專題03 線段中的雙（多）中點(diǎn)模型解讀與提分精練-2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（滬科版2024）

第第頁專題03.線段的雙（多）中點(diǎn)模型對(duì)于剛接觸幾何的七年級(jí)學(xué)生來說，關(guān)于線段的計(jì)算是有很大難度的，這就要求學(xué)生面對(duì)這類題時(shí)具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來講，這類題通常由問題出發(fā)，先由線段和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)來解決。但是，對(duì)于有公共部分的線段雙中點(diǎn)模型，可以寫出的線段和差種類較多，這就增加了思考的難度。如果掌握了這個(gè)模型的結(jié)論，那就可以快速選取正確的線段和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案?？傊?，基本模型的掌握既可以快速得出小題的答案，又可以為大題的解決確立方向。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.線段的雙中點(diǎn)模型 1模型2.線段的多中點(diǎn)模型 6 10模型1.線段的雙中點(diǎn)模型線段雙中點(diǎn)模型：兩線段在同一直線上且有一個(gè)共同的端點(diǎn)，求這兩條線段的中點(diǎn)距離的模型我們稱之為線段的雙中點(diǎn)模型。條件：點(diǎn)M、N分別為線段AB、BC的中點(diǎn)，結(jié)論：.證明：①當(dāng)點(diǎn)B在線段AC上，如圖1，圖1∵M(jìn)、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴（中點(diǎn)定義）；（中點(diǎn)定義）；∵M(jìn)N=BM+BN，∴；②當(dāng)點(diǎn)B在線段AC的延長線上，如圖2，圖2∵M(jìn)、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴（中點(diǎn)定義）；（中點(diǎn)定義）；∵M(jìn)N=BM-BN，∴；③當(dāng)點(diǎn)B在線段CA的延長線上圖3∵M(jìn)、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴（中點(diǎn)定義）；（中點(diǎn)定義）；∵M(jìn)N=BN-BM，∴；例1．（23-24七年級(jí)上·山西朔州·期末）如圖，已知線段，延長線段至點(diǎn)C，使，延長線段至點(diǎn)D，使，點(diǎn)M，N分別是線段的中點(diǎn)．若．求線段的長．【答案】【分析】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段和差計(jì)算，先由線段中點(diǎn)的定義得到，；進(jìn)而得到，再由，得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：，N分別是的中點(diǎn)，，．，，，，即，，，．例2．（2024七年級(jí)·廣東·培優(yōu)）如圖，分別是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若點(diǎn)表示的數(shù)分別為，那么．【答案】【分析】本題主要考查了線段的和差、線段的中點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，明確各線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由中點(diǎn)的定義可得：，再根據(jù)數(shù)軸上表示的數(shù)確定，然后再根據(jù)線段的和差及等量代換即可解答．【詳解】解：∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)表示的數(shù)分別為，∴∴．故答案為：．例3．（23-24七年級(jí)下·河北唐山·開學(xué)考試）現(xiàn)有，兩根木條，，分別是，的中點(diǎn)，將兩根木條疊放在一起．按如圖所示疊放，，，則．【答案】【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是由線段中點(diǎn)得到．根據(jù)線段中點(diǎn)求出的長，即可求出的長．【詳解】解：，分別是，的中點(diǎn)，，，，．故答案為：．例4．（23-24七年級(jí)上·甘肅武威·期末）已知線段，點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，則線段的長度是()A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題需要分兩種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長線上時(shí)，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，計(jì)算即可．本題考查了兩點(diǎn)間的距離，主要利用了線段中點(diǎn)的定義，難點(diǎn)在于要分情況討論．【詳解】解：∵M(jìn)是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，∴，，①當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，∴；

