專題15 排列組合的十三種考法-《臨考沖刺》2023屆高考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)與題型終極滿分攻略含解析

專題15排列組合的十三種考法-《臨考沖刺》2023屆高考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)

與題型終極滿分攻略專題15排列組合的十三種考法

排數(shù)問題

目錄

類型一：捆綁法.................................................................................2

類型二：插空法.................................................................................2

類型三：特殊元素的排序........................................................................4

類型四：間接法.................................................................................4

類型五：隔板法.................................................................................5

類型六：倍縮法解決定序問題....................................................................6

類型七：不平均分組問題........................................................................7

類型八：平均分組問題..........................................................................7

類型九：分類分步問題..........................................................................8

類型十：部分平均分組問題......................................................................9

類型十一：特殊位置的排序......................................................................9

類型十二：染色問題............................................................................10

類型十三：排數(shù)問題............................................................................11

類型一：捆綁法

1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）粽子是中國傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，端午前，小明買了5個質(zhì)量各不相同的粽

子，其中有2個“八寶粽"和3個"蛋黃粽"，將其隨機(jī)排成一行，則2個"八寶粽"相鄰且不排在兩端的概率為

（）

AA.-1Bc.-2C.—1D.一

5533

2.（2023?江西南昌?統(tǒng)考二模）中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品.燈籠綜合了繪畫、

剪紙、紙?jiān)⒋炭p等工藝，與中國人的生活息息相連.燈籠成了中國人喜慶的象征.經(jīng)過歷代燈彩藝人的

繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將

紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚簟⒓槿缫獾鯚舾饕粋€隨機(jī)掛成一排，則有

且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為（）

3.（2023?陜西寶雞?校考模擬預(yù)測）北京中軸線是世界城市建設(shè)歷史上最杰出的城市設(shè)計(jì)范例之一.其中鐘

鼓樓、萬寧橋、景山、故宮、端門、天安門、外金水橋、天安門廣場及建筑群、正陽門、中軸線南段道路

遺存、永定門，依次是自北向南位列軸線中央相鄰的11個重要建筑及遺存.某同學(xué)欲從這11個重要建筑及

遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個游覽，選法有（）

A.9種B.10種C.11種D.12種

4.（2023?云南?統(tǒng)考二模）垃圾分類的目的是提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，減少垃圾處理量和處理設(shè)備

的使用，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會、經(jīng)濟(jì)和生態(tài)等多方面的效益.為配合垃圾分類

在學(xué)校的全面展開，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動.高一、高二、高三年級分別有2名、3名、3名

同學(xué)獲一等獎.若將上述獲一等獎的8名同學(xué)排成一排合影，要求同年級同學(xué)排在一起，則不同的排法共有

（）

A.432種B.420種C.176種D.72種

5.（2023?重慶萬州?重慶市萬州第二高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）某社區(qū)活動需要連續(xù)六天有志愿者參加服務(wù),

每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，計(jì)劃依次安排到該社區(qū)參加服務(wù)，要

求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（）

A.72種B.81種C.144種D.192種

類型二：插空法

6.（2023春?浙江杭州?高二杭州市長河高級中學(xué)?？计谥校┯?名男生，4名女生，在下列不同條件下，正

確的是（）

A.任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種

B.全體站成一排，男生互不相鄰有1440種

C.全體站成一排，女生必須站在一起有144種

D.全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種

7.（2023春?山西運(yùn)城?高二康杰中學(xué)校考階段練習(xí)）第24屆冬奧會于2022年2月4日在中國北京市和張家

口市聯(lián)合舉行.甲，乙等5名志愿者計(jì)劃到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花樣滑冰4個比賽區(qū)從事

志愿者活動，則下列說法正確的有（）

A.若短道速滑賽區(qū)必須安排2人，其余各安排1人，則有60種不同的方案

B.安排這5人排成一排拍照，若甲、乙不相鄰，則有48種不同的站法

C.若每個比賽區(qū)至少安排1人，則有240種不同的方案

D.已知這5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中間，

則有40種不同的站法

8.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）將5個1和2個0隨機(jī)排成一行，貝U2個0不相鄰的概

率為.

9.（2023?河北張家口?統(tǒng)考一模）小李在2005年10月18日出生，他在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自

己出生日期的后6個數(shù)字0,5,1,0,1,8進(jìn)行某種排列，從而得到密碼.如果排列時(shí)要求兩個1不相鄰，

兩個0也不相鄰，那么小李可以設(shè)置的不同密碼有個（用數(shù)字作答）.

10.（2023春,江蘇南京,高二南京市第一中學(xué)?？计谥校┯?名男生，4名女生，（每小題都用數(shù)字作答）.

