251直線與圓的位置關(guān)系（精講）

2.5.1直線與圓的位置關(guān)系（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：直線與圓的位置關(guān)系重點(diǎn)題型二：圓的切線問題重點(diǎn)題型三：直線與圓相交的弦長問題重點(diǎn)題型四：過定點(diǎn)的直線和圓相交的判定與最短弦長問題第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)第一部分：思第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的三種位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的圖象直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離2、判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法2.1幾何法（優(yōu)先推薦）圖象位置關(guān)系相交相切相離判定方法；。圓心到直線的距離：。圓與直線相交。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相切。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相離。2.2代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)①直線與圓相交②直線與圓相切③直線與圓相離知識點(diǎn)二：直線與圓相交記直線被圓截得的弦長為的常用方法1、幾何法（優(yōu)先推薦）①弦心距（圓心到直線的距離）②弦長公式：2、代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)弦長公式：知識點(diǎn)三：直線與圓相切1、圓的切線條數(shù)①過圓外一點(diǎn)，可以作圓的兩條切線②過圓上一點(diǎn)，可以作圓的一條切線③過圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線2、過一點(diǎn)的圓的切線方程（）①點(diǎn)在圓上步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率，記切線斜率為，則步驟二：利用點(diǎn)斜式求切線（步驟一中的斜率+切點(diǎn)）②點(diǎn)在圓外記切線斜率為，利用點(diǎn)斜式寫成切線方程；在利用圓心到切線的距離求出（注意若此時(shí)求出的只有一個(gè)答案；那么需要另外同理切線為）3、切線長公式記圓:；過圓外一點(diǎn)做圓的切線，切點(diǎn)為,利用勾股定理求；知識點(diǎn)四：圓上點(diǎn)到直線的最大（?。┚嚯x設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為①當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；②當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；③當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（1）若直線與圓有公共點(diǎn)，則直線與圓相交．()（2）若直線與圓組成的方程組有解，則直線和圓相交或相切．()（3）若圓心到直線的距離大于半徑，則直線與圓的方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程無解．()【答案】

×

√

√（1）直線與圓有公共點(diǎn)，則直線和圓相交或相切，錯(cuò)誤；（2）直線與圓組成的方程組有解，則直線和圓相交或相切，正確；（3）圓心到直線的距離大于半徑，則直線與圓相離，則直線與圓的方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程無解.2．（2022·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）若直線與圓相切，則.()【答案】錯(cuò)誤圓的圓心為，直線為由題意可得圓心到直線的距離，解得，即m可以2，也可以為2，不一定為2，故答案為：錯(cuò)誤.3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與圓相切，則m的值為()A．0或2

B．2

C．

D．無解【答案】B由題可知：故選：B4．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是()A．相交

B．相切

C．相離

D．相切或相交【答案】A圓的圓心為，半徑為4圓心到直線的距離為所以直線與圓的位置關(guān)系是相交故選：A第四部分：第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：直線與圓的位置關(guān)系角度1：判定直線與圓的位置關(guān)系典型例題例題1．（2022·江西·南昌市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】A因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo)為，半徑為；所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓的位置關(guān)系是相離.故選：A.例題2．（2022·全國·高二期末）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定【答案】B圓的圓心坐標(biāo)為半徑為4，圓心到直線的距離，所以相交.故選：B.例題3．（2022·湖北省武漢市漢鐵高級中學(xué)高三階段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相切【答案】C直線即，過定點(diǎn)，因?yàn)閳A的方程為，則，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交.故選：C例題4．（2022·廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【答案】B直線恒過定點(diǎn)，而，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線與圓的位置關(guān)系為相交，故選：B.角度2：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)例題1．（2022·四川樂山·高一期末）直線與圓相切，則（

）A．3 B． C．或1 D．3或【答案】D圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為又直線與圓相切，則，解之得或，故選：D．例題2．（2022·北京四中高三開學(xué)考試）若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C圓心為，半徑為，由題意得：，解得：.故選：C例題3．（2022·四川·寧南中學(xué)高二開學(xué)考試（文））已知圓與直線至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C圓心到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故只需即可.故選：C例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】解：關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：與圓：相交于兩點(diǎn)，若，則的值為________．【答案】由題意，，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，知，又因?yàn)?，根?jù)垂徑定理，到直線的距離，解得.故答案為：.角度3：由直線與圓的位置關(guān)系求距離最值例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓上僅有一點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為（