②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，∴．

綜上所述，線段的長度是或．故選：D．例5．（23-24七年級(jí)上·山東濰坊·階段練習(xí)）如圖，C是的中點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，下列等式不正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，根據(jù)線段中點(diǎn)性質(zhì)得到，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵C是的中點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，∴，，∴，，故選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：D．例6．（23-24七年級(jí)·上海浦東新·期末）平面上有一條線段，長度為厘米，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，如果點(diǎn)E在線段上，且，則厘米．【答案】【分析】本題考查了線段的和與差，與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算等知識(shí)．熟練掌握線段的和與差，與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．由題意知，，，，由點(diǎn)E在線段上，可得，由，可求，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，∵點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)E在線段上，∴，又∵，∴，∴，故答案為：．例7．（2023·廣東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在線段上，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．(1)求線段的長；(2)若點(diǎn)在線段的延長線上，且滿足，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？請(qǐng)畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)(2)，詳見解析【分析】（1）利用線段的和差，線段的中點(diǎn)的性質(zhì)計(jì)算；（2）先畫出圖形，再利用線段的和差，線段的中點(diǎn)的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】（1）解：點(diǎn)在線段上，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，；（2）解：如圖所示，點(diǎn)在線段的延長線上，且滿足，又點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，，的長度．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握線段的和差，線段中點(diǎn)的性質(zhì)．模型2.線段的多中點(diǎn)模型條件：如圖，點(diǎn)M在線段的延長線上，且線段，第1次操作：分別取線段和的中點(diǎn)、﹔第2次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，﹔第3次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；…連續(xù)這樣操作n次，結(jié)論：．證明：∵、是和的中點(diǎn)，∴，，∴，∵、是和的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，是和的中點(diǎn)，∴，，∴，……發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，例1．（23-24七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）如圖，點(diǎn)P從距原點(diǎn)2個(gè)單位的A點(diǎn)處向原點(diǎn)方向跳動(dòng)，第一次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第二次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第三次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，如此不斷跳動(dòng)下去，則第12次跳動(dòng)后，該點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了數(shù)字的規(guī)律，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)題意，找出數(shù)字規(guī)律后與2計(jì)算距離即可．【詳解】∵A表示的數(shù)是2，原點(diǎn)表示的數(shù)是0，∴表示的數(shù)是，表示的數(shù)是，表示的數(shù)是，由此得到表示的數(shù)是，故第12次跳動(dòng)后，該點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為，故選C．例2．（23-24七年級(jí)上·河南濮陽·期末）已知：如圖，點(diǎn)M在線段的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；第二次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；第三次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，，連續(xù)這樣操作4次，則．【答案】1【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握兩點(diǎn)的距離計(jì)算的方法進(jìn)行計(jì)算及根據(jù)題意找出問題的規(guī)律進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，根據(jù)線段的差可得，，的長度表示，根據(jù)規(guī)律進(jìn)行推理即可得出，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，∵，∴，∵線段

和的中點(diǎn)，∴，同理：，∴，……依次類推，，∴，故答案為：4．例3．（23-24七年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，已知，點(diǎn)在線段的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；第二次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；第三次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；…連續(xù)這樣操作次，則．【答案】【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得出是解題關(guān)鍵．根據(jù)線段中點(diǎn)定義先求出的長度，再由的長度求出的長度，從而找到的規(guī)律，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵線段，線段和的中點(diǎn)，，∴，∵線段和的中點(diǎn)，；∴發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，∴．故答案為：．例4．（23-24七年級(jí)上·廣東·期中）學(xué)習(xí)了線段的中點(diǎn)之后，小明利用數(shù)學(xué)軟件做了n次取線段中點(diǎn)實(shí)驗(yàn)：如圖，設(shè)線段，第1次，取的中點(diǎn)；第2次，取的中點(diǎn)；第3次，取的中點(diǎn)，第4次，取的中點(diǎn)；…(1)請(qǐng)完成下列表格數(shù)據(jù)．次數(shù)