⑴若全體站成一排，3名男生不相鄰，4名女生也不相鄰，則有多少種排隊(duì)方法；

（2）若全體站成一排，男生甲不站在兩端，女生乙不能站在中間，則有多少種排隊(duì)方法；

⑶若排成前后兩排，前排3人，后排4人，且同一排的學(xué)生性別不全相同，則有多少種排隊(duì)方法.

11.（2023春?山西?高二統(tǒng)考期中）5名男生，2名女生，站成一排照相.

（1）兩名女生不排在隊(duì)伍兩頭的排法有多少種？

（2）兩名女生不相鄰的排法有多少種？

⑶兩名女生中間有且只有一人的排法有多少種？

類型三：特殊元素的排序

12.（2023?廣西南寧?南寧三中校考模擬預(yù)測）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)參加勞動技術(shù)比賽，決出第

一名到第五名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說："很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍，"對乙說："你

不是最差的."從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有（）不同的排列

A.36B.54C.60D.72

13.（2023春?江蘇無錫,高二江蘇省太湖高級中學(xué)?？计谥校┤齻€人踢健子，互相傳遞，每人每次只能踢一

下，由甲開始踢，經(jīng)過5次傳遞后，健子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有（）

A.4種B.6種C.10種D.16種

14.（安徽省皖南八校2023屆高三三模數(shù)學(xué)試卷）某企業(yè)五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，

每人只值班一天.己知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，則不同的安排種數(shù)為.

15.（2023春?甘肅武威?高二武威第六中學(xué)?？计谥校?位教師和4名學(xué)生站成一排，要求2位教師站在中

間，學(xué)生甲不站在兩邊，則不同排法的種數(shù)為

16.（2023?福建?統(tǒng)考模擬預(yù)測）5個人站成一排，小王不站兩端的概率為.

類型四：間接法

17.（2023春?廣西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)"合稱"六藝某校國學(xué)

社團(tuán)開展“六藝”講座活動，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求"射"不在第一次，"數(shù)"和"樂"兩次

不相鄰，貝/六藝"講座不同的次序共有（）

A.120種B.240種C.1092種D.408種

18.（2023春?江蘇南京?高二?？茧A段練習(xí)）從1,2,3,4,5,6,7中任取3個數(shù)字，至少有1個數(shù)字是偶數(shù)的情況有

（）

A.28種B.30種C.31種D.35種

19.（2023春?山西呂梁?高二山西省交城中學(xué)校統(tǒng)考期中）高二年級安排甲、乙、丙三位同學(xué)到4B,C,O,六

個社區(qū)進(jìn)行暑期社會實(shí)踐活動，每位同學(xué)只能選擇一個社區(qū)進(jìn)行活動，且多個同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進(jìn)

行活動，下列說法正確的有（）

A.如果社區(qū)B必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有88種

B.如果同學(xué)乙必須選擇社區(qū)C,則不同的安排方法有36種

C.如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有150種

D.如果甲、丙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有36種

20.（2023春?天津紅橋?高二天津市瑞景中學(xué)?？计谥校┠钞a(chǎn)品加工需要經(jīng)過5道工序，如果其中某2道工

序必須相鄰，那么共有種加工工序（用數(shù)字作答）；如果其中某2道工序不相鄰，那么共有

種加工工序（用數(shù)字作答）

21.（2023春?山西?高二統(tǒng)考期中）課外活動小組共9人，其中男生5人，女生4人，現(xiàn)從中選5人主持某

種活動，則至少有2名男生和1名女生參加的選法有種.

類型五：隔板法

22.（2018?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）滿足不等式設(shè)|+|y|+\z\<5的有序整數(shù)組（x,y,z）的數(shù)目為（）

A.228B.229C.230D.231

23.（2023春?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期中）下列選項(xiàng)正確的是（）

A.有6個不同的球,取5個放入5個不同的盒子中，每個盒子恰好放1個，則不同的存放方式有720種

B.有7個不同的球,全部放入5個相同的盒子中，每個盒子至少放1個，則不同的存放方式有140種

C.有7個相同的球,取5個放入3個不同的盒子中，允許有盒子空，則不同的存放方式有18種

D.有7個相同的球,全部放入3個相同的盒子中，允許有盒子空，則不同的存放方式有8種

24.（2023春?貴州畢節(jié)?高二?？计谥校┫铝姓f法正確的為（）

A.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有髭田廢種不同的分法

B.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有禺髭CM1種不同的分法

C.6本相同的書分給甲、乙、丙三人,每人至少--本，有10種不同的分法

D.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450種不同的分法

25.（2023春?天津?高二統(tǒng)考期中）有12個志愿者名額全部分配給某年級的10個班，若每班至少分配到一

個名額，則所有不同的分配方法種數(shù)為.

26.（2023?重慶?二模）用0~9十個數(shù)字排成三位數(shù)，允許數(shù)字重復(fù)，把個位、十位、百位的數(shù)字之和等于9

的三位數(shù)稱為“長久數(shù)"，則"長久數(shù)"一共有個.

