第09講直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第09講直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式【人教A版2019】·模塊一兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)·模塊二距離公式·模塊三點(diǎn)、線(xiàn)間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系·模塊四課后作業(yè)模塊模塊一兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)1．兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)

一般地，將兩條直線(xiàn)的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線(xiàn)相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行；若方程組有無(wú)窮多解，則兩條直線(xiàn)重合.(2)兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系設(shè)兩直線(xiàn),直線(xiàn).方程組的解一組無(wú)數(shù)組無(wú)解直線(xiàn)l1和l2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)直線(xiàn)l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行【考點(diǎn)1求兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)】【例1.1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線(xiàn)x+2y?4=0與直線(xiàn)2x?y+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【例1.2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若直線(xiàn)l:y=kx?3與直線(xiàn)2x+3y?6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線(xiàn)l的傾斜角的取值范圍是（

A．π6,π3 B．π6,【變式1.1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線(xiàn)2x+ky+8=0,x?y?1=0和2x?y=0交于一點(diǎn)，則k的值為（

）A．?2 B．?12 C．3 【變式1.2】（2023·上海浦東新·?？既＃┮阎龡l直線(xiàn)l1:x?2y+2=0，l2:x?2=0，l3A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【考點(diǎn)2經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)方程】【例2.1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第一二二中學(xué)校校考階段練習(xí)）過(guò)直線(xiàn)x+y?3=0和2x?y+6=0的交點(diǎn)，且與直線(xiàn)2x+y?3=0垂直的直線(xiàn)方程是（

）A．4x+2y?9=0 B．4x?2y+9=0C．x+2y?9=0 D．x?2y+9=0【例2.2】（2023秋·福建福州·高二?？计谀┻^(guò)兩直線(xiàn)x+y?3=0,2x?y=0的交點(diǎn)，且與直線(xiàn)x?3y?1=0垂直的直線(xiàn)方程為（

）A．3x+y+5=0 B．x?3y?5=0 C．3x+y?5=0 D．x?3y+5=0【變式2.1】（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)2x?y+1=0和x+y+2=0的交點(diǎn)，且與直線(xiàn)2x+3y=0平行的直線(xiàn)的方程為（

）A．2x+3y?5=0 B．2x+3y+5=0C．2x+3y+1=0 D．2x?3y?1=0【變式2.2】（2023秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AC，AB所在直線(xiàn)方程分別為4x?3y?13=0和3x+4y?16=0，則∠A的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為（

）A．x?7y+3=0 B．7x+y?29=0 C．x?y+3=0 D．x+y?5=0模塊模塊二距離公式1．兩點(diǎn)間的距離公式平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為.

特別地，原點(diǎn)O到任意一點(diǎn)P(x,y)的距離為|OP|=.2．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式(1)定義：點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離，就是從點(diǎn)P到直線(xiàn)l的垂線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度，其中Q是垂足.實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是直線(xiàn)上的點(diǎn)與直線(xiàn)外該點(diǎn)的連線(xiàn)的最短距離.

(2)公式：

已知一個(gè)定點(diǎn)，一條直線(xiàn)為l:Ax+By+C=0，則定點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為d=.3．兩條平行直線(xiàn)間的距離公式(1)定義

兩條平行直線(xiàn)間的距離是指夾在兩條平行直線(xiàn)間的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng).

(2)公式

設(shè)有兩條平行直線(xiàn)，，則它們之間的距離為d=.4．中點(diǎn)坐標(biāo)公式公式：

設(shè)平面上兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則.【考點(diǎn)1兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用】【例1.1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)A7,4，B4,8，則A，B兩點(diǎn)的距離為（A．25 B．5C．4 D．7【例1.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知A(?1,2),B(0,4)，點(diǎn)C在x軸上，且AC=BC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（A．?112,0 B．0,?112 【變式1.1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過(guò)點(diǎn)A(4,a)和點(diǎn)B(5,b)的直線(xiàn)與y=x+m平行，則AB的值為（

）A．6 B．2 C．2 D．不能確定【變式1.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3,4)，則AB的長(zhǎng)為（

）A．10 B．5 C．8 D．6【考點(diǎn)2點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用】【例2.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)到直線(xiàn)2x+y?10=0的距離是（