）．A．11 B． C．1 D．4【答案】C圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離．因?yàn)閳A上僅有一點(diǎn)到直線的距離為1，所以圓的半徑，解得．故選：C．例題2．（2022·江蘇·高二）圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是（

）A．36 B．18 C． D．【答案】D解：因?yàn)閳A，即，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差為，故選：D.例題3．（2022·上?！じ呷_學(xué)考試）已知點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，則的最小值是___________.【答案】##圓的圓心為，半徑為1，則圓心到直線的距離為，所以的最小值為，故答案為：例題4．（2022·天津三中三模）設(shè)是圓上的點(diǎn)，則到直線的最長距離是_____．【答案】8依題意可知，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，故圓上點(diǎn)到直線的最大距離為.同類題型歸類練1．（2022·江西上饒·高二期末（文））已知直線與圓相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D由題意，圓心到直線的距離，即，解得故選：D2．（2022·上海徐匯·高二期末）直線繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后所得的直線l與圓的位置關(guān)系是（

）A．直線l過圓心 B．直線l與圓相交，但不過圓心C．直線l與圓相切 D．直線l與圓無公共點(diǎn)【答案】C直線過原點(diǎn)，斜率為，傾斜角為，依題意，直線l的傾斜角為，斜率為，而l過原點(diǎn)，因此，直線l的方程為：，又圓的圓心為，半徑為，于是得點(diǎn)到直線l的距離為，所以直線l與圓相切.故選：C3．（2022·浙江·溫州中學(xué)高二期末）已知直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B解：因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B.4．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））不論k為何值，直線都與圓相交，則該圓的方程可以是（）A． B．C． D．【答案】B，

，∴直線恒過點(diǎn)P（—4，1），對于A，圓心為（2，1），半徑為5，P到圓心的距離為：

，即P點(diǎn)不在該圓內(nèi)；對于B，圓心為（1，2），半徑為5，P到圓心的距離為，故點(diǎn)P在該圓內(nèi)；對于C，圓心為（3，4），半徑為5，P點(diǎn)到圓心的距離為，故點(diǎn)P不在該圓內(nèi)；對于D，圓心為（1，3），半徑為5，點(diǎn)P到圓心的距離為，點(diǎn)P該在圓上，可能相切也可能相交；故選：B.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則，兩點(diǎn)到直線的距離之和的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D解：因?yàn)?，所以為直角三角形，為斜邊，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，從而在圓上，設(shè)，兩點(diǎn)到直線的距離之和為，到直線的距離為，由題意得，圓的圓心到直線的距離為，所以，即，所以．故選：D．6．（2022·重慶復(fù)旦中學(xué)高二開學(xué)考試）已知圓經(jīng)過，，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線：與圓無公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)∵圓心C在直線，∴可設(shè)圓心坐標(biāo)為，∵圓C經(jīng)過，，∴即，解得∴圓心坐標(biāo)為，半徑故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)∵圓心C到直線l的距離且直線l圓C無公共點(diǎn)，∴即，解得，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為；綜上，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，.7．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，圓.當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與圓O：(1)相離？(2)相切？(3)相交？【答案】(1)(2)或0(3)(1)解：因?yàn)?，圓，則，消去得整理得，因?yàn)?，則；若直線與圓相離，則，解得，即；(2)解：若直線與圓相離切，則，解得或；(3)解：若直線與圓相交，則，解得或，即；重點(diǎn)題型二：圓的切線問題角度1：過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程典型例題例題1．（2022·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測）過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．或【答案】C由圓心為，半徑為，斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，則，可得，所以，即，斜率不存在時(shí)，顯然不與圓相切；綜上，切線方程為.故選：C例題2．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高二期末（文））過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C解：因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓，又，所以切線的斜率為，所以切線方程為，整理得；故選：C例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓的切線，則的方程為（

）A． B．或C． D．或【答案】C解：根據(jù)題意，設(shè)圓x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圓心為C，圓x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圓心為（1，3），又由點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，1），有，即點(diǎn)M在圓上，則，則切線的斜率k＝1，則切線的方程為y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；故選：C．例題4．（2022·湖南·華容縣教育科學(xué)研究室高二期末）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為：，即：.又因?yàn)楣饩€與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,故選D．角度2：過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程典型例題例題1．（2022·天津河北·高二期末）過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為，不與圓相切，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即所以，解得或所以切線的方程為或故選：C例題2．（2022·浙江·金華市外國語學(xué)校高二開學(xué)考試）已知圓和點(diǎn)，則過點(diǎn)的圓的切線方程為（

