六年級數(shù)學上冊 第17講：工程問題（教師版）（人教版）

第十八講工程問題工程問題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學問題。然而其內(nèi)容已不僅是工程方面的，還包括水管注水、行路等許多方面。工程問題常涉及到工作量、工作效率和工作時間，且這三者之間具有如下關(guān)系式：工作量=工作效率×工作時間工作時間=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作時間工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用單位“1”表示；也可是部分工作量，常用分數(shù)表示。例如，工程的一半表示成，工程的三分之一表示成。工作效率指工作的快慢，也就是單位時間里所干的工作量。工作效率的單位是一個復合單位，用“工作量／天”或“工作量／時”等表示。但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。工程問題可分為兩類：一類是已知具體工作量，另一類是未給具體工作量。在解答工程問題時，我們要遵循以下原則：一是工作量沒有具體給出的，可設(shè)工作量為單位“1”；二是由于工作總量為“1”，那么，參與這項工作的每個人（隊）單獨做的工作效率可用此人（隊）單獨做的工作時間的倒數(shù)表示。解題過程中，我們會發(fā)現(xiàn)，解答工程問題，常常是圍繞找工作效率進行中，有些工作效率可以通過工作時間得到，而有些則要根據(jù)“工程”進程變化規(guī)律得到。在解題時，我們要弄清原來的、現(xiàn)在的之間的關(guān)系，以兩者關(guān)系為突破口解答問題。由于工程問題是研究工作量、工作效率和工作時間三者間關(guān)系的問題。因此我們就要從題目中發(fā)掘出三者之中的兩者，特別是找出工作效率，這往往是解題的關(guān)鍵，也是本講的重點內(nèi)容。例1：甲、乙、丙三人合修一堵圍墻，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，現(xiàn)領(lǐng)工資共180元，按工作量分配，甲、乙、丙應各領(lǐng)多少元？思路剖析此題看上去有點復雜，其實問題的關(guān)鍵在于求出甲、乙、丙三個各自的工作效率。由已知條件，甲、乙合作6天完成了，故可求出甲、乙兩人的工作效率和，即，同樣可求出乙、丙兩人工作效率以及甲、乙、丙三人工作效率的和。從而可求出甲、乙、丙三人各自的工作效率，進而根據(jù)他們各自完成的工作天數(shù)（即工作量）求出他們應領(lǐng)到的工資。解答因為甲、乙合修了6天完成工作的，所以甲、乙兩人的工作效率和為。剩下的工作量為，剩下工作量的為，由乙、丙兩天完成，所以乙、丙的工作效率和為。最后剩下的工作量為，由甲、乙、丙三人5天完成，所以甲、乙、丙三個的工作效率和為。因此，甲的工作效率為。因此，甲的工作效率為，丙的工作效率為，乙的工作效率為。進而，甲完成的工作量為，乙完成的工作量為，丙完成的工作量為。所以，甲應領(lǐng)工資，乙應領(lǐng)工資，丙應領(lǐng)工資例2：一項工程，甲單獨完成要30天，乙單獨完成要45天，丙單獨完成要90天?，F(xiàn)由甲、乙、丙三個合作完成此工程。在工作過程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙沒有休息，最后把這項工程完成了。問這項工程前后一共用了多少天？思路剖析本題實際上是求丙一共工作了天數(shù)，解題的關(guān)鍵在于怎樣處理三個人工作時間不一致的問題。我們可進行如下處理：以丙的工作天數(shù)為所求，把甲、乙兩人看作未休息，在工作總量上加上甲、乙丙人未休息所作的工作量，這樣就可以看作三個人的工作時間相同，即丙的工作時間，從而求出這個數(shù)。解答把這項工程看作“1”，指甲休息2天，乙休息3天的工作量加在總工作量上，看成三人的工作時間與丙相同。答：完成這項工程前后一共用了17天。例3：一項工程，乙隊先單獨做4天，繼而甲、丙兩隊合做6天，剩下的工程甲隊又獨做9天才全部完成。已知乙隊完成的是甲隊完成的，丙隊完成的是乙隊完成的2倍。甲、乙、丙三隊獨做，各需要多少天完成？思路剖析已知乙隊完成的是甲隊完成的，丙隊完成的是乙隊完成的2倍，按“甲、乙、丙三隊共同完成一項工程”為等量關(guān)系列方程分別求出甲、乙、丙各完成全部工程的幾分之幾。然后用甲、乙、丙完成任務的幾分之幾：即甲、乙、丙各自的工作量，分別除以各自的工作時間，就可得到他們各自的工作效率，進而求出甲、乙、丙三隊獨做各需要多少天。