12空間向量基本定理-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練（人教A版2019選擇性）

1.2空間向量基本定理備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識(shí)歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：空間向量基底的概念；用空間基底表示向量；空間向量基本定理的應(yīng)用課堂知識(shí)小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識(shí)歸納空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使.考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：空間向量基底的概念例1．已知是空間一個(gè)基底，，，一定可以與向量，構(gòu)成空間另一個(gè)基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意和空間向量的共面定理，結(jié)合向量（）+（）＝2，得與是共面向量，同理與是共面向量，所以與不能與、構(gòu)成空間的一個(gè)基底；又與和不共面，所以與、構(gòu)成空間的一個(gè)基底．故選：C．【方法技巧】1.根據(jù)空間向量共面的判定定理及空間向量基底的概念判斷2.根據(jù)空間向量的一組基底是：任意兩個(gè)不共線(xiàn)，且不為零向量，三個(gè)向量不共面，即可判斷出結(jié)論．【變式訓(xùn)練】【變式1】．在空間四點(diǎn)O，A，B，C中，若是空間的一個(gè)基底，則下列命題不正確的是（

）A．O，A，B，C四點(diǎn)不共線(xiàn)B．O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線(xiàn)C．O，A，B，C四點(diǎn)不共面D．O，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基底的含義，非零向量不在同一平面內(nèi)，即O，A，B，C四點(diǎn)不共面，即可判斷【詳解】因?yàn)闉榛祝苑橇阆蛄坎辉谕黄矫鎯?nèi)，即O，A，B，C四點(diǎn)不共面，所以A、C、D選項(xiàng)說(shuō)法正確，B錯(cuò)誤．故選：B【變式2】（多選）．已知，，是空間的三個(gè)單位向量，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則B．若，，兩兩共面，則，，共面C．對(duì)于空間的任意一個(gè)向量，總存在實(shí)數(shù)，，，使得D．若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底【答案】AD【解析】【詳解】根據(jù)空間向量共面的判定定理及空間向量基底的概念逐項(xiàng)判斷即可.【解答】解：，，是空間的三個(gè)單位向量，由，，則，故A正確；，，兩兩共面，但是，，不一定共面，，，可能兩兩垂直，故B錯(cuò)誤；由空間向量基本定理，可知只有當(dāng)，，不共面，才能作為基底，才能得到，故C錯(cuò)誤；若是空間的一組基底，則，，不共面，可知也不共面，所以也是空間的一組基底，故D正確．故選：AD.【變式3】．已知空間四邊形各邊及對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)都相等，分別為的中點(diǎn)，求與夾角余弦值．【答案】【解析】【分析】設(shè)，且各長(zhǎng)度均為，根據(jù)空間向量的基本定理，得到，，根據(jù)數(shù)量積的公式和夾角公式，可得答案.【詳解】設(shè)，且各長(zhǎng)度均為，則，因?yàn)?，，且，，所以，所?與所成角的余弦值為.考點(diǎn)2：用空間基底表示向量例2．三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，若，則（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：．故選：B【方法技巧】1.空間向量的基底2.由空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解．【變式訓(xùn)練】【變式1】．如圖所示，在平行六面體中是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，用表示向量的結(jié)果是______.【答案】【解析】【分析】由空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解．【詳解】是的中點(diǎn)，．故答案為：．【變式2】．已知四棱柱的底面是正方形，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為2，，則對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】由向量的方法計(jì)算，將表示成，平方即可.【詳解】由題可知四棱柱為平行六面體，，所以，所以.故答案為：.【變式3】．如圖所示，在平行六面體中，，分別在和上，且，．(1)證明：、、、四點(diǎn)共面．(2)若，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）在上取一點(diǎn)，使得，連接、，根據(jù)平行六面體的性質(zhì)、，即可得到，即可得證；（2）結(jié)合圖形，根據(jù)空間向量線(xiàn)性運(yùn)算法則計(jì)算可得.（1）證明：在上取一點(diǎn)，使得，連接、，在平行六面體中，，，，且，且，所以四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，所以，且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，、、、四點(diǎn)共面．（2）解：因?yàn)?，即，，，．考點(diǎn)3：空間向量基本定理的應(yīng)用例3．已知向量可作為空間的一組基底，若，且在基底下滿(mǎn)足，則__．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意利用向量相等列出方程組求出的值．【詳解】因?yàn)?，且，所以，解得故答案為?．【方法技巧】1.利用基底概念.2.結(jié)合各種計(jì)算，求出所需結(jié)果【變式訓(xùn)練】【變式1】．如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用向量加法減法的幾何意義并依據(jù)空間向量基本定理去求向量【詳解】連接AG并延長(zhǎng)交BC于N，連接ON，由G是的重心，可得，則則故選：D【變式2】．已知O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有（