）A．B．或C．D．或【答案】D當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則，解得，所以切線方程為，即.當(dāng)斜率不存在時(shí)，切線方程為.綜上，過點(diǎn)的圓的切線方程為或，故選：D例題3．（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高二期中）過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C由圓的方程可得圓心坐標(biāo)為，半徑為1，當(dāng)過點(diǎn)的切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得，所以切線方程為，當(dāng)過點(diǎn)的切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，所以過點(diǎn)的圓的切線方程為或，故選：C．例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的方程為，為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C∵圓的方程為，過點(diǎn)作圓的切線方程，設(shè)切線方程為，即.則，解得：.則的取值范圍為.故選：C.角度3：切線長典型例題例題1．（2022·江蘇·高二）已知直線是圓的一條對稱軸，過點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】C由圓，可知該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)橹本€是圓的一條對稱軸，所以圓心在直線上，所以有，因?yàn)檫^點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，所以所以，故選：C例題2．（2022·重慶·高二期末）直線平分圓的周長，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（

）A．5 B． C．3 D．【答案】B由，所以該圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€平分圓的周長，所以圓心在直線上，故，因此，，所以有，所以，故選：B例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，過直線：上的一點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A圓：中，圓心，半徑設(shè)，則，即則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）故選：A角度4：已知切線求參數(shù)典型例題例題1．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測）直線與圓相切，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C因?yàn)橹本€與圓相切，所以由圓心到直線的距離等于半徑得：，即，解得：.故選：C例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切，則的值為（

）A．3或 B．1或C．0或4 D．或0【答案】A圓的圓心為，半徑為，因直線與圓相切，則點(diǎn)到直線的距離為，整理得，解得或，所以m的值為3或.故選：A例題3．（2022·重慶八中高二期末）已知直線是圓的對稱軸，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則=（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過圓的圓心，則，解得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，切點(diǎn)為B則，.故選:C例題4．（2022·陜西省丹鳳中學(xué)高一階段練習(xí)）若直線與圓相切，則A． B． C． D．或【答案】D由題意可知，圓方程為，所以圓心坐標(biāo)為，圓的半徑，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線距離等于半徑，即解得或，故選D．例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））“”是“直線與圓相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C解：直線與圓相切圓心到直線的距離等于半徑，即，∴，∴，∴是直線與圓相切的充要條件.故選：C.同類題型歸類練1．（2022·云南玉溪·高二期末）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A直線經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相切，則,故直線的方程為，即.故選：A.2．（2022·甘肅·臨澤縣第一中學(xué)高二期中（文））直線平分圓的周長，過點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為Q，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€平分圓的周長，所以直線經(jīng)過，所以，故，由已知，，，圓的半徑為3，所以，故選：B.3．（2022·遼寧撫順·一模）經(jīng)過直線上的點(diǎn)作圓的切線，則切線長的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A直線上任取一點(diǎn)作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為圓，即圓心，切線長為所以切線長的最小值為故選：A4．（2022·湖南湘潭·高二期末）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射后與圓相切于點(diǎn)Q，則光線從P點(diǎn)到Q點(diǎn)所經(jīng)過的路程的長度為（

）A． B． C． D．3【答案】B∵圓，∴圓心，半徑為1，設(shè)點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，則，∴，所以光線從P點(diǎn)到Q點(diǎn)所經(jīng)過的路程的長度為.故選：B.5．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)模擬預(yù)測）由直線上的點(diǎn)向圓引切線（為切點(diǎn)），則線段的最小長度為________．【答案】圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)垂直于直線時(shí)取“=“，所以線段的最小長度為.故答案為：6．（2022·廣東·潮州市綿德中學(xué)高二階段練習(xí)）過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程是______．【答案】或當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以直線，此時(shí)圓心到直線的距離為1=r，此時(shí)直線與圓相切，滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，所以，即，因?yàn)橹本€l與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以直線l的方程為.綜上：直線的方程為或故答案為：或7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝k(x＋2)與x軸交于點(diǎn)A，過l上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為T，若|PA|＝|PT|，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______________．【答案】由題意，A(－2,0)，C(2,0)，設(shè)P(x,y)，由|PA|＝|PT|，所以|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，化簡得(x－6)2＋y2＝36，所以點(diǎn)P在以(6,0)為圓心，6為半徑的圓上，由題意知，直線y＝k(x＋2)與圓(x－6)2＋y2＝36有公共點(diǎn)，所以，解得．故答案為：8．（2022·天津·高三期末）已知直線和圓相切，則實(shí)數(shù)的值為____________.【答案】##由，得，則圓心為，半徑為1，因?yàn)橹本€和圓相切，所以，得，解得，故答案為：重點(diǎn)題型三：直線與圓相交的弦長問題角度1：圓的弦長與中點(diǎn)弦例題1．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）直線截圓截得的弦長為（