解答設(shè)甲隊完成了x，則乙隊完成了，丙隊完成了。因此，甲隊獨做時間為：，乙單獨做時間為：，丙隊獨做時間為：。答：甲、乙、丙獨做分別需要30、24、18天。例4：一個水池裝了一根進水管和3根粗細相同的出水管。單開一根進水管20分鐘可將水池注滿，單開一根出水管45分鐘可將水池的水放完?，F(xiàn)在水池中有池水，4根水管一起打開，多少分鐘后水池的水還剩下？思路剖析由題目條件知，水池原有水，減至，所以水池的水減少了，因此我們要從“放水”這個角度來考慮問題。由于既有進水，又有出水，所以放水的工作效率應為放水效率與進水效率的差。解答因為一根進水管20分鐘可將水池注滿，所以它的進水效率為。一根出水管45分鐘可將水池水放完。所以一根出水管放水效率為。水池原有水，后減少到，所以放水量為。4根水管齊開，流水的工作效率為。所以，花費的時間為。答：需16分鐘。例5：2個蟹將和4個蝦兵能打掃龍宮的，8個蟹將和10蝦兵在同樣的時間里就能打掃完全部龍宮，如果單讓蟹將去打掃與單讓蝦兵去打掃進行比較，那么要打掃完全部龍宮，蝦兵比蟹將要多幾個？思路剖析我們把打掃完全部龍宮的工作量看作“1”，那么由題目知，2個蟹將和4個蝦兵完成，8個蟹將和10個蝦兵完成“1”。兩相比較可知，當把第一個條件轉(zhuǎn)化成2×4個蟹將和4×4個蝦兵完成，就能消去蟹將，得出（4×4－10）個蝦兵完成。這既可看作（4×4－10）個蝦兵能打掃完全部龍宮的，也可看作（4×4－10）個蝦兵占所需蝦兵總數(shù)的。根據(jù)后者就可以比較簡捷地求出單讓蝦兵打掃需要多少個，進而求出單讓蟹將打掃需要多少個，使問題得到解決。解答單讓蝦兵打掃所需要的個數(shù)為單讓蟹將打掃所需要的個數(shù)為所以，蝦兵與蟹將要多30－12=18（個）。例6：一比工人到甲、乙兩上工地進行清理工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的倍。上午去甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚時，甲工地的工作已做完，乙工地的工作還需4名工人再做一天。那么這批工人有多少人？思路剖析題目本身比較復雜，涉及的“量”與“關(guān)系”比較多，然而解題的關(guān)鍵在于抓住“甲工地的工作做完，乙工地的工作還需4名工人再做1天”找到乙工地剩余工作量相當于甲工地的幾分之幾。解答根據(jù)上午去甲工地人數(shù)是去乙工地人數(shù)的3倍，可知上午去甲工地人數(shù)是這批工人的，去乙工地人數(shù)是這批工人的。又下午去甲工地人數(shù)是這批工人，可知去乙工地人數(shù)是這批工人的。由此可知，甲工地上、下午所完成的工作量之比是，即上午完成甲工地總工作量的，下午完成甲工地總工作量的。這樣，上午乙工地完成的工作量相當于甲工地的，下午乙工地完成的工作量相當于甲工地的，這樣乙工地剩余的工作量相當于甲工地的。因為乙工地剩下的工作量還需要4名工人再做1天，所以這批工人數(shù)是。例7：一個空水池有甲、乙兩根進水管和一根排水管，單開甲管需5分鐘注滿水池，單開乙管需10分鐘注滿水池，滿池水如果單開排水管需要6分鐘流盡。某次池中無水，打開甲管若干分鐘后，發(fā)現(xiàn)排水管未關(guān)上，隨即關(guān)上排水管，同時打開乙管。又過了同樣時間，水池的注了水。如果繼續(xù)注滿水池，前后一共花了多少時間？思路剖析一方面，可以根據(jù)：，列出方程來求解。另外，由題目知甲、乙管及排水管的工效率以及兩上階段所用時間相等，可求出工作效率和，進而求解。解答☆解法一：設(shè)打甲管未發(fā)現(xiàn)排水管關(guān)上這段時間為x分鐘，列出方程得：那么注滿水池共需☆解法二：由題目知：甲管的工作效率為，排水管的工作效率為，那么在單開甲管，沒有發(fā)現(xiàn)排水管未關(guān)上這段時間內(nèi)，每分鐘只能注入：的水；又關(guān)上排水管，同時打開乙管后每分鐘注入：的水。我們又知道這段時間相等。所以，可以認為用的工作效率之和注水若干分鐘后，水池注入，以后繼續(xù)注水時間為。因此，注滿水池，前后一共花了1.5+2.5=4(分鐘)。答：注滿水池共用4分鐘。例8：一件工作，甲做了5小時以后由乙來做，3小時可以完成。乙做9小時后由甲來做，也是3小時可以完成，那么甲做1小時后由乙來做，多少小時可以完成？思路剖析我們根據(jù)題目條件可以利用下面兩個等式來解題：甲5小時的工作量+乙3小時的工作量=“1”（1）甲3小時的工作量+乙9小時的工作量=“1”（2）比較（1）式、（2）式可得：甲的工作效率是乙的3倍。