線段的長第1次第2次第3次第4次第5次①______②________………(2)小明對(duì)線段的表達(dá)式進(jìn)行了如下化簡：因?yàn)?，所以，兩式相加，得，所以．?qǐng)你參考小明的化簡方法，化簡的表達(dá)式．(3)類比猜想：_____，=_____，隨著取中點(diǎn)次數(shù)n的不斷增大，的長最終接近的值是____．【答案】(1)①；②(2)(3)【分析】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找到規(guī)律并會(huì)表現(xiàn)出來是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)表中的規(guī)律可求出，根據(jù)可得出答案；（2）參照小明對(duì)線段的表達(dá)式的化簡可得的表達(dá)式；（3）根據(jù)類比猜想可得答案．【詳解】（1）解：，；故答案為：，；（2）因?yàn)椋裕畠墒较嗉樱茫?；?），隨著取中點(diǎn)次數(shù)的不斷增大的長最終接近的值是．故答案為：．1．（23-24七年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C是直線l上的三個(gè)定點(diǎn)．點(diǎn)B是線段的三等分點(diǎn)，，若點(diǎn)D是直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是、的中點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，用特殊值法設(shè)點(diǎn)A為，C為，根據(jù)題意求出，設(shè)D為x，則為，為，表示出，從而得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A為，C為，點(diǎn)B是線段的三等分點(diǎn)，，為，，設(shè)D為x，則為，為，，,故選：C．2．（23-24七年級(jí)·上海閔行·期末）已知是線段上一點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，厘米，那么的長等于（

）A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米【答案】B【分析】本題主要考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，根據(jù)是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，求出，，得出（厘米）即可．【詳解】解：∵是線段上一點(diǎn)，∴厘米，∵是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，∴，，∴（厘米），故選：B．3．（2023·廣東河源·七年級(jí)月考）已知線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義可得，，即可求解．【詳解】解：線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，熟練掌握中點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東七年級(jí)期中）如圖，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，分別求得，，，再根據(jù)線段的和與差，計(jì)算即可判斷．【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且，，∴，，，∴，故選項(xiàng)A不符合題意；，故選項(xiàng)B符合題意；，故選項(xiàng)C不符合題意；，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離以及中點(diǎn)的定義，利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系，在不同情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解決問題．5．（2023·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，B，C是線段上任意兩點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，若，，則的長度是（）A． B． C． D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，得出，，根據(jù)，，得出，求出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵M(jìn)是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．6．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)、、在同一直線上，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列說法：，其中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義和線段的和差分別計(jì)算即可.【詳解】①∵H是的中點(diǎn)，∵分別是的中點(diǎn)，.

∴①正確.②由①知∴②錯(cuò)誤.③∴③正確.④

∴④正確.綜上，①③④正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的和差.根據(jù)線段的和差進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.7．（2023·內(nèi)蒙古·七年級(jí)?？计谀〢、、三點(diǎn)在同一條直線上，分別為的中點(diǎn)，且，則的長為（）A．30 B．30或10 C．50 D．50或10【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)圖形求解即可．【詳解】（1）當(dāng)C在線段延長線上時(shí)，如圖1，∵分別為的中點(diǎn)，∴，∴；（2）當(dāng)C在上時(shí)，如圖2，同理可知，∴，所以或50，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的定義，比較簡單，注意有兩種可能的情況；解答這類題目，應(yīng)考慮周全，避免漏掉其中一種情況．8．（2022秋·重慶江北·七年級(jí)校考期末）點(diǎn)A、B、C在直線l上，，，點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，cm．【答案】7或3【分析】因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)位置不明確，分點(diǎn)B在A、C之間和點(diǎn)A在B、C之間兩種情況討論，①根據(jù)中點(diǎn)定義先求出、的長，；②根據(jù)中點(diǎn)定義先求出、的長，．【詳解】解：如圖，∵，，點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，，①點(diǎn)B在A、C之間時(shí)，；②點(diǎn)A在B、C之間時(shí)，．∴的長等于7或3．故答案為：7或3．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩點(diǎn)間的距離，難點(diǎn)在正確考慮三點(diǎn)在直線上的不同位置，掌握線段的中點(diǎn)概念．9．（23-24七年級(jí)·上海寶山·期末）如圖，點(diǎn)、在線段上，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，且，那么線段的長是．【答案】【分析】本題考查了線段和差的計(jì)算以及線段中點(diǎn)的定義，比例的性質(zhì)，根據(jù)題意得，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，且，∴∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，∴∴，故答案為：．10．（22-23七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，線段，點(diǎn)分別是線段和線段的中點(diǎn)，則線段的長為．【答案】【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．設(shè)，，可得，，然后根據(jù)，求得，故求出，，再根據(jù)中點(diǎn)的定義計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)，，∴，∴，又∵，∴，解得：，∴，，∴，又∵點(diǎn)分別是線段和線段的中點(diǎn)，∴，，∴，故答案為．11．（23-24七年級(jí)上·山東青島·期末）已知線段，點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，則線段的長度是.【答案】4或8【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段的和差關(guān)系．分兩種情況：點(diǎn)C在線段上或點(diǎn)C在線段的延長線上，分別利用中點(diǎn)求出，的長度，然后利用線段的和與差求解即可．【詳解】解：∵M(jìn)是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，如圖，；當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長線上時(shí)，如圖，故答案為：4或8．12．（23-24七年級(jí)上·湖北咸寧·期末）如圖，點(diǎn)在線段上，分別是的中點(diǎn)，若，則．【答案】【分析】此題考查了線段中點(diǎn)與線段和差，利用線段中點(diǎn)和線段和差即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．【詳解】解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以，所以，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,所以，故答案為：．13．（23-24七年級(jí)上·湖北襄陽·期末）點(diǎn)C在直線上，，點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)，則線段的長為．【答案】3或10/10或3【分析】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算．分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在線段延長上時(shí)，再由線段的和差關(guān)系得到即可得到答案．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，∵，點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)，∴，∴；如圖，當(dāng)點(diǎn)C在線段延長上時(shí)，∵，點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)，∴，∴；終上所述，線段的長為或．故答案為：3或1014．（23-24七年級(jí)上·浙江湖州·期末）如圖，兩根木條的長度分別為和，在它們的中點(diǎn)處各打一個(gè)小孔M，N（木條的厚度，寬度以及小孔大小均忽略不計(jì)）．將這兩根木條的一端重合并放置在同一條直線上，則兩小孔間的距離．

