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文檔簡介
2023屆甘肅省臨洮縣二中全國高三模擬考試(四)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的整數(shù)的最大值為()A.7 B.15 C.31 D.632.已知點(diǎn),若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),則面積的最小值為()A.6 B.3 C. D.3.已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有,當(dāng)時(shí),,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知過點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有().A.0 B.1 C.2 D.35.()A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則()A. B. C.2 D.7.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A. B.4C. D.58.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有器中米,不知其數(shù),前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升(注:一斗為十升).問,米幾何?”下圖是解決該問題的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,若輸出的S=15(單位:升),則輸入的k的值為()?A.45 B.60 C.75 D.1009.設(shè),則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.若命題p:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M,則∠AMB>90°的概率為π8A.p∧qB.(?p)∧qC.p∧(?q)D.?q11.設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則α∥β的充要條件是A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面12.已知F是雙曲線(k為常數(shù))的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為()A.2k B.4k C.4 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,半圓的直徑AB=6,O為圓心,C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn),若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為.14.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,當(dāng)時(shí),(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若,則實(shí)數(shù)的值為_____.15.函數(shù)的圖像如圖所示,則該函數(shù)的最小正周期為________.16.在如圖所示的三角形數(shù)陣中,用表示第行第個(gè)數(shù),已知,且當(dāng)時(shí),每行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和,即,若,則正整數(shù)的最小值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線C:()的焦點(diǎn)F在直線上,平行于x軸的兩條直線,分別交拋物線C于A,B兩點(diǎn),交該拋物線的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).(1)求拋物線C的方程;(2)若F在線段上,P是的中點(diǎn),證明:.18.(12分)已知離心率為的橢圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)薦橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與橢圓分別交于,若直線、、的斜率成等差數(shù)列,請(qǐng)問的面積是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請(qǐng)說明理由.19.(12分)已知數(shù)列的通項(xiàng),數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng);(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)已知,均為給定的大于1的自然數(shù),設(shè)集合,.(Ⅰ)當(dāng),時(shí),用列舉法表示集合;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,且集合滿足下列條件:①對(duì)任意,;②.證明:(?。┤簦瑒t(集合為集合在集合中的補(bǔ)集);(ⅱ)為一個(gè)定值(不必求出此定值);(Ⅲ)設(shè),,,其中,,若,則.21.(12分)在中國,不僅是購物,而且從共享單車到醫(yī)院掛號(hào)再到公共繳費(fèi),日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普索合作,調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶,從中隨機(jī)抽取了60名,統(tǒng)計(jì)他們出門隨身攜帶現(xiàn)金(單位:元)如莖葉圖如示,規(guī)定:隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下(不含100元)的為“手機(jī)支付族”,其他為“非手機(jī)支付族”.(1)根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù),將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)?(2)用樣本估計(jì)總體,若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機(jī)抽取3位女性用戶,這3位用戶中“手機(jī)支付族”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的期望和方差;(3)某商場(chǎng)為了推廣手機(jī)支付,特推出兩種優(yōu)惠方案,方案一:手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可直減100元;方案二:手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可抽獎(jiǎng)2次,每次中獎(jiǎng)的概率同為,且每次抽獎(jiǎng)互不影響,中獎(jiǎng)一次打9折,中獎(jiǎng)兩次打8.5折.如果你打算用手機(jī)支付購買某樣價(jià)值1200元的商品,請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析,選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算?附:0.0500.0100.0013.8416.63510.82822.(10分)已知是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在軸上,為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足,經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)直線與拋物線交于、兩點(diǎn),若,求點(diǎn)到直線的最大距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】試題分析:由程序框圖可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后輸出,此時(shí),則的最大值為15,故選B.考點(diǎn):程序框圖.2.B【解析】
求得直線的方程,畫出曲線表示的下半圓,結(jié)合圖象可得位于,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式,以及三角形的面積公式,可得所求最小值.【詳解】解:曲線表示以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的下半圓(包括兩個(gè)端點(diǎn)),如圖,直線的方程為,可得,由圓與直線的位置關(guān)系知在時(shí),到直線距離最短,即為,則的面積的最小值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積最值,解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系,確定半圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值,這由數(shù)形結(jié)合思想易得.3.B【解析】
先構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡不等式,解得結(jié)果.【詳解】令,則當(dāng)時(shí),,又,所以為偶函數(shù),從而等價(jià)于,因此選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.4.C【解析】
設(shè)切點(diǎn)為,則,由于直線經(jīng)過點(diǎn),可得切線的斜率,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率,建立關(guān)于的方程,從而可求方程.【詳解】若直線與曲線切于點(diǎn),則,又∵,∴,∴,解得,,∴過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為或,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,求解曲線的切線的方程,其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【詳解】.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.6.D【解析】