27.（2023春?湖北?高二武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考期中）某校社團(tuán)召開學(xué)生會議，要將11個學(xué)生代表名額，分

配到高二年級的6個班級中，若高二（一）班至少3個名額，其余5個班每班至少1個名額，共有

種不同分法.（用數(shù)字作答）

28.（2023春?天津紅橋?高二天津市瑞景中學(xué)?？计谥校┱n外活動小組共9人，其中男生5人，女生4人，并

且男、女生各指定一名隊(duì)長，現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？

⑴至少有1名隊(duì)長當(dāng)選；

（2）至多有2名女生當(dāng)選；

⑶既要有隊(duì)長，又要有女生當(dāng)選.

類型六：倍縮法解決定序問題

29.（2023春?安徽阜陽?高二安徽省太和中學(xué)校考期中）某校計(jì)劃安排五位老師（包含甲、乙）擔(dān)任周一至

周四的值班工作，每天都有老師值班，且每人最多值班一天，則下列說法正確的是（）

A.若周一必須安排兩位老師，則不同的安排方法共有60種

B.若甲、乙均值班且必須排在同一天值班，則不同的安排方法共有48種

C.若五位老師都值班一天，則不同的安排方法共有240種

D.若每天恰有一位老師值班，且如果甲乙均值班，則甲必須在乙之前值班的不同的安排方法共有84種

30.（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）某電視節(jié)目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相.

⑴其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場，出場順序有多少種？

（2）3位老者與2位年輕人都要分別按從大到小的順序出場，順序有多少種？

31.（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）五個人排成一排，求滿足下列條件的不同排列各有多少種.

（1）4,B,C三人左中右順序不變（不一定相鄰）；

（2）A在8的左邊且C在。的右邊（可以不相鄰）.

32.（2023春?湖北武漢?高二武漢市吳家山中學(xué)校聯(lián)考期中）某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數(shù)學(xué)、

物理、體育、英語共6節(jié)課

⑴如果數(shù)學(xué)必須比語文先上，則不同的排法有多少種？

⑵原定的6節(jié)課已排好，學(xué)校臨時(shí)通知要增加生物化學(xué)地理3節(jié)課，若將這3節(jié)課插入原課表中且原來的6

節(jié)課相對順序不變，則有多少種不同的排法？

33.（2023?全國?高二專題練習(xí)）7個人按照下列要求排成一縱隊(duì)：A,B,C三人的前后順序一定，有多少種

不同的排法？（用數(shù)字作答）

類型七：不平均分組問題

34.（2022春?浙江杭州?高二?？计谥校┰谝淮慰购榫葹?zāi)中，甲、乙、丙、丁4名黨員被安排到A,B,C三

個村，參與抗洪救災(zāi)任務(wù)，每個村至少安排1名黨員，則不同的分配方案種數(shù)為（）

A.12B.14C.36D.28

35.（2023春?重慶南岸?高二?？计谥校〤hatGPT、LAMDA、Blender是近期火爆的Al程序，它們能夠與人類

進(jìn)行聊天交流，完成撰寫郵件、視頻腳本、文案等工作.某興趣小組4名成員打算分工學(xué)習(xí)這三個AI程序，

每個人只能學(xué)習(xí)一個程序，每個程序至少有一人學(xué)習(xí)，則不同的分工方法有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

36.（2023春?安徽馬鞍山?高二馬鞍山二中校考期中）2023年春節(jié)期間，電影院上映《流浪地球2》《潢江紅》

《熊出沒?伴我“熊芯”》等多部電影，某居委會有6張不同的電影票，獎勵給甲、乙、丙三戶"五好文明家庭"，

其中一戶1張，一戶2張，一戶3張，則共有種不同的分法.

37.（山東省濟(jì)南市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）為慶祝黨的二十大勝利閉幕，某校高二級部

組織全體同學(xué)進(jìn)行了主題為“二十大精神進(jìn)校園，培根鑄魂育新人"的二十大知識競賽，并選出了4名女生和

3名男生共7名優(yōu)勝者.賽后，7名同學(xué)站成一排，照相留念.

⑴女生必須站在一起的站隊(duì)方式有多少種？

⑵男生甲不與其他男生相鄰的站隊(duì)方式有多少種？

⑶現(xiàn)在要求這7名同學(xué)分成三個宣講小組分別去給高一、高二、高三三個年級的同學(xué)做二十大學(xué)習(xí)成果匯

報(bào)，要求每個小組必須既有男生又有女生，問有多少種安排方案？

38.（2023春?山東荷澤?高二曹縣一中?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有大小相同的8個球，其中4個不同的黑球，2個

不同的紅球，2個不同的黃球.

