí))03.16.29.312.415.518.621.724水深：y(米)5.07.45.02.65.07.45.02.64.0(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(ω>0,|φ|<π2)來(lái)近似描述這一天內(nèi)港口水深與時(shí)間的關(guān)系，求出這個(gè)函數(shù)的解析式；

(2)某條貨船的吃水深度(水面高于船底的距離)為4.2米.安全條例規(guī)定，在本港口進(jìn)港和在港口?？繒r(shí)，船底高于海底平面的安全間隙至少有2米，根據(jù)19.（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ab=33sinC+cosC．

(1)求角B；

(2)若D是△ABC邊AC上的一點(diǎn)，且滿足20.（12分）某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程(理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程)的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)．

(2)由頻率分布直方圖計(jì)算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)x?，σ近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s．

(i)利用該正態(tài)分布，求P(250.25<X<399.5)；

(ii)假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購(gòu)買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大續(xù)航里程位于區(qū)間(250.25,399.5)的車輛數(shù)，求E(Z)．

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ?σ<ξ<μ+σ)=0.6827，P(μ?2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545，P(μ?3σ<ξ<μ+3σ)=0.9973．

(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在x軸上從原點(diǎn)O出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是12，客戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動(dòng)一次，若擲出正面，則遙控車向右移動(dòng)一個(gè)單位，若擲出反面，則遙控車向右移動(dòng)兩個(gè)單位，直到遙控車移到點(diǎn)(59,0)(勝利大本營(yíng))或點(diǎn)(60,0)(失敗大本營(yíng))時(shí)，游戲結(jié)束，若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券.設(shè)遙控車移到點(diǎn)(n,0)的概率為Pn(1≤n≤60)，試證明數(shù)列{Pn21.（12分）已知△ABC的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且tanC=3tanB．

(1)若a=2b，求C；

(2)若a=6，b+c=3，求△ABC的面積．22.（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=2ex+2sinx?(a+1)x，

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)在[0,+∞)上的最小值；

(2)若g(x)與f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案1.A

2.B

3.B

4.A

5.C

6.A

7.A

8.B

9.ABD

10.ABC

11.B

12.ACD

13.(?∞,?2]

14.?15.11716.(0,1617.解：(1)f(x)為奇函數(shù)，證明如下：

由解析式易知1?x1+x>0?(x?1)(x+1)<0??1<x<1，函數(shù)定義域?yàn)??1,1)，

而f(?x)=log21+x1?x=?log21?x1+x=?f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．

(2)由m=1?x1+x=21+x?1在x∈[?13,13]上為減函數(shù)，

而y=log2m在定義域上為增函數(shù)，所以f(x)在x∈[?13,13]18.解：(1)由表格中的數(shù)據(jù)知，y的最大值為7.4，最小值為2.6，

所以A+b=7.4?A+b=2.6，解得A=2.4，b=5，

由題意知T=12.4?0=12.4，

所以ω=2πT=2π12.4=5π31，

所以y=2.4sin(5π31x+φ)+5，

將點(diǎn)(3.1,7.4)代入可得：7.4=2.4sin(5π31×3.1+φ)+5，

所以5π31×3.1+φ=π2+2kπ,k∈Z，

解得φ=2kπ，k∈Z，

又因?yàn)閨φ|<π2，所以φ=0，

所以y=2.4sin5π31x+5,0≤x<24．

(2)貨船需要的安全水深為4.2+2=6.2米，

所以進(jìn)港條件為y≥6.2．

令2.4sin5π31x+5≥6.2，

即sin5π31x≥12，

所以π6+2kπ≤5π31x≤5π6+2kπ,k∈Z，

解得3130+62k5≤x≤316+62k5,k∈Z，

因?yàn)?≤x<24，

所以k=0時(shí)，3130≤x≤316，

k=1時(shí)，40330≤x≤52719.解：(1)因?yàn)閍b=33sinC+cosC，可得a=33bsinC+bcosC，

由正弦定理可得sinA=33sinBsinC+sinBcosC，

所以sinA=sin[π?(B+C)]=sin(B+C)=33sinBsinC+sinBcosC，

所以sinBcosC+cosBsinC=33sinBsinC+sinBcosC，

可得cosBsinC=33sinBsinC，

因?yàn)镃∈(0,π)，所以sinC≠0，

則cosB=33sinB，tanB=3，

又因?yàn)?<B<π，

所以B=π3；

(2)因?yàn)锽A?BD|BA|=BD?BC|20.解：(1)x?≈205×0.1+255×0.2+305×0.45+355×0.2+405×0.05=300．

(2)(i)P(250.25<X<399.5)=0.6827+0.9545?0.68272=0.8186．

(ii)∵Z服從二項(xiàng)分布B(20,0.8186)，

∴E(Z)=20×0.8186=16.372．

(3)當(dāng)3≤n≤59時(shí)，Pn=12Pn?1+12Pn?2，Pn?Pn?1=?12(Pn?1?Pn?2)，

P1=12，P2=12×1221.解：(1)因?yàn)閠anC=3tanB，

所以sinCcosC=3sinBcosB，則sinCcosB=3sinBcosC，

因?yàn)閍=2b，由正弦定理可得，

sinA=2sinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC，

所以2sinB=4sinBcosC，由B為三角形內(nèi)角，故sinB≠0，

所以cosC=12，又0<C<π，

故C=π3；

(2)由(1)知，sinCcosB=3sinBcosC，

則sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC，

由正弦定理可得a=4bcosC，

由a=6，且cosC=a2+b2?c22ab=6+b2?c226b22.解：(1)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=2ex+2sinx?2x，f′(x)=2ex+2cosx?2，

當(dāng)x∈[0,π2]時(shí)，2ex≥2，2cosx≥0，所以f′(x)≥2+0?2=0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(π2,+∞)時(shí)，2ex>2eπ2>4，2cosx≥?2，所以f′(x)>4?2?2=0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

所以f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，最小值為f(0)=2；

(2)因?yàn)間(x)與f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以g(x)=f(?x)=2e?x?2sinx+(a+1)x，

設(shè)?(x)=f(x)?g(x)=2ex?2e?x+4sinx?2(