專題03大題專攻（二）（數(shù)列大題的思維建模）（原卷版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪提素養(yǎng)高分進(jìn)階新方案（新高考專版）

專題03大題專攻（二）（數(shù)列大題的思維建模）目錄一宏觀掌握解題通路：數(shù)列問題重在“歸”——“化歸”二微觀優(yōu)化解題細(xì)節(jié)：數(shù)列的“模型化”命題解題應(yīng)用體驗(yàn)精選好題做一當(dāng)十一宏觀掌握解題通路：數(shù)列問題重在“歸”——“化歸”等差數(shù)列與等比數(shù)列是我們最熟悉的兩個(gè)基本數(shù)列,在高中階段它們是一切數(shù)列問題的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn).首項(xiàng)與公差(比)稱為等差(比)數(shù)列的基本量,大凡涉及這兩個(gè)數(shù)列的問題我們總希望把已知條件化歸為等差或等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系,從而達(dá)到解決問題的目的.這種化歸為基本量處理的方法是解決等差或等比數(shù)列問題特有的方法.對(duì)于不是等差或等比的數(shù)列,可通過轉(zhuǎn)化化歸,轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列問題或相關(guān)問題求解由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù),也可根據(jù)題目特點(diǎn),將數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題來解決.1．（2021·河南南陽·高三期中（理））已知數(shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，，且.數(shù)列滿足，數(shù)列前項(xiàng)和記為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和記為，試比較與的大小.應(yīng)用體驗(yàn)1．（江蘇省蘇州市20212022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在①，②，，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并解答.問題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）2．（2021·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高二月考（理））已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.二微觀優(yōu)化解題細(xì)節(jié)：數(shù)列的“模型化”命題解題在高中階段,數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù),高考強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)列從方程和函數(shù)的視角進(jìn)行研究,其中方程的視角主要體現(xiàn)基礎(chǔ)性,即運(yùn)用等差,等比數(shù)列的公式來獲得首項(xiàng)、通項(xiàng)公式、公差(比)、前項(xiàng)和等基本量；函數(shù)的視角則體現(xiàn)綜合性,主要突出等差數(shù)列與一次函數(shù),等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,高考命題中則強(qiáng)調(diào)二次型與等差數(shù)列的聯(lián)系,一次型與等比數(shù)列的聯(lián)系.類型一：二次型與等差數(shù)列（1）若，則①。事實(shí)上，記，，則。是的前項(xiàng)和，對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列。（2）若，則②。利用上述①②來構(gòu)造關(guān)系是高考命題的常用手法。1．（2021·山西省新絳中學(xué)校高三月考（理））已知數(shù)列前項(xiàng)和為（1）求.（2）若數(shù)列，求前項(xiàng)和.類型二：一次型與等比數(shù)列對(duì)于等比數(shù)列，。若令，則。這表明，若果數(shù)列是等比數(shù)列，則是的一次型。1．（2021·江蘇·蘇州中學(xué)高二月考）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，且，，成等比數(shù)列，求和的值．應(yīng)用體驗(yàn)精選好題做一當(dāng)十1．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高三期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．（2021·江蘇·南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高三月考）已知等比數(shù)列中，，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求前項(xiàng)和的最大值3．（2021·浙江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列中，，.（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足.①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2021·江西贛州·高三期中（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，設(shè)．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列并求數(shù)列的通項(xiàng)：（2）數(shù)列滿足，設(shè)，求．6．（2021·江西柴?！じ呷驴迹ㄎ模┮阎獢?shù)列為等差數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，證明：.7．（2021·湖南·高三月考）在數(shù)列中，已知，.等比數(shù)列的首項(xiàng)為，且.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.8．（2021·云南·峨山彝族自治縣第一中學(xué)高三月考（理））已知數(shù)列為等比數(shù)列，公比，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．?dāng)?shù)列滿足．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，證明：．9．（2021·福建·高三月考）等差數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，．10．（2021·重慶·高三月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.11．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①；②；③是與的等比中項(xiàng)，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.問題：已知為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為常數(shù)，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令其中表示不超過的最大整數(shù)，求的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.12．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，且.（1）求的通