⑴將這8個球排成一列，要求黑球排在一起，2個紅球相鄰，2個黃球不相鄰，求排法種數(shù)；

（2）從這8個球中取出4個球，要求各種顏色的球都取到，求取法種數(shù)；

⑶將這8個球分成三堆，每堆至少2個球，求分堆種數(shù).

39.（2023春?山西呂梁?高二山西省交城中學(xué)校統(tǒng)考期中）已知有9本不同的書.

⑴分成三堆，每堆3本，有多少種不同的分堆方法？

⑵分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少種不同的分堆方法？（用數(shù)字作答）

類型八：平均分組問題

40.（2023春?湖南長沙?高二長沙市明德中學(xué)校考期中）2023年，中國空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營階段.假設(shè)空

間站要安排6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，每個艙中都有2人，則不同的安排方法有（）

A.72種B.90種C.360種D.540種

41.（2023春?重慶?高二校聯(lián)考期中）放假伊始，8名同學(xué)相約前往某門店體驗(yàn)沉浸式角色扮演型劇本游戲，

目前店中僅有可供4人組局的劇本，其中4B角色各1人，C角色2人.已知這8名同學(xué)中有4名男生，4名

女生，店主讓他們8人分成兩組先后參加游戲，其中4B角色不可同時(shí)為女生，C角色至少有一名女生，則

他們不同的選擇方式共有（）

A.2376種B.4752種C.9504種D.1584種

42.（湖南省永州市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）在二項(xiàng)式（代+專丫的展開式中，把所有的項(xiàng)進(jìn)行排列，

有理項(xiàng)都互不相鄰，則不同的排列方案為（）

A.A》2種B.種C.AgA5種D.種

43.（2023?全國?學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）大學(xué)生志愿服務(wù)西部計(jì)劃（簡稱西部計(jì)劃）是經(jīng)國務(wù)院常務(wù)會議決

定，由共青團(tuán)中央、教育部、財(cái)政部、人力資源社會保障部共同組織實(shí)施的一項(xiàng)重大人才工程.現(xiàn)招募選派一定

數(shù)量的西部計(jì)劃全國項(xiàng)目志愿者到西部地區(qū)基層工作，某大學(xué)計(jì)劃將6名志愿者平均分成3組，到3個不

同地點(diǎn)服務(wù)，若每組去一個地點(diǎn)，每個地點(diǎn)都有人服務(wù)，且甲、乙兩名志愿者在同一個地點(diǎn)服務(wù)的分配方案

有（）

A.18種B.36種C.72種D.144種

44.（2023春?廣東江門?高二?？茧A段練習(xí)）2022年10月31日15：37分，我國將"夢天實(shí)驗(yàn)艙”成功送上

太空，成功將中國空間站建設(shè)完畢，中國空間站將于2023年正式進(jìn)入運(yùn)營階段.現(xiàn)空間站要安排甲、乙等6

名航天員到3個不同的實(shí)驗(yàn)艙開展實(shí)驗(yàn)，3艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方案共有（）

A.450種B.720種C.90種D.360種

類型九：分類分步問題

45.（河南省開封市2023屆高三第三次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）從3名男生，2名女生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生

到社區(qū)當(dāng)志愿者，則正好抽取1名男生、1名女生的概率是（）

1?2?

A.-B.—C.￡D.-

51055

46.（2023?浙江?校聯(lián)考二模）甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，

則不同的站法種數(shù)是（）

A.120B.210C.211D.216

47.（河北省承德市2023屆高三下學(xué)期4月高考模擬數(shù)學(xué)試題）某校高三年級有n（n>2,neN*）個班，每

個班均有（n+30）人，第k（fc=1,2,3,-,n）個班中有（k+10）個女生，余下的為男生.在這八個班中任取一

個班，再從該班中依次取出三人，若第三次取出的人恰為男生的概率是卷，則幾=.

48.（河北省石家莊市部分學(xué)校2023屆高三聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)試題）近兩年來，多個省份公布新高考改革方

案，其中部分省份實(shí)行"3+1+2"的高考模式，"3"為全國統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)、外語3門必考科目，"1"由

考生在物理、歷史兩門科目中選考1門科目，"2"由考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物4門科目中選考2門科

目，則甲，乙兩名考生恰有兩門選考科目相同的概率為.

49.（2023?江蘇,高二專題練習(xí)）有8名男生和5名女生，從中任選6人.

