專題7切比雪夫函數(shù)（教師版）-2022高考數(shù)學滿分突破之函數(shù)與導數(shù)

專題7切比雪夫函數(shù)一、考情分析縱觀近幾年的高考真題，出現(xiàn)了一類題目?？此剖且坏烙嘘P二次函數(shù)的題目；二次函數(shù)的定義域和值域相同。大多數(shù)學生或老師，第一眼看過去，以為是定軸動區(qū)間或定區(qū)間動軸的問題，然后就進入討論的誤區(qū)。深入討論，就會發(fā)現(xiàn)，計算復雜，討論紛擾。最后就是不了了之。然后，再次審視題目，就會發(fā)現(xiàn)我們陷入誤區(qū)。切比雪夫函數(shù)或切比雪夫不等式，在此時的應用，就可以讓我們秒解這類題目。數(shù)學的學習，就是要學習數(shù)學，領悟數(shù)學，秒殺數(shù)學。二、考點梳理1.切比雪夫不等式①馬爾科夫不等式：；②切比雪夫不等式是馬爾科夫不等式的特殊情況：.切比雪夫函數(shù)與切比雪夫不等式的意義馬爾科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等數(shù)學中學習的內(nèi)容，是概率與統(tǒng)計學中的一個定理。主要意思：事情的大多會集中在平均值附近或者事情的發(fā)生大多在平均值上的概率最大。也就說，馬爾科夫不等式或者切比雪夫不等式只是對概率的一個估計，既然是估計，就有可能正確，也有可能不正確。但是按照這兩個不等式來看，在概率學的角度上。發(fā)生的概率是最大。但在高中數(shù)學學習初等函數(shù)，用這個兩個不等式解題，就會有出奇制勝，秒殺的快感。三、題型突破（一）切比雪夫函數(shù)的巧解例1.已知函數(shù)，若時，，則的最大值是．【傳統(tǒng)解法】【切比雪夫不等式解法】【解析】根據(jù)切比雪夫不等式：，若時，對稱軸為壓軸，所以，，當，,故此次的最大值【變式訓練11】已知函數(shù)，若時，恒成立，則=【切比雪夫不等式解法】【解析】根據(jù)切比雪夫不等式：若時，恒成立，也就是對稱軸應該是；，解之得：，,故此；故此,所以..

（二）其他類型函數(shù)的例2．（1）、【2019年高考浙江】已知，函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的最大值是___________.【答案】【解析】存在，使得，即有，化為，可得，即，由，可得.則實數(shù)的最大值是.【名師點睛】本題考查函數(shù)的解析式及二次函數(shù)，結合函數(shù)的解析式可得，去絕對值化簡，結合二次函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)可求解.（2）、（2020·浙江杭州市·高一期末）若對任意，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____.【答案】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，結合函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解.【詳解】對任意，當時，不等式恒成立，即恒成立，，當時，單調(diào)遞增，，只需對恒成立，且，解得.故答案為：【點睛】此題考查不等式恒成立求參數(shù)取值范圍，關鍵在于熟練掌握不等式性質(zhì)和函數(shù)單調(diào)性，結合恒成立求解參數(shù).【變式訓練21】（2019·新源縣第二中學高二期末（文））對任意實數(shù)，若不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用絕對值三角不等式求出的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由絕對值三角不等式可得，.故選：B.【變式訓22】、（2021·浙江紹興·高二期末）存在，使時恒有，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意令，則上恒成立，上恒成立，討論、、，上述兩區(qū)間內(nèi)的絕對值不等式是否同時成立，即可求參數(shù)的范圍.【詳解】令，∴在上恒有，在上恒有，∴上恒成立，上恒成立，∴令，即時，；上；∴當時，上，上，此時；當時，上，上，此時；當時，上，在上，有：①時，；②時，，當.此時，不能在和上同時成立.綜上，有.故選：D【點睛】關鍵點點睛：由題意易得上恒成立，上恒成立，令，討論參數(shù)a，并確認在和上絕對值不等式是否可以同時成立，求參數(shù)范圍.四、遷移應用一、單選題1．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，則或，故函數(shù)的定義域為或，由是單調(diào)遞增函數(shù)，可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即的單調(diào)減區(qū)間，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，結合的定義域，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故選A.【名師點睛】本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性，要注意的是必須在定義域的前提下，去找單調(diào)區(qū)間.2．已知函數(shù)，若函數(shù)存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的圖象如圖：若函數(shù)存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）．故選D．【名師點睛】本題考查分段函數(shù)，函數(shù)的零點，考查數(shù)形結合思想以及計算能力．已知函數(shù)的定義域為,為偶函數(shù)，且對，滿足.若，則不等式的解集為A． B．C． D．【答案】A【解析】因為對，滿足，所以當時，是單調(diào)遞減函數(shù)，又因為為偶函數(shù)，所以關于直線對稱，所以函數(shù)當時，是單調(diào)遞增函數(shù)，又因為，所以有，當，即當時，；當，即當時，，綜上所述：不等式的解集為.故選A．【名師點睛】本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、分類討論思想.對于來說，設定義域為，，，若，則是上的增函數(shù)；若，則是上的減函數(shù).4．已知函數(shù)，，設為實數(shù)，若存在實數(shù)，使得成立，則的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以當時，單調(diào)遞增，故；當時，，當且僅當，即時，取等號，綜上可得，f(x)∈[2,+∞).又因為存在實數(shù)a，使得g(b)+f(a)=2成立，所以只需g(b)≤2?f(a)min，即解得?1≤b≤2.故選A.5．