第七章復(fù)數(shù)重點題型復(fù)習

第七章：復(fù)數(shù)重點題型復(fù)習題型一復(fù)數(shù)的概念辨析【例1】（2022·高一課時練習）若復(fù)數(shù)的實部與虛部之和為0，則b的值為（）A．2B．C．D．【答案】A【解析】由復(fù)數(shù)的實部與虛部之和為0，得，即．故選：A【變式11】（2022·高一課時練習）已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．RB．C．D．【答案】C【解析】由題意可得：，則，故實數(shù)m的取值范圍是.故選：C.【變式12】（2023·高一課時練習）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是（）A．B．且C．且D．且【答案】D【解析】要使復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，若，則；若，則，所以且．故選：D．【變式13】（2023·高一課時練習）設(shè)C為復(fù)數(shù)集，R為實數(shù)集，I為虛數(shù)集，M為純虛數(shù)集，則下列式子中不正確的是______（請?zhí)畲枺?；②；③；④．【答案】②【解析】，則①判斷正確；，則②判斷錯誤；，則③判斷正確；，則④判斷正確【變式14】（2023·高一單元測試）實數(shù)a分別取什么值時，復(fù)數(shù)是（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)？【答案】（1）；（2）且；（3）或【解析】（1）由題意知，∴當a=5時，復(fù)數(shù)z是實數(shù).（2）由題意知，且∴當且時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).（3）由題意知，或∴當或時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).【變式15】（2022·高一課時練習）若，且，求實數(shù)x的取值范圍．【答案】【解析】由題意知，可得，解得，當時，可得，此時滿足，所以實數(shù)x的取值范圍.【變式16】（2022·高一課時練習）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，且．求z．【答案】或．【解析】設(shè)，則，依題意有，則有，即，因此，解得或，所以或．題型二復(fù)數(shù)的幾何意義【例2】（2022·高一課時練習）若向量與對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為向量與對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，則，所以，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故選：.【變式21】（2022春·福建福州·高一福州黎明中學?？计谀┮阎獜?fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】A【解析】依題意，對應(yīng)復(fù)平面的點是，在第一象限.故選：A【變式22】（2023·高一課時練習）兩個復(fù)數(shù)，（、、、都是實數(shù)且，），對應(yīng)的向量在同一直線上的充要條件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，則的充要條件為.故選：D.【變式23】（2023·高一課時練習）與軸同方向的單位向量為，與軸同方向的單位向量為，它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是（）A．對應(yīng)實數(shù)1，對應(yīng)虛數(shù)B．對應(yīng)虛數(shù)i，對應(yīng)虛數(shù)C．對應(yīng)實數(shù)1，對應(yīng)虛數(shù)D．對應(yīng)實數(shù)1或－1，對應(yīng)虛數(shù)或【答案】A【解析】由題意可知，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)實數(shù)1，對應(yīng)虛數(shù).故選：A.【變式24】（2023·高一課時練習）在復(fù)平面上的單位圓上有三個點，，，其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，，．若，則的面積S＝______．【答案】或【解析】由題意知，，由復(fù)數(shù)的加減法法則的幾何意義及余弦定理，得，即，，即，當與反向，；當線段在的內(nèi)部時，，所以的面積為或.故答案為：或.題型三復(fù)數(shù)的四則運算【例3】（2022春·廣西賀州·高一平桂高中?？茧A段練習）已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的實部為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故z的實部為.故選：B.【變式31】（2022春·河南信陽·高一信陽高中校考階段練習）若復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則的模長等于（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】因為所以，所以所以，故的模長為，故選：D【變式32】（2022春·廣西南寧·高一?？茧A段練習）復(fù)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A．的實部為3B．的虛部為2C．D．【答案】BD【解析】由于，可得,即選項D正確；由得的實部為3，虛部為2，故A錯誤，B正確；由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，故C錯誤.