⑴有多少種不同的選法？

（2）其中有3名女生，有多少種不同的選法？

⑶其中至多有3名女生，有多少種不同的選法？

類型十：部分平均分組問題

50.（浙江省杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）某班需安排甲、

乙、丙、丁四位同學(xué)到A、8、C三個社區(qū)參加志愿活動，每位同學(xué)必須參加一個社區(qū)活動，每個社區(qū)至少

有一位同學(xué).由于交通原因，乙不能去A社區(qū)，甲和乙不能同去一個社區(qū)，則不同的安排方法數(shù)為（）

A.14B.20C.24D.36

51.（2023春?河南洛陽?高二統(tǒng)考期中）將6名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺

4個項(xiàng)目進(jìn)行服務(wù)，每名志原者只分配到1個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有

（）

A.480種B.1080種C.1560種D.2640種

52.（2023春?江蘇南京?高二南京外國語學(xué)校?？计谥校┽t(yī)院每周周一至周五這5天要安排3名醫(yī)生值夜班，

每天只安排一名醫(yī)生，每周每名醫(yī)生至少值一天班，同一名醫(yī)生不能連續(xù)3天值班，那么不同的安排方案

的種數(shù)為（）

A.90B.132C.150D.222

53.（2023春?重慶沙坪壩?高二重慶八中?？计谥校┰谖倚＿\(yùn)動會期間，為了各項(xiàng)賽事的順利進(jìn)行，學(xué)生會

組織了5個志愿服務(wù)小組，前往3個比賽場地進(jìn)行志愿服務(wù).若每個場地至少分配1個志愿服務(wù)小組，每個

志愿服務(wù)小組只能在1個場地進(jìn)行服務(wù)，并且甲小組不去比賽場地A,則不同的分配方法種數(shù)為.

54.（2023?湖南懷化?統(tǒng)考二模）信息技術(shù)輔助教學(xué)已經(jīng)成為教學(xué)的主流趨勢，為了了解學(xué)生利用學(xué)習(xí)機(jī)學(xué)

習(xí)的情況，某研究機(jī)構(gòu)在購物平臺上購買了6種主流的學(xué)習(xí)機(jī)，并安排4人進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，且每人至

少統(tǒng)計(jì)1種學(xué)習(xí)機(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)（不重復(fù)統(tǒng)計(jì)），則不同的安排方法有.

類型十一：特殊位置的排序

55.（山東省濟(jì)南市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）小明和妹妹跟著父母一家四口到游樂園游玩，

購票后依次入園，為安全起見，首尾一定要排家長，則這4個人的入園順序的種數(shù)是（）

A.4B.6C.12D.24

56.（2023春,山西呂梁?高二山西省交城中學(xué)校統(tǒng)考期中）小王、小李等9名同學(xué)相約去游玩，在某景點(diǎn)排成

一排拍照留念，則小王不在兩端，且小李不在正中間位置的概率是（）

“25c9-5c17

A.—B.—C.-D.—

3614828

57.（2023春?江蘇南京?高二南京外國語學(xué)校?？计谥校┯蓴?shù)字0,123,4組成的各位上沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)

中，從小到大排列第88個數(shù)為（）

A.42031B.42103C.42130D.42301

58.（2023?山東?校聯(lián)考二模）己知赤表示一個三位數(shù)，如果滿足a>b且c>b,那么我們稱該三位數(shù)為“凹

數(shù)"，則沒有重復(fù)數(shù)字的三位"凹數(shù)"共個（用數(shù)字作答）.

59.（2023春?河北衡水,高三衡水市第二中學(xué)期末）每年5月初，高三的同學(xué)們都要拍畢業(yè)照，留下高中生

活的美好見證.某班同學(xué)集體合影后有4位同學(xué)邀請兩位老師合影留念.若6人站成一排，兩位老師站在中間

位置，甲乙兩位同學(xué)站在一起，則不同的站位方法有種.（用數(shù)字作答）

60.（2023春?山西太原?高二山西大附中校考期中）（1）將10本不同的專著分成3本，3本，3本和1本，

分別交給4位學(xué)者閱讀，問有多少種不同的分法？

（2）從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個數(shù)字，一共可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字

的四位數(shù)？

類型十二：染色問題

61.（2023?湖南?鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考三模）用紅、黃、藍(lán)三種顏色給下圖著色，要求有公共邊的兩塊不

著同色.在所有著色方案中，①③⑤著相同色的有（）

A.96種B.24種C.48種D.12種

62.（2023春?廣東梅州?高二統(tǒng)考期中）某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準(zhǔn)備給其5個面涂色，每個面

涂一種顏色，且相鄰兩個面所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）

A.1080種B.720種C.660種D.600種

63.（2023春?江蘇常州?高二常州市北郊高級中學(xué)校考期中）如圖所示的一圓形花圃，擬在A,B,C,0區(qū)