因此，甲做了5小時工作后，由乙接做3小時可以完成?？梢钥醋骷讍为氉?小時完成全部工作，所以甲的工作效率為，那么乙的工作效率為。解答☆解法一：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），甲的工作效率是。所以，乙要完成全部工作還需☆解法二：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），乙的工作效率是。所以，乙要完成全部工作還需。點津工程問題往往數(shù)量關(guān)系復雜，題型多樣，富于變化，這就要求我們在解答過程中抓住關(guān)鍵，即工作效率或工作效率和，這也是不易掌握、容易出錯的地方。有的時候工作效率是在題目中直接給出來的，如例2、例4等，而有時工作效率并未直接給出，需要我們根據(jù)題意自己確定，如例1等。這就要求我們費一番腦筋，認真分析數(shù)量關(guān)系，進而求解。在學習本講知識時，還需注意多從不同角度入手考慮問題，試著一題多解，逐步提高解題能力。A1．有一項工作，甲單獨工作需要6天完成，乙單獨工作需要30天完成。（1）請問：甲、乙二人合作需要幾天完成？（2）如果甲先單獨工作了3天，乙才參加工作，請問：乙參加進來后幾天完成這項工作？（3）如果甲、乙合做這項工作，但是中途甲休息了一天，請問：完成這項工作一共用了幾天時間？分析與解答：（1）因甲單獨6天完成這項工作，所以甲的工作效率為，同樣乙的工作效率為甲、乙兩人合做的工作效率就應為+=所以甲、乙合做需要的天數(shù)為1÷=5（天）（2）甲先做3天，完成的工作量為×3=,剩余工作量為。甲、乙合做完成乘余工作所用的時間應為÷（+）=÷=（3）甲、乙共同工作，但甲中途休息了一天，可以這樣考慮：假設(shè)甲不休息，那么甲、乙兩人完成的總的工作量為1+=因此完成這件工作所花費的時間應為（1+）÷（+）==2．一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成。請問：如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？解答：共做了6天后，原來，甲做24天，乙做24天，現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天。這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替。因此甲的工作效率是乙的工作效率的=如果乙獨做，所需時間是30+30×=50（天）如果甲獨做，所需時間是50÷=75（天）答：甲單獨做需要75天，乙單獨做需要50天。3．一件工作，甲5小時先完成了，乙6小時又完成了剩下任務的一半，最后余下的部分由甲、乙二人合作，請問：還需要多少時間才能完成？分析：這道題是工程問題與分數(shù)應用題的復合題。解題時先要分別求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量轉(zhuǎn)化為占單位“1”（總工作量）的幾分之幾？解：甲工作效率：÷5=乙工作效率：(1-)×÷6=余下部分甲、乙合作需要幾小時：(1-)×(1-)÷(+)=(小時)答：還需要小時才能完成任務。4．某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成?，F(xiàn)在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，請問：乙還需要做多少天？分解與解答：先對比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天。就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的工作效率是乙的工作效率的=(倍)甲先單獨做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當于乙要做21×=28（天）因此，乙還要做28+28=56（天）。答：乙還需要做56天。5．一項工程，甲隊單獨干20天可以完成，甲隊做了8天后，由于另有任務，剩下的工作由乙隊單獨做15天完成。請問：乙隊單獨完成這項工作需多少天？分析與解答：甲隊單獨干20天可完成,每天完成工程的，現(xiàn)在甲隊干了8天，完成了全部工程的×8=，這時工程余下1-=余下的工程隊單獨干了15天完成，由此可知，乙隊每天完成了全部工程的÷15=即：乙隊單獨完成這項工程所需的時間為答：乙隊單獨完成這項工程需25天。