）A．10 B．25 C．52【例2.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知A(4,0)到直線(xiàn)4x?3y+a=0的距離等于3，則a的值為（

）A．?1 B．?13或?19 C．?1或?31 D．?13【變式2.1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a>0,b<0，則3b?aa2A．[?2,?1) B．(?2,?1)C．(?2.?1] D．[?2,?1]【變式2.2】（2023春·河南焦作·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn)l:kx+y?3k?4=0(k∈R)，點(diǎn)A(4,1)和B(6,15)到直線(xiàn)l的距離分別為d1,d2且d2A．x+y+9=0 B．2x+y?18=0C．x?y+1=0或17x?y?47=0 D．x+4y?6=0或3x+y?12=0【考點(diǎn)3兩條平行直線(xiàn)間的距離公式的應(yīng)用】【例3.1】（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知直線(xiàn)l1:x+ay+2=0，l2:2x+4y+3=0相互平行，則l1A．510 B．55 C．25【例3.2】（2023·安徽黃山·?？寄M預(yù)測(cè)）若直線(xiàn)2x?y?3=0與4x?2y+a=0之間的距離為5，則a的值為（

）A．4 B．5?6 C．4或?16 D．8或【變式3.1】（2023春·山東威?！じ叨_(kāi)學(xué)考試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在直線(xiàn)l1:3x?4y+1=0上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在直線(xiàn)l2:6x+my+4=0上運(yùn)動(dòng)，且l1A．35 B．310 C．15【變式3.2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對(duì)邊所在的直線(xiàn)方程分別為x+2y+1=0和x+2y+3=0，另一組對(duì)邊所在的直線(xiàn)方程分別為3xA．23 B．25 C．2【考點(diǎn)4與距離有關(guān)的最值問(wèn)題】【例4.1】（2023秋·江西吉安·高二?？计谀┮阎狿(cosα,sinα)，A．2 B．2 C．4 D．2【例4.2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)M(1，2)，點(diǎn)P(x,y)在直線(xiàn)2x+y?1=0上，則A．10 B．355 C．6 【變式4.1】（2023春·重慶南岸·高二校考期中）已知直線(xiàn)l1：ax+y+1=0過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l2：y=kx+1A．1 B．2 C．3 D．2【變式4.2】（2023秋·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）若P，Q分別為直線(xiàn)3x+4y?12=0與直線(xiàn)6x+8y+1=0上任意一點(diǎn)，則PQ的最小值為（）A．32 B．135 C．2310模塊模塊三點(diǎn)、線(xiàn)間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)2．直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)3．兩點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)(4)幾種特殊位置的對(duì)稱(chēng)：點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)P(a,b)x軸(a,b)y軸(a,b)y=x(b,a)y=x(b,a)x=m(m≠0)(2ma,b)y=n(n≠0)(a,2nb)4．直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)【考點(diǎn)1直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題】【例1.1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）x+y=1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)是（

）A．x?y?1=0 B．x?y+1=0 C．x+y+1=0 D．x+y?1=0【例1.2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)l:4x+3y?2=0關(guān)于點(diǎn)A1,1對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為（

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【變式1.1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)P(1,2)在直線(xiàn)l上，直線(xiàn)l1與l關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng)，則一定在直線(xiàn)l1上的點(diǎn)為（A．(12,32) B．(?1,【變式1.2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若直線(xiàn)l1:y=k(x?4)與直線(xiàn)l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)lA．(0,4) B．(0,2)C．(?2,4) D．(4,?2)【考點(diǎn)2點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題】【例2.1】（2023秋·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A與點(diǎn)B(2,1)關(guān)于直線(xiàn)x+y+2=0對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（A．(?1,4) B．(4,5)C．(?3,?4) D．(?4,?3)【例2.2】（2022秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（a+2，b+2）和B（ba，b）關(guān)于直線(xiàn)4x+3y=11對(duì)稱(chēng)，則a，b的值為（）.A．a(chǎn)=1，b=2 B．a(chǎn)=4，b=2C．a(chǎn)=2，b=4 D．a(chǎn)=4，b=2【變式2.1】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三?？茧A段練習(xí)）已知A?3,0，B3,0，C0,3，一束光線(xiàn)從點(diǎn)F?1,0出發(fā)經(jīng)AC反射后，再經(jīng)BC上點(diǎn)D反射，落到點(diǎn)E1,0A．12,52 B．32,【變式2.2】（2023春·四川資陽(yáng)·高三開(kāi)學(xué)考試）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題—“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)閤2+y2≤3，若將軍從點(diǎn)AA．10?3 B．10 C．25【考點(diǎn)3直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題】【例3.1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)直線(xiàn)l1:x?2y?2=0與l2關(guān)于直線(xiàn)l:2x?y?4=0A．11x+2y?22=0 B．11x+y+22=0C．5x+y?11=0 D．10x+y?22=0【例3.2】（2023春·湖北武漢·高二?？茧A段練習(xí)）如果直線(xiàn)y=ax+2與直線(xiàn)y=3x?b關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，那么（