域種植花苗，現(xiàn)有3種不同顏色的花苗，每個區(qū)域種植1種顏色的花苗，且相鄰的2塊區(qū)域種植顏色不同

的花苗，則不同的種植方法總數(shù)為（）

BC

A.12B.18C.24D.30

64.（浙江省杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在一廣場

兩側(cè)設(shè)置6只彩燈，現(xiàn)有4種不同顏色的彩燈可供選擇，則下列結(jié)論正確的是（）

A.共有46種不同方案

B.若相鄰兩燈不同色，正相對的兩燈（如1、4）也不同色，且4種顏色的彩燈均要使用，則共有186種不

同方案

C.若相鄰兩燈不同色，正相對的兩燈（如1、4）也不同色，且只能使用3種顏色的彩燈，則共有192種不

同方案

D.若相鄰兩燈不同色，正相對的兩燈（如1、4）也不同色，且只能使用2種顏色的彩燈，則共有12種不同

方案

65.（2023春?湖北?高二校聯(lián)考期中）現(xiàn)準(zhǔn)備給每面刻有不同點(diǎn)數(shù)的骰子涂色，每個面涂一種顏色，相鄰兩

個面所涂顏色不能相同.若有5種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有種.

類型十三：排數(shù)問題

66.（2023春?湖北武漢?高二武漢市吳家山中學(xué)校聯(lián)考期中）從1,2,3,0這四個數(shù)中取三個組成沒有重復(fù)

數(shù)字的三位數(shù)，則三位數(shù)的個數(shù)為（）

A.24B.48C.18D.36

67.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）從1、2、3、4、5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3

整除的概率為（）

A.—B.-C.—D.-

105105

68.（2023?江西?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個三位數(shù)M的各個數(shù)位上的數(shù)字之和為7,則我們稱M是一個

“happy數(shù)"，例如"223,520"都是"happy數(shù)".那么"happy數(shù)”的個數(shù)共有（）

A.25個B.28個C.29個D.36個

69.（2023春?湖北?高二校聯(lián)考期中）由數(shù)字0,1,2,3組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，下列結(jié)論正確的

是（）

A.可以組成18個不同的數(shù)

B.可以組成8個奇數(shù)

C.可以組成12個偶數(shù)

D.若數(shù)字1和2相鄰，則可以組成8個不同的數(shù)

70.（2022春?浙江杭州?高二?？计谥校┯脭?shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，可以組成

個四位數(shù).

71.（2023春?江蘇蘇州?高二校聯(lián)考期中）用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，在組

成的四位數(shù)中，能被5整除的有個.

專題15排列組合的十三種考法

持?jǐn)繂杅l!

目錄

類型一：捆綁法.................................................................................2

類型二：插空法.................................................................................2

類型三：特殊元素的排序.........................................................................4

類型四：間接法.................................................................................4

類型五：隔板法.................................................................................5

類型六：倍縮法解決定序問題....................................................................6

類型七：不平均分組問題.........................................................................7

類型八：平均分組問題...........................................................................7

類型九：分類分步問題...........................................................................8

類型十：部分平均分組問題.......................................................................9

類型十一：特殊位置的排序.......................................................................9

類型十二：染色問題............................................................................10

類型十三：排數(shù)問題............................................................................11

類型一：捆綁法

1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）粽子是中國傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，端午前，小明買了5個質(zhì)

量各不相同的粽子，其中有2個“八寶粽"和3個"蛋黃粽"，將其隨機(jī)排成一行，則2個“八

寶粽"相鄰且不排在兩端的概率為（）

【答案】A

【分析】將5個粽子隨機(jī)排成一行，先將3個"蛋黃粽"排成一行，由題意把2個"八寶粽"看

作一個整體插入3個“蛋黃粽"的中間2個空里，再利用古典概型的概率求解.

【詳解】解：將5個粽子隨機(jī)排成一行，共有廢=120種方法，

先將3個"蛋黃粽"排成一行，有A掾種方法，2個"八寶粽"全排列，有掰種方法，

再把2個"八寶粽"看作一個整體插入3個"蛋黃粽"的中間2個空里，有A：種方法，

所以共有Ag?AQA,=24種方法.

由古典概型的概率公式得P=言=/

故選：A

2.（2023?江西南昌?統(tǒng)考二模）中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品.燈

籠綜合了繪畫、剪紙、紙?jiān)?、刺縫等工藝，與中國人的生活息息相連.燈籠成了中國人喜慶

的象征.經(jīng)過歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種

類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、

恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚簟⒓槿缫獾鯚舾饕粋€隨機(jī)掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率

為（）

【答案】A

【分析】設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為ai，a2；楠木紗燈、花梨木紗燈為燈加2；恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚簟?/p>

吉祥如意吊燈為g,C2.先求僅ae2相鄰的種數(shù)，把a(bǔ)】a2看作一個元素，分三種情況討論：aia2

排在首尾；a】a2排在五個位置中第二、第四位；a得2排在第三個位置，同理得僅1b2相鄰,

僅JC2相鄰的情況，進(jìn)而得出概率.