B6．有甲、乙兩項工作，張明單獨完成甲工作要10天，單獨完成乙工作要15天；李紅單獨完成甲工作要8天，單獨完成乙工作要20天。如果每項工作都可以由兩人合作，那么這兩項工作都完成最少需要多少天？分解與解答：很明顯，李紅做甲工作的工作效率高，張明做乙工作的工作效率高。因此讓李紅先做甲，張明先做乙。設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張明每天完成4份，李紅每天完成3份。8天，李紅就能完成甲工作。此時張明還余下乙工作（60-4×8）份。由張明、李紅合作需要（60-4×8）÷（4+3）=4（天）。8+4=12（天）答：這兩項工作都完成最少需要12天。7．師傅和徒弟二人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成任務。師傅先做5天后，因事外出，由徒弟接著做3天。共完成任務的。如果每人單獨做這批零件各需幾天？分析：設(shè)一批零件為單位“1”，其中6天完成任務，用表示師徒的工效和，要求每人單獨做各需幾天，首先要求出各自的工效，關(guān)鍵在于把師傅先做5天，接著徒弟做3天轉(zhuǎn)化為師徒二人合作3天，師傅再做2天。解：師傅工效：(-×3)÷2=徒弟工效：-=師傅單獨做需幾天：1÷=10（天）徒弟單獨做需幾天：1÷=15（天）答：如果單獨做，師傅需10天，徒弟需15天。8．一件工作甲先做6小時，乙接著做12小時可以完成。甲先做8小時，乙接著做6小時也可以完成。如果甲做3小時后由乙接著做，還需要多少小時完成？分析：設(shè)一件工作為單位“1”。甲做6小時，乙再做12小時完成或者甲先做8小時，乙再做6小時都可完成，用圖表示它們的關(guān)系如下：

由圖不難看出甲2小時工作量＝乙6小時工作量，∴甲1小時工作量＝乙3小時工作量?？捎谩按鷵Q方法”解答這個問題。解答：①若由乙單獨做共需幾小時：6×3＋12＝30（小時）。②若由甲單獨做需幾小時：8＋6÷3＝10（小時）。③甲先做3小時后乙接著做還需幾小時：（10－3）×3＝21（小時）。答：乙還需21小時完成。9．加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。現(xiàn)在由甲先做16天，然后乙再做12天，還剩下這批零件的沒有完成。已知甲每天比乙多加工3個零件，請問：這批零件一共多少個？分析：欲求這批零件共多少個，由題中條件只需知道甲、乙二人每天共做多少個即可，然后這就轉(zhuǎn)化為求甲、乙兩人單獨做各需多少天，有了這個結(jié)論后，只需算出3個零件相當于總數(shù)的幾分之幾即可。由條件知甲做16天，乙做12天完成工程的，也即相當于甲乙二人合做12天，另外加上甲又做4天共完成這批零件的；又知道甲乙二人合做24天可以完成，因此甲單獨做所用天數(shù)可求出，那么乙單獨做所用天數(shù)也就迎刃而解。解答：①甲、乙合作12天，完成了總工程的幾分之幾？×12=②甲1天能完成全工程的幾分之幾？③乙1天可完成全工程的幾分之幾？④這批零件共多少個？(個)答：這批零件共360個。10．一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成?，F(xiàn)在他們兩隊一起做，其間甲隊休息了3天，乙隊休息了若干天.從開始到完成共用了16天。請問：乙隊休息了多少天？解一：①如果16天兩隊都不休息，可以完成的工作量是16×（+）=②由于兩隊休息期間未做的工作量是③乙隊休息期間未做的工作量是④乙隊休息的天數(shù)是答：乙隊休息了5天半。解二：設(shè)全部工作量為60份。甲每天完成3份，乙每天完成2份。兩隊休息期間未做的工作量是（3+2）×16-60=20（份）。因此乙休息天數(shù)是（20-3×3）÷2=5.5（天）。解三：甲隊做2天，相當于乙隊做3天。甲隊休息3天，相當于乙隊休息4.5天。如果甲隊16天都不休息，只余下甲隊4天工作量，相當于乙隊6天工作量，乙休息天數(shù)是。16-6-4.5=5.5（天）C甲、乙、丙三人合修一堵圍墻，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成?，F(xiàn)領(lǐng)工資共180元，按工作量分配，請問：甲、乙、丙應各得多少元？分析：這道題稍微復雜一點，請同學們仔細審題，問題的關(guān)鍵是要求出甲、乙、丙三人各自的工作效率。由已知條件，甲、乙合修6天完成了，故可求出甲、乙兩人的工作效率的和。