）A．a(chǎn)=13,b=6 B．a(chǎn)=13,b=?6【變式3.1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)l1:y=ax+3與l2關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，l2與l3A．?12 B．12 C．2【變式3.2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若兩條平行直線(xiàn)l1：x?2y+m=0m>0與l2：2x+ny?6=0之間的距離是25，則直線(xiàn)l1A．x?2y?13=0 B．x?2y+2=0C．x?2y+4=0 D．x?2y?6=0模塊模塊四課后作業(yè)1．（2023秋·北京順義·高二統(tǒng)考期末）若直線(xiàn)x?ay=0與直線(xiàn)2x+y?1=0的交點(diǎn)為1,y0，則實(shí)數(shù)a的值為（A．1 B．?12 C．12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若點(diǎn)P(3,1)到直線(xiàn)l:3x+4y+2=0的距離為（

）A．2 B．3 C．32 3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）已知A5,?1，B1,1，C2,3，則△ABCA．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形4．（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)2x+y?8=0和x?2y+1=0的交點(diǎn)，且垂直于直線(xiàn)3x?2y+4=0的直線(xiàn)的方程是（

）A．2x+3y?13=0 B．2x+3y?12=0C．2x?3y=0 D．2x?3y?5=05．（2023春·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若平面內(nèi)兩條平行線(xiàn)l1：x+a?1y+2=0，l2：ax+2y+1=0間的距離為32A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或26．（2022·高二單元測(cè)試）直線(xiàn)2x+3y?6=0關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為（

）A．3x?2y+2=0 B．2x+3y+7=0C．3x?2y?12=0 D．2x+3y?4=07．（2023秋·陜西咸陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一束光線(xiàn)從點(diǎn)A（1，2）出發(fā)，被直線(xiàn)y=x反射后到達(dá)點(diǎn)B（3，6），則這束光線(xiàn)從A到B所經(jīng)過(guò)的距離為（

）A．25 B．26 C．4 8．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為A1,1，若將軍從山腳下的點(diǎn)B4,4處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)l的方程為x?y+1=0，則“將軍飲馬”的最短總路程是（A．36 B．34 C．5 D．9．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）使三條直線(xiàn)4x+y?4=0,mx+y=0,2x?3my?4=0不能?chē)扇切蔚膶?shí)數(shù)m的值最多有幾個(gè)（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)10．（2022·高二單元測(cè)試）若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線(xiàn)l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A．32 B．22 C．33 D．4211．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）分別判斷下列直線(xiàn)l1與l(1)l1:x?y=0，(2)l1:3x?y+4=0，(3)l1:3x+4y?5=0，12．（2023·上海·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)3x+4y?2=0與直線(xiàn)2x+y+2=0交于點(diǎn)P.(1)直線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且平行于直線(xiàn)3x?4y+5=0，求直線(xiàn)l(2)直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，求直線(xiàn)l（注：結(jié)果都寫(xiě)成直線(xiàn)方程的一般式）13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)l1：mx+y?m?2=0，l2：（1）求直線(xiàn)l1過(guò)的定點(diǎn)P，并求出直線(xiàn)l2的方程，使得定點(diǎn)P到直線(xiàn)l2（2）過(guò)點(diǎn)P引直線(xiàn)l分別交x，