把已知等式變形,然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解:,則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.7.B【解析】
還原幾何體的直觀圖,可將此三棱錐放入長方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖,三棱錐的直觀圖為,體積.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計(jì)算能力,屬于中檔題.8.B【解析】
根據(jù)程序框圖中程序的功能,可以列方程計(jì)算.【詳解】由題意,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,讀懂程序的功能是解題關(guān)鍵.9.C【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b?logab<1,logab<1?a>b,∴a>b是logab<1的充分必要條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵.10.B【解析】因?yàn)閺挠?件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16,即命題p是錯(cuò)誤,則?p是正確的;在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M點(diǎn)睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機(jī)地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用、幾何概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用等知識(shí)與方法的綜合運(yùn)用,以及分析問題解決問題的能力。11.B【解析】
本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件,滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng),利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.【詳解】由面面平行的判定定理知:內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件,由面面平行性質(zhì)定理知,若,則內(nèi)任意一條直線都與平行,所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件,故選B.【點(diǎn)睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理,最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住,憑主觀臆斷,如:“若,則”此類的錯(cuò)誤.12.D【解析】
分析可得,再去絕對(duì)值化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式,進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),等式不是雙曲線的方程;當(dāng)時(shí),,可化為,可得虛半軸長,所以點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13..【解析】.14.【解析】
先推導(dǎo)出函數(shù)的周期為,可得出,代值計(jì)算,即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則,又該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則,所以,,則,所以,函數(shù)是周期為的周期函數(shù),所以,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算函數(shù)值,解題的關(guān)鍵就是結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱軸推導(dǎo)出函數(shù)的周期,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.15.【解析】
根據(jù)圖象利用,先求出的值,結(jié)合求出,然后利用周期公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解:由,得,,,則,,,即,則函數(shù)的最小正周期,故答案為:8【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)周期的求解,結(jié)合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.16.2022【解析】
根據(jù)條件先求出數(shù)列的通項(xiàng),利用累加法進(jìn)行求解即可.【詳解】,,,下面求數(shù)列的通項(xiàng),由題意知,,,,,,數(shù)列是遞增數(shù)列,且,的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用,結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項(xiàng)是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)見解析【解析】
(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)在直線上,可求得的值,從而求得拋物線的方程;(2)法一:設(shè)直線,的方程分別為和且,,,可得,,,的坐標(biāo),進(jìn)而可得直線的方程,根據(jù)在直線上,可得,再分別求得,,即可得證;法二:設(shè),,則,根據(jù)直線的斜率不為0,設(shè)出直線的方程為,聯(lián)立直線和拋物線的方程,結(jié)合韋達(dá)定理,分別求出,,化簡,即可得證.【詳解】(1)拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,且該點(diǎn)在直線上,所以,解得,故所求拋物線C的方程為(2)法一:由點(diǎn)F在線段上,可設(shè)直線,的方程分別為和且,,,則,,,.∴直線的方程為,即.又點(diǎn)在線段上,∴.∵P是的中點(diǎn),∴∴,.由于,不重合,所以法二:設(shè),,則當(dāng)直線的斜率為0時(shí),不符合題意,故可設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線的方程,得又,為該方程兩根,所以,,,.,由于,不重合,所以【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查拋物線的定義,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.18.(1);(2)是,【解析】
(1)根據(jù)及可得,再將點(diǎn)代入橢圓的方程與聯(lián)立解出,即可求出橢圓的方程;(2)可設(shè)所在直線的方程為,,,,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,用根與系數(shù)的關(guān)系求出,然后將直線、、的斜率、、分別用表示,利用可求出,從而可確定點(diǎn)恒在一條直線上,結(jié)合圖形即可求出的面積.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,即,又,所以,①因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,②由①②解得,所以橢圓C的方程為.(1)可知,,可設(shè)所在直線的方程為,由,得,設(shè),,,則,,設(shè)直線、、的斜率分別為、、,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以,即,所以,又,因?yàn)橹本€、、的斜率成等差數(shù)列,所以,即,化簡得,即點(diǎn)恒在一條直線上,又因?yàn)橹本€方程為,且,所以是定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問題,屬于中檔題.19.(1);(2).【解析】
(1)根據(jù),,成等差數(shù)列以及為等比數(shù)列,通過直接對(duì)進(jìn)行賦值計(jì)算出的首項(xiàng)和公比,即可求解出的通項(xiàng)公式;(2)的通項(xiàng)公式符合等差乘以等比的形式,采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.【詳解】(1)數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公比為,,,解得(2),,,,.【點(diǎn)睛】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合以及錯(cuò)位相減法求和的應(yīng)用,難度一般.判斷是否適合使用錯(cuò)位相減法,可根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式是否符合等差乘以等比的形式來判斷.20.(Ⅰ);(Ⅱ)(ⅰ)詳見解析.(ⅱ)詳見解析.(Ⅲ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)當(dāng),時(shí),,,,,,.即可得出.(Ⅱ)(i)當(dāng)時(shí),,2,3,,,又,,,,,,必然有,否則得出矛盾.(ii)由.可得.又,即可得出為定值.(iii)由設(shè),,,,其中,,,2,,.,可得,通過求和即可證明結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)解:當(dāng),時(shí),,,,,..(Ⅱ)證明:(i)當(dāng)時(shí),,2,3,,,又,,,,,,必然有,否則,而,與已知對(duì)任意,矛盾.因此有.(ii)..,為定值.(iii)由設(shè),,,,其中,,,2,,.,..【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.21.(1)列聯(lián)表見解析,99%;(2),;(3)第二種優(yōu)惠方案更劃算.【解析】
(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表,再根據(jù)獨(dú)立
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