同樣可求出乙、丙工作效率的和及甲、乙、丙三人工作效率的和，從而可分別求出甲、乙、丙各自的工作效率，進而根據(jù)他們各自的工作天數(shù)求出他們應得的工資。解：因甲、乙合修了6天完成工作的，所以甲、乙兩人工作效率的和為。剩下工作量為，剩下工作量的為，由乙、丙2天完成，所以乙、丙的工作效率的和為。最后剩下工作量為，由甲、乙、丙三人5天完成，所以甲、乙、丙三人的工作效率的和為。從而甲的工作效率為。丙的工作效率為。乙的工作效率為。甲完成的工作量為。乙完成的工作量為。丙完成的工作量為。然后，根據(jù)“按比分配”的方法進行計算。因此，甲應得工資為（元）。乙應得工資為（元）。丙應得工資為（元）。答：甲應得工資33元，乙應得工資91元，丙應得工資56元。一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天。請問：這項工程由甲獨做需要多少天？分析與解答：丙2天的工作量，相當乙4天的工作量。丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），“甲、乙合作1天”，與“乙做4天”的工作量相等。也就是甲做1天，相當于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍。乙做13天，甲只要天；丙做13天，乙要26天，而甲只要天。他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要（天）答：甲獨做需要26天。說明：事實上，當我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3：2：1，就知甲做1天，相當于乙、丙合作1天。三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來完成。小學算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性。第二種解題思路是“比例”靈活運用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答案。師徒三人合作承包一項工程，8天能夠全部完成。已知師傅單獨做所需的天數(shù)與兩個徒弟合作所需天數(shù)相同。師傅與徒弟甲合作所需的天數(shù)的4倍與徒弟乙單獨完成這項工程所需的天數(shù)相同。請問：兩徒弟單獨完成這項工程各需多少天？分析與解答：因為師徒三人合作8天能夠完成，所以師徒三人合作的工作效率為。又由于師傅單獨完成與兩徒弟合作完成這項工程所需的天數(shù)相等，所以師傅的工作效率為。因為師傅與徒弟甲合作完成這項工程所需天數(shù)的4倍與徒弟乙單獨完成這項工程所需的天數(shù)相等，所以師傅與徒弟甲合作的工作效率是徒弟乙的工作效率的4倍。由此可知師徒三人合作的工作效率是徒弟乙的工作效率的5倍。所以徒弟乙的工作效率為：因此，徒弟乙單獨完成這項工程需：（天）徒弟甲單獨完成這項工程需：答：若單獨完成這項工程，甲需天，乙需40天。一個水池有兩個排水管甲和乙，一個進水管丙，如果同時開放甲、丙兩管，20小時可將滿池水排空；如果同時開放乙、丙兩管，30小時可將滿池水排空，若單獨開丙管，60小時可將空池注滿。請問：如果同時打開甲、乙、丙三水管，要排空水池中的滿池水，需要幾小時？分析與解答：由于題中告訴我們?nèi)齻€條件：①同時開啟排水管甲和進水管丙，用20小時可將滿池水排空，由此可知，甲水管工作20小時與丙水管工作20小時的工作量之差恰好是滿池水。②已知同時開啟排水管乙和進水管丙，用30小時可將滿池水排空，由此可知乙、丙兩水管同時工作30小時的工作量之差也恰好是滿池水。③已知丙水管工作60小時，可將空池注滿水，故其工作效率為。利用上述三個條件我們可以求得甲、乙兩水管的工作效率，進而計算出同時開啟甲、乙、丙三水管將滿池水排空所用的時間。由條件①和條件②計算甲的工作效率為：由條件②和條件③計算乙的工作效率為：所以同時開啟甲、乙、丙三水管將滿池水排空所用的時間為：（小時）答：同時開啟甲、乙、丙三水管將滿池水排空需10小時。說明：這個問題也可以用下面的方法來計算：由甲、丙同時開啟20小時，可將滿池水排空，知甲、乙合作的工作效率為；由乙、丙同時開啟30小時，可將滿池水排空，知乙、丙合作的工作效率為；又單獨開啟丙水管，60小時可將水池注滿水，知丙的工作效率為。所以甲、乙、丙三水管同時開的工作效率為：。所以甲、乙、丙三水管同時開啟將滿池水排空所用的時間為：（小時）。一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的。