故選：BD.【變式33】（2022春·河南·高一信陽高中?？茧A段練習）若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模是________.【答案】【解析】由題意可得：，故.故答案為：.題型四復(fù)數(shù)的高次方計算【例4】（2022·高一課時練習）若復(fù)數(shù)為實數(shù)，則實數(shù)________．【答案】【解析】因為為實數(shù)，所以，即．【變式41】（2022·高一課時練習）若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】A【解析】，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第一象限．故選：A【變式42】（2022·高一課時練習）的計算結(jié)果是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以．故選：B.【變式43】（2023·高一課時練習）已知復(fù)數(shù)滿足且，則的值為______．【答案】【解析】設(shè)（），則，根據(jù)，得；根據(jù)，得，由解得，故.，由于；同理得.因此得【變式44】（2022·高一課時練習）計算下列各題（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式.（2）原式.（3）.題型五復(fù)數(shù)相等及解方程【例5】（2022·高一課時練習）關(guān)于的方程有實根，求實數(shù)的值.【答案】或【解析】設(shè)方程的實根為，則原方程可變?yōu)?，所以，解得或，所以實?shù)的值為或.【變式51】（2023·高一課時練習）已知關(guān)于的實系數(shù)方程有一個模為1的虛根，則實數(shù)的值為______．【答案】【解析】因為關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程有一個模為1的虛根，所以方程的判別式小于零，即或，由已知兩根是互為共軛的虛根，設(shè)為，而由題意可知：，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，而，因此有，解得.或，舍去，滿足題意.故答案為：.【變式52】（2023·高一課時練習）已知方程（）的兩個根是，若，則p的值為______．【答案】或【解析】當時，方程的兩個根是實數(shù)根，則，又，則兩個實數(shù)根為異號根，則，則，則，解之得，經(jīng)檢驗符合題意；當時，方程的兩個根是虛數(shù)根，令，則又，則，則，解之得，經(jīng)檢驗符合題意綜上，p的值為或故答案為：或【變式53】（2023·高一課時練習）設(shè)復(fù)數(shù)是方程的一個根．（1）求；（2）設(shè)（其中i是虛數(shù)單位，），若的共軛復(fù)數(shù)滿足，求．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因為，所以，所以，所以或；（2）由，可得，當時，，所以，解得，當時，，當時，.【變式54】（2022春·浙江金華·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)點落在第一象限，求實數(shù)的取值范圍；（2）若虛數(shù)是實系數(shù)一元二次方程的根，求實數(shù)值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知得到，因為在復(fù)平面上對應(yīng)點落在第一象限，所以，解得，所以（2）因為虛數(shù)是實系數(shù)一元二次方程的根，所以是方程的另一個根，所以，所以，所以，所以，所以.【變式55】（2022春·上海長寧·高一上海市第三女子中學?？计谀╆P(guān)于的方程（）的兩個根為，．（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值．【答案】（1）6；（2）或【解析】（1）由得方程有一對共軛復(fù)數(shù)根，所以，所以，所以.（2）①當，即時，方程有兩實數(shù)根，所以，，則，解得；②當，即時，方程有兩虛數(shù)根，即，不妨設(shè)，；則解得；綜上：實數(shù)的值為或．題型六與復(fù)數(shù)模有關(guān)的最值【例6】（2022春·安徽安慶·高一安慶一中校考期末）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A．1B．C．2D．3【答案】D【解析】設(shè)，由，推出，則，于是可看成以為圓心，半徑為的圓上運動，，意為A到的距離，距離最大值為3，所以.故選：D.【變式61】（2022春·北京·高一北京二中?？茧A段練習）設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則的最大值為（）A．B．C．6D．【答案】D【解析】由題意，復(fù)數(shù)，滿足，，可得在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是以為圓心，以為半徑的圓，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是以為圓心，以為半徑的圓，則的幾何意義是兩圓上點的距離，所以的最大值為.故選：D.【變式62】（2022春·河北唐山·高一統(tǒng)考期中）若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是______.【答案】3【解析】設(shè)，則，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義知，表示在復(fù)平面內(nèi)，到的距離，則最大值為，故答案為：3【變式63】（2022春·江西新余·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則