【詳解】設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為a1,a2；楠木紗燈、花梨木紗燈為兒,b2；恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚簟?/p>

吉祥如意吊燈為J,C2.

先求僅a1a2相鄰的種數(shù)，把a(bǔ)e2看作一個元素，

當(dāng)am2排在首尾時(shí)，不同的排法有電=（AlX禺xA分X2=32種;

當(dāng)ae2排在五個位置中第二、第四位時(shí)，不同的排法有電=（心'人孑*人》*2=32種：

當(dāng)am2排在第三個位置時(shí)，不同的排法有電=CjC^AlxAjxA1=32種,

故僅a1a2相鄰共有Ni+N2+N3=96種排法，

同理得僅bib2相鄰，僅C1C2相鄰的情況，也都有96種排法，

所以有且僅有一種類型燈籠相鄰的概率為P=簧=|?

故選：A.

3.（2023?陜西寶雞??？寄M預(yù)測）北京中軸線是世界城市建設(shè)歷史上最杰出的城市設(shè)計(jì)范

例之一.其中鐘鼓樓、萬寧橋、景山、故宮、端門、天安門、外金水橋、天安門廣場及建筑

群、正陽門、中軸線南段道路遺存、永定門，依次是自北向南位列軸線中央相鄰的11個重

要建筑及遺存.某同學(xué)欲從這11個重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個游覽，選法有（）

A.9種B.10種C.11種D.12種

【答案】A

【分析】利用捆綁法求解.

【詳解】將3個相鄰建筑及遺存看成一個整體，

則共有9種,

即這11個重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個游覽，共有9種選法，

故選：A.

4.（2023?云南?統(tǒng)考二模）垃圾分類的目的是提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，減少垃圾處

理量和處理設(shè)備的使用，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會、經(jīng)濟(jì)和生態(tài)等多

方面的效益.為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活

動.高一、高二、高三年級分別有2名、3名、3名同學(xué)獲一等獎.若將上述獲一等獎的8名

同學(xué)排成一排合影，要求同年級同學(xué)排在一起，則不同的排法共有（）

A.432種B.420種C.176種D.72種

【答案】A

【分析】將各年級的學(xué)生進(jìn)行捆綁，然后考慮三個"大元素”之間的順序及各"大元素”內(nèi)部之

間的順序，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】將三個年級的學(xué)生分別捆綁，形成三個"大元素"，

考慮三個"大元素”之間的順序及各"大元素”內(nèi)部之間的順序，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的排法種數(shù)為A弘，AgA弓=6x2x6x6=432利I

故選：A.

5.（2023?重慶萬州?重慶市萬州第二高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）某社區(qū)活動需要連續(xù)六天有志

愿者參加服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，計(jì)劃依

次安排到該社區(qū)參加服務(wù)，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安

排方案共有（）

A.72種B.81種C.144種D.192種

【答案】D

【分析】先計(jì)算乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)的排法，排除乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一

天參加服務(wù)的排法，即可得出答案.

【詳解】解：若乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為A,Ag=240,

若乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為A2Az=48,

由間接法可知，滿足條件的排法種數(shù)為240-48=192種.

故選：D.

類型二：插空法

6.（2023春?浙江杭州?高二杭州市長河高級中學(xué)?？计谥校┯?名男生,4名女生,在下列

不同條件下，正確的是（）

A.任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種

B.全體站成一排，男生互不相鄰有1440種

C.全體站成一排，女生必須站在一起有144種

D.全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種

【答案】ABD

【分析】根據(jù)排列組合的特殊方法逐項(xiàng)求解判斷即可.

【詳解】對于A,任選其中3人有喘種情況，這3人相互調(diào)整座位方案有2種，其余4人座位

不變，則不同的調(diào)整方案有2G=70種，故A正確；

對于B,全體站成一排先安排女生有A2種情況，則在其中5個空位安排3名男生的情況有Ag種,

故男生互不相鄰有=1440種，故B正確；

對于C,全體站成一排，4名女生必須站在一起有A%A：=576種，故C不正確；

對于D,甲站排頭有A3種情況，乙站排尾有A?種情況，甲站排頭且乙站排尾有篦種情況，

所以甲不站排頭，乙不站排尾有人4-2人后+人冷=3720種，故D正確.

故選：ABD.

7.（2023春?山西運(yùn)城?高二康杰中學(xué)校考階段練習(xí)）第24屆冬奧會于2022年2月4日在中

國北京市和張家口市聯(lián)合舉行.甲，乙等5名志愿者計(jì)劃到高山滑雪、自由式滑雪、短道速

滑和花樣滑冰4個比賽區(qū)從事志愿者活動，則下列說法正確的有（）

A.若短道速滑賽區(qū)必須安排2人，其余各安排1人，則有60種不同的方案

B.安排這5人排成一排拍照，若甲、乙不相鄰，則有48種不同的站法

C.若每個比賽區(qū)至少安排1人，則有240種不同的方案

D.己知這5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身

高最高的站中間，則有40種不同的站法

【答案】ACD

【分析】A.先選兩人到短道速滑賽區(qū)，其余人全排列；B.先排甲、乙之外的三人，再將甲

乙插空；C.先選2人排在某個賽，其余3人全排列；D.先從5人中選2人排在前排，剩余3

人，由身高最高的站中間排列.