打開A管，8小時可將滿池水排空，打開C管，12小時可將滿池水排空。如果打開A，B兩管，4小時可將水排空。請問：打開B，C兩管，要幾小時才能將滿池水排空？分析與解答：設(shè)滿水池的水量為“1”。A管每小時排出小時滲入水量，A管4小時排出小時滲入水量。因為A，B合開時，4小時將滿池水排完，所以B管4小時的排水量為，每小時排水量為。C管每小時排水量是小時的滲水量。因此，B，C兩管齊開，每小時排水量是小時的滲入量。B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是（小時）=4小時48分。答：B，C兩管齊開要4小時48分才將滿池水排完。說明：本題水池原有水（滿池）和滲入水量也要分開考慮。由于不知具體數(shù)量，像工程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣，這里把兩種水量分別設(shè)成“1”。但這兩種量要避免混淆。事實上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù)24。蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管。要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管需要5小時。要排光一池水，單開乙管需要4小時，單開丁管需要6小時?，F(xiàn)在池內(nèi)有池水。如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、…的順序輪流打開1小時，請問：多少時間后水開始溢出水池？分析與解答：甲、乙、丙、丁各管各開1小時后，水池中的水就增加。我們注意到，每次四個水管輪流打開后，水池中的水不能超過池的，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出。因為，所以甲、乙、丙、丁這樣循環(huán)4次后，水池中的水還不到。循環(huán)5次以后（20小時），池中的水已有。這樣，再開甲管小時后，水就開始溢出了。答：小時后水池開始溢水。說明：此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進了枯井的青蛙，它要往上爬30分米才能到達井口，每小時它總是爬3分米，又滑下2分米。請問：這只青蛙需要多少小時才能爬到井口？看起來它每小時只往上爬3-2=1（分米），但爬了27小時后，它再爬1小時，往上爬了3分米已到達井口。因此，答案是28小時，而不是30小時。一件工作，甲單獨工做9天可以完成，乙單獨工做6天可以完成。現(xiàn)在甲先單獨做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成。請問：乙需要單獨做幾天可以完成剩余的工作？分析與解答一：甲做了3天，完成的工作量是3/9=1/3，乙還需要完成的工作量是1-1/3=2/3。乙每天能完成的工作量（工作效率）是，完成余下工作量所需時間是+=4（天）答：乙需要單獨做4天可完成剩余工作.分析與解答二：9與6的最小公倍數(shù)是18。假設(shè)全部工作量是18份。甲每天完成2份，乙每天完成3份。乙完成余下工作所需時間是（18-2×3）÷3=4（天）分析與解答三：甲與乙的工作效率之比是6∶9=2∶3甲做了3天，相當于乙做了2天，乙完成余下工作所需時間是6-2=4（天）某服裝公司預計30天完成一批服裝加工任務。先由18名工人工作了12天。完成了任務的，現(xiàn)因任務緊急，需要提前6天完成全部加工任務。請問：需要增加多少名工人？分析：要想求出增加的工人人數(shù)，就必須知道還剩多少工作量，還剩多少時間以及每個工人的工作效率。這三個量都可由已知條件中獲得。分析：由18人修12天完成了全部工程的，可通過18×12求出用一天完成工作量共需要的總?cè)藬?shù)，也可通過18×12求出用一個完成工作量共需要的總天數(shù)，所以由÷(18×12)求出1人1天完成全工程的幾分之幾(即一人的工效)。解答：①1人1天完成全部工程的幾分之幾（即一人的工效）：÷（18×12）=②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：（1-）÷[×（30-12-6）]=÷＝36（人）③需增加幾人：36－18＝18（人）答：還要增加18人。說明：本題有更簡單的解法如下：18名工人12天完，接著又干12天又完成（一共用了24天），剩下由增加的工人在12天完成，顯然增加的工人人數(shù)也為18人。