）A． B．2 C． D．4【答案】D解：圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以弦長為.故選：D.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））直線與圓交于，兩點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】B解：因?yàn)?，所以圓心到直線的距離，故.故選：B例題3．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三期末（理））已知直角的兩直角邊長為，，斜邊長為，則直線被圓所截得的弦長為（

）A． B．4 C． D．2【答案】B由題意得：，其中圓心為，半徑為，則圓心到直線距離為，由垂徑定理得：，所以截得的弦長為4.故選：B例題4．（2022·廣東·三模）已知直線與圓：相交于、兩點(diǎn)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C充分性：若，則，此時(shí)，，；必要性：若，因?yàn)?，則圓心到直線的距離，即，解得.故選：C角度2：已知圓的弦長求方程或參數(shù)典型例題例題1．（2022·江西南昌·三模（文））若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B圓的圓心為，半徑為2，則在中，由余弦定理可得，即，所以圓心到直線的距離為，則，即.故選：B.例題2．（2022·北京·模擬預(yù)測）已知圓截直線所得弦的長度為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．C． D．不存在【答案】B由可知：圓心為，半徑為，所以有，故選：B例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B解：圓的圓心為，半徑，因?yàn)橹本€與圓相交于、兩點(diǎn)，且，所以圓心到直線的距離，即，解得（舍去）或；故選：B例題4．（2022·河南·開封高中模擬預(yù)測（理））若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A設(shè)圓心O到直線l的距離為d，∵，則以為鄰邊的平行四邊為菱形，即由，即，則又由垂徑定理可知，即解得則，解得．故選：A．同類題型歸類練1．（2022·云南昆明·高二期末）已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則______.【答案】已知圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以.故答案為：2．（2022·河南焦作·高二期末（文））若直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)在x軸上，則l被C截得的弦長為______．【答案】##由題意得，直線與軸的交點(diǎn)為，則點(diǎn)在圓上，即，解得，則，圓心到的距離為，則l被C截得的弦長為.故答案為：.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））圓心為，且截直線所得弦長為的圓的方程為___________.【答案】解：由題知，圓心為，到直線的距離為，因?yàn)閳A心為，且截直線所得弦長為，所以，圓的半徑為，所以，所求圓的方程為.故答案為：4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)_______．【答案】或5##5或，則圓心，半徑，設(shè)AB中點(diǎn)為D，則CD⊥AB，且DB=DA，則，即，∴或5．故答案為：或5．5．（2022·湖北·襄陽五中模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，圓交軸于，交軸于，四邊形的面積為18，則___________.【答案】由題意，故，而圓心在的垂直平分線上，所以由垂徑定理知半徑,解得所以或，故，故答案為：6．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)三模）過點(diǎn)作一條直線截圓所得弦長為，則直線的方程是___________.【答案】或可化為故圓心到直線距離若直線斜率不存在，方程為，則，滿足題意若直線斜率存在，設(shè)其方程為，，解得，此時(shí)直線方程為故答案為：或重點(diǎn)題型四：過定點(diǎn)的直線和圓相交的判定與最短弦長問題典型例題例題1．（2022·寧夏·銀川二中一模（理））若直線與圓交于、兩點(diǎn)，則弦長的最小值為___________.【答案】直線的方程可化為，由，得，所以，直線過定點(diǎn)，因?yàn)椋袋c(diǎn)在圓內(nèi)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取得最大值，此時(shí)取最小值，故.故答案為：.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線：被圓：截得的最短弦長為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C直線：即為，當(dāng)時(shí)，，故直線線過定點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為P,又，故點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)圓心和P點(diǎn)連線垂直于直線l時(shí)，l被圓解得的弦長最短，而即，半徑，圓心為,故,故弦長為，故答案為：2.例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線l：與圓交于，兩點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C解：由題知：圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€l與圓相交形成的弦長為，所以圓心到直線l的距離為，所以，解得.故選：C同類題型歸類練1．（2022·山西·運(yùn)城市景勝中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線：恒過點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．