（2020·紅橋·天津三中高三月考）設，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】解絕對值不等式、一元二次不等式，然后判斷充分、必要條件.【詳解】或或.或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A6．（2021·寧夏吳忠中學高二月考（文））已知集合，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡集合A與B，再利用集合的交集運算求解.【詳解】∵，，∴.故選：A.7．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高一月考）命題“，”為真命題的一個必要不充分條件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出命題為真的充要條件，然后根據(jù)必要不充分條件的定義判斷．【詳解】命題“，”為真命題，，，時，取得最大值，由是，這是命題為真的充要條件，因此只有D是必要不充分條件．故選：D．8．（2021·沈陽市第十中學高一月考）若，不等式恒成立，則a的取值范圍是（）A． B． C．{a|a＞1} D．【答案】D【分析】將已知轉(zhuǎn)化為，，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值即可得解.【詳解】由于，不等式恒成立所以，恒成立，即恒成立令，顯然在上單調(diào)遞減，所以實數(shù)a的取值范圍是故選：D【點睛】方法點睛：本題考查不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結合(圖像在上方即可)；③討論最值或恒成立.9．（2021·上海高一期中）一元二次不等式的解集是，則的值是（）A．10 B．10 C．14 D．14【答案】D【分析】根據(jù)題意，由不等式的解集分析可得方程的兩根為和，且，由根與系數(shù)的關系分析可得，解可得、的值，將其值相加即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，一元二次不等式的解集是，且，則方程的兩根為和，則有，解可得，，則，故選：D．10．（2021·河南高二期末（文））已知，若存在，使成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，解出不等式，再根據(jù)條件列出不等式即可得解.【詳解】當時，，則在上遞減，當時，，則在上遞減，于是得在上是減函數(shù)，因此，不等式等價于，解得，依題意，存在，使成立，從而得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A11．（2019·浙江學軍中學）若關于的不等式無解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先得到當時，滿足題意，再當時，根據(jù)絕對值三角不等式，得到的最小值，要使不等式無解，則最小值需大于等于，從而得到關于的不等式，解得的范圍【詳解】關于的不等式無解，當時，可得此時不等式無解，當時，，所以要使不等式無解，則，平方整理后得，解得，所以，綜上可得的范圍為，故選C.【點睛】本題考查絕對值的三角不等式的應用，根據(jù)不等式的解集情況求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.12．（2019·全國高一課時練習）若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】將不等式去掉絕對值符號，然后變量分離轉(zhuǎn)為求函數(shù)的最值問題.【詳解】不等式去掉絕對值符號得，即對任意恒成立，變量分離得，只需，即所以a的取值范圍是故選B二、填空題13．（2021·北京人大附中高三月考）當時，不等式恒成立，則的取值范圍為______．【答案】【分析】等價于，對分兩種情況討論，結合基本不等式求解.【詳解】由題得，當時，恒成立，；當時，，因為，所以（當且僅當時等號成立）所以，所以.綜上，的取值范圍為.故答案為：14．（2022·全國高三專題練習）已知關于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍為_______【答案】【分析】問題等價于不等式在區(qū)間上有解，設，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由題意得：關于的不等式在區(qū)間上有解，等價于不等式在區(qū)間上有解，設，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.15．（2022·全國高三專題練習）若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】或．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域為R，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立進行求解即可．【詳解】∵的定義域為R，∴恒成立，當，即或，若，不等式等價為，此時，不恒成立，不滿足條件．若，不等式等價為，恒成立，滿足條件．當時，要使不等式恒成立，則，即或，解得或，綜上可知，實數(shù)的取值范圍是或．故答案為：或．16．（2021·全國）已知函數(shù)對任意實數(shù)，函數(shù)值恒大于零，則實數(shù)的取值范圍是_______________.【答案】【分析】分類討論考慮二次項的系數(shù)為0和不為0，當二次項的系數(shù)為0時，滿足題意；當二次項系數(shù)不為0時，且，解不等式即可得解.【詳解】①當時，或.若，則函數(shù)化為，其對任意實數(shù)不可能恒大于；若，則恒成立；②當時，根據(jù)題意得，綜上可知實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：本題以函數(shù)為載體，考慮恒成立問題，解題的關鍵是分類討論及利用二次函數(shù)的圖像求解，考查學生的分類討論思想與運算求解能力，屬于一般題.17．（2021·上海市建平中學高三月考）若對于任意，都存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式得到，進而對分類討論求出的最小值即可求出結果.【詳解】解：設，，易得，，∴，∴當時，，∵對于任意，都存在，使得，∴，故的取值范圍為.故答案為：.18．（2020·上海市實驗學校高一期中）若不等式對一切實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】由題可知，利用絕對值不等式的性質(zhì)可以求出的最大值，進而可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由于不等式對一切實數(shù)恒成立，則大于等于的最大值，即，，當時取等號，則的最大值為7，所以實數(shù)的取值范圍是：.故答案為：.【點睛】結論點睛：本題考查含有兩個絕對值的函數(shù)的最值及恒成立問