【詳解】解：A.由題意，先選兩人到短道速滑賽區(qū)有髭種排法，其余各安排1人有Ag種排法，

則有髭A掾=60種不同的方案，故正確；

B.由題意，先排甲、乙之外的三人有A,排法，再從4個空選2個將甲乙排上有A：種排法，

則有AgA%=72種不同的站法，故錯誤：

C.先選2人排在某個賽區(qū)有4髭種排法，其余3人全排列，則有4髭Ag=240種不同的方案，

故正確；

D.先從5人中選2人排在前排有Ag種排法，剩余3人排在后排，由于后排3人中身高最高的

站中間有A2種排法，則共有A2Ag=40種不同的排法，故正確；

故選：ACD

8.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）將5個1和2個。隨機(jī)排成一行，則2

個0不相鄰的概率為.

【答案】］

【分析】首先將5個1和2個0隨機(jī)排成一行，求出總的排放方法，再利用插空法求出2

個0不相鄰的排法，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】將5個1和2個0隨機(jī)排成一行，總的排放方法有鑿=笈=21種，

要使2個。不相鄰，利用插空法，5個1有6個位置可以放0,

故排放方法有髭=衿=15種，

02X1

所以所求概率為p==*

故答案為：*

9.（2023?河北張家口?統(tǒng)考一模）小李在2005年10月18日出生，他在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密

碼時(shí)，打算將自己出生日期的后6個數(shù)字0,5,1,0,1,8進(jìn)行某種排列，從而得到密碼.如

果排列時(shí)要求兩個1不相鄰，兩個0也不相鄰，那么小李可以設(shè)置的不同密碼有

個（用數(shù)字作答）.

【答案】84

【分析】先排1,5,8,再利用插空法把。排好，根據(jù)兩個計(jì)數(shù)原理可得答案.

【詳解】先排列1,1,5,8這四個數(shù)，當(dāng)1和1不相鄰時(shí)，有A芻鬣種排法，再插入兩個0,

有的鬣髭種排法；

當(dāng)1和1相鄰時(shí)，有圖種排法，再插入兩個0,有AgC捌排法.

所以共有A,髭髭+Ag禺=84（種）排法.

故答案為：84.

10.（2023春?江蘇南京?高二南京市第一中學(xué)?？计谥校┯?名男生，4名女生，（每小題都

用數(shù)字作答）.

⑴若全體站成一排，3名男生不相鄰，4名女生也不相鄰，則有多少種排隊(duì)方法；

⑵若全體站成一排，男生甲不站在兩端，女生乙不能站在中間，則有多少種排隊(duì)方法；

（3）若排成前后兩排，前排3人，后排4人，且同一排的學(xué)生性別不全相同，則有多少種排

隊(duì)方法.

【答案】⑴144

⑵3120

（3）4320

【分析】（1）先將4名女生全排列，然后將3名男生插到4名女生隔出的3個空中計(jì)算；（2）

分類討論男生甲站在中間與不站在中間的兩種情況，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算；（3）利

用對立事件，把所有的情況減去同一排性別相同的情況.

【詳解】⑴先將4名女生全排列得A：=24種，

然后將3名男生插空到4名女生之間隔出的3個空中（兩端的空除外）得A1=6種，

所以不同的排法共有A：xA|=24x6=144種；

（2）若男生甲站在中間,則共有純=720種;

若男生甲不站在中間，先排中間有Ag=5種，

然后再排列兩端，此時(shí)有Ag=20種，

最后剩下4個人全排列有A*=24種，

所以不同的排法共有建+AaxA|xAt=720+5x20x24=3120種

（3）前面站3名男生，后面站4名女生，共有AgxA%=144種；

所以前排3人，后排4人，且同一排的學(xué)生性別不全相同，

共有的-AlxAj-A|xA5=5040-144=4320種

11.（2023春?山西?高二統(tǒng)考期中）5名男生，2名女生，站成一排照相.

⑴兩名女生不排在隊(duì)伍兩頭的排法有多少種？

（2）兩名女生不相鄰的排法有多少種？

⑶兩名女生中間有且只有一人的排法有多少種？

【答案】⑴2400

（2）3600

（3）1200

【分析】（1）中間5個位置先排2名女生，然后其余5個位置排剩下的5人，由分步乘法計(jì)