一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成?，F(xiàn)在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息的情況）。請問：開始到完工共用了多少天時間？分析與解答一：“甲隊休息了2天，乙隊休息了8天”的意思就是：甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天，共完成工作量×8+×2=余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數(shù)是（1-）÷（+）=12+8+1=11（天）答：從開始到完工共用了11天。分析與解答二：設(shè)全部工作量為30份。甲每天完成3份，乙每天完成1份。在甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天之后，還需兩隊合作（30-3×8-1×2）÷（3+1）=1（天）分析與解答三：甲隊做1天相當于乙隊做3天。在甲隊單獨做8天后，還余下（甲隊）10-8=2（天）工作量。相當于乙隊要做2×3=6（天）。乙隊單獨做2天后，還余下（乙隊）6-2=4（天）工作量。4=3+1，其中3天可由甲隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天。從開始到完工共用了11天。一項工程，甲單獨完成需12天，乙單獨完成需9天。若甲先做若干天后乙接著做，共用10天完成，請問：甲單獨工做了幾天？分析：解答工程問題時，除了用一般的算術(shù)方法解答外，還可以根據(jù)題目的條件，找到等量關(guān)系，列方程解題。解答：設(shè)甲做了x天。那么，甲完成工作量，乙做的天數(shù)10-X。乙完成工作量（10-X）×，因此+（10-X）×=1+=1等式的兩邊同乘36，得到：3x＋40－4x＝36，x＝4答：甲單獨做了4天。一項工程，甲單獨做要12小時完成，乙單獨做要18小時完成。若甲先做1小時，然后乙接替甲做1小時，再由甲接替乙做1小時，……，兩人如此交替工作，請問：完成任務時，共用了多少小時？分析：要想求出共用多少小時？可以設(shè)想把這些小時重新分配：甲做1小時，乙做1小時，他們相當于合作1小時，也即是每2小時，相當于合做1小時。這樣先大致算一下一共進行了多少個這樣的2小時，余下部分問題就好解決了。解答：①若甲、乙兩人合作共需多少小時？1÷（+）=1÷=（小時）②甲、乙兩人各單獨做7小時后，還剩多少？1-7×（+）=1-=③余下的由甲獨做需多少小時？÷=（小時）④共用了多少小時？7×2+=（小時）答：共用了小時甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比原來自己單獨做時提高，乙的工作效率比單獨做時提高。甲、乙兩個合作6小時，完成全部工作的。第二天乙又單獨做了6小時，還留下這件工作的尚未完成。請問：如果這件工作始終由甲一個人單獨來做，需要多少小時？分析與解答：①乙6小時單獨工作完成的工作量是1--=②乙每小時完成的工作量是÷6=③兩人合作6小時，甲完成的工作量是-×（1+）×6=④甲單獨做時每小時完成的工作量÷6÷（1+）=⑤甲單獨做這件工作需要的時間是1÷=33（小時）答：甲單獨完成這件工作需要33小時。1．一項工程，甲2小時完成了，乙5小時完成了剩下的，余下的部分由甲、乙合作完成，甲共工作了______小時。解：甲的工作效率為，乙的工作效率為，甲、乙的工作效率和為。又因余下的工作量為，進而甲、乙合作的時間為。所以，甲共工作了。2．一個水池，甲、乙兩管同時開，5小時灌滿，乙、丙兩管同時開，4小時灌滿。如果乙管先開6小時，還需要甲、丙兩管同時開2小時才能灌滿（這時乙管關(guān)閉），那么乙管單獨開灌滿水池要______小時。解：把“乙管先開6小時，甲、丙管同時開2小時”，轉(zhuǎn)化為“甲、乙合開2小時，乙、丙合開2小時，然后乙單獨開2小時”，這樣就可求出乙管單獨開灌滿水池所需時間。3．甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開出，經(jīng)8小時相遇，相遇后兩車繼續(xù)前進，甲車又用了6小時到達B地，乙車要______小時才能從B地到達A地。解：設(shè)乙8小時走的路程為S，甲只需6小時走完，故甲的速度是每小時，乙的速度是每小時。甲走完AB需要8+6=14（小時），則AB路程為。從而可知，乙走完BA即AB需要