）A．，，共線(xiàn) B．O，A，B，C中至少有三點(diǎn)共線(xiàn)C．與共線(xiàn) D．O，A，B，C四點(diǎn)共面【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理即可判斷【詳解】由于向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底知，，共面，所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)共面故選：D【變式3】．（多選）如圖，在平行六面體中，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．B．向量共面C．D．若，則該平行六面體的高為【答案】ACD【解析】【分析】選定空間的一個(gè)基底，表示出相關(guān)向量，計(jì)算數(shù)量積判斷A；利用共面向量定理判斷B；求出正四面體的高判斷D作答.【詳解】在平行六面體中，令，不妨令，依題意，，，因點(diǎn)M，N分別是棱的中點(diǎn)，則，，則有，A正確；，若向量共面，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，即，而不共面，則有，顯然不成立，B不正確；由,則，故C正確.連接，依題意，，即四面體是正四面體，因此，平行六面體的高等于點(diǎn)到平面的距離，即正四面體的高h(yuǎn)，由知，由選項(xiàng)A知，，則平面，是平面的一個(gè)法向量，，，則，所以平行六面體的高為，D正確.故選：ACD知識(shí)小結(jié)知識(shí)小結(jié)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使.鞏固提升鞏固提升一、單選題1．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)＝，＝，＝，則＝（）A．++ B．+C．++ D．+【答案】B【解析】【分析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線(xiàn)定理即可得出．【詳解】如圖所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故選：B．2．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形．若，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】【分析】利用基底向量可求的長(zhǎng).【詳解】，故，故，故選：A3．已知三棱錐O—ABC，點(diǎn)M，N分別為線(xiàn)段AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用空間向量基本定理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】.故選：A4．設(shè)向量是空間一個(gè)基底，則一定可以與向量構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是A． B． C． D．或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的一組基底是：任意兩個(gè)不共線(xiàn)，且不為零向量，三個(gè)向量不共面，從而判斷出結(jié)論．【詳解】解：由題意和空間向量的共面定理，結(jié)合，得與、是共面向量，同理與、是共面向量，所以與不能與、構(gòu)成空間的一個(gè)基底；又與和不共面，所以與、構(gòu)成空間的一個(gè)基底．故選：．5．已知是一個(gè)空間的基底，向量，，，，若則x，y，z分別為（

）．A．，， B．，1，C．，1， D．，1，【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的基本定理即可求解.【詳解】，，解得,故選：A6．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，，則為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B7．已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點(diǎn)，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由圖形可得，根據(jù)比例關(guān)系可得，，再根據(jù)向量減法，代入整理并代換為基底向量．【詳解】即故選：D．8．已知是所在平面外一點(diǎn)，是中點(diǎn)，且，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】利用向量減法的三角形法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)镸是PC中點(diǎn)，，又，，∴.故選：A.二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．任何三個(gè)不共面的向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底B．空間的基底有且僅有一個(gè)C．兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．直線(xiàn)的方向向量有且僅有一個(gè)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)基底、直線(xiàn)的方向向量等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩兩垂直的三個(gè)非零向量不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，C正確；對(duì)于D，直線(xiàn)的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè)，所以D錯(cuò)誤.故選：AC10．關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（

）A．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線(xiàn)，則這三個(gè)向量一定共面B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C．已知向量是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底D．若，則是鈍角【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)共線(xiàn)向量的概念理解判斷；對(duì)于B：根據(jù)且P，A，B，C四點(diǎn)共面，分析判斷；對(duì)于C：基底向量的定義是空間的一個(gè)基底不共面，分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)數(shù)量積的定義可得，結(jié)合向量夾角的范圍分析判斷．【詳解】對(duì)于A，根據(jù)共線(xiàn)向量的概念，可知空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線(xiàn)，則這三個(gè)向量一定共面，所以A正確；對(duì)于B，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有因?yàn)?，根?jù)空間向量的基本定理，可得P，A，B，C四點(diǎn)一定共面，所以B正確；對(duì)于C，由于是空間的一個(gè)基底，則向量不共面∵，則共面∴可得向量不共面，所以也是空間的一個(gè)基底，所以C正確；對(duì)于D，若，即，又，所以，所以D不正確．故選：ABC．三、填空題11．如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，請(qǐng)用??的線(xiàn)性組合表示___________.【答案】【解析】【分析】先求出，再由求解即可.【詳解】在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以.故答案為：.12．正方體中，點(diǎn)是上底面的中心，若，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量線(xiàn)性運(yùn)算，利用表示出，由此可得的值.【詳解】，，，，.故答案為：.13．已知非零向量，，且不共面．若，則_______.【答案】【解析】【分析】先由向量平行，得到，，利用系數(shù)對(duì)應(yīng)相等構(gòu)建關(guān)系，即可求出，即得結(jié)果.【詳解】不共面，故可看作空間向量的一組基底，，故存在，使得，即，，解得：，則．故答案為:.14．已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量是空間的另一個(gè)基底，用基底表示向量___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，然后整理解方程組即可.【詳解】設(shè)，即有，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，所以有，所以.故答案為：四