【答案】2.5或11.5【分析】本題主要考查了線段的中點(diǎn)問題，注意兩端重合有2種情況，如圖，設(shè)短的木條為，長的木條為，然后分B、C兩點(diǎn)重合與A、C兩點(diǎn)重合兩種情況進(jìn)一步分析求解即可.【詳解】如圖，設(shè)短的木條為，長的木條為，則：，，

①當(dāng)B、C兩點(diǎn)重合時(shí)，

此時(shí)；②當(dāng)A、C兩點(diǎn)重合時(shí)，

此時(shí)；綜上所述，的長度為或，故答案為：2.5或11.5．15．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·期末）已知線段m、n（其中）．(1)尺規(guī)作圖：作線段，其中（保留作圖痕跡，不用寫作法）；(2)在（1）的條件下，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)1【分析】本題主要考查了線段的尺規(guī)作圖，線段的和差計(jì)算：（1）作射線，以A為圓心，以線段m的長為半徑畫弧交射線于B，再以B為圓心，線段n的長為半徑畫弧交射線于C，則線段即為所求；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示，作射線，以A為圓心，以線段m的長為半徑畫弧交射線于B，再以B為圓心，線段n的長為半徑畫弧交射線于C，則線段即為所求；（2）解：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)∴，∴．16．（2023·廣東·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，線段，C是線段上一點(diǎn)，，D、E分別是、的中點(diǎn)．(1)求線段的長；(2)求線段的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)線段的和差得到，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：是的中點(diǎn)，，，；（2），，是的中點(diǎn)，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．15．（2022秋·廣東·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)在同一直線上，分別是的中點(diǎn)．（1）若，求的長；（2）若，求的長；（3）若，求的長；（4）從（1）（2）（3）的結(jié)果中能得到什么結(jié)論？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）線段的長度等于線段的一半，與點(diǎn)的位置無關(guān).【分析】（1）先求解再利用中點(diǎn)的含義求解再利用線段的差可得答案；（2）先利用含的代數(shù)式再利用中點(diǎn)的含義，用含的代數(shù)式再利用線段的差可得答案；（3）先利用含的代數(shù)式再利用中點(diǎn)的含義，用含的代數(shù)式再利用線段的差可得答案；（4）由（1）（2）（3）總結(jié)出結(jié)論即可.【詳解】解：（1），分別是的中點(diǎn)，（2），分別是的中點(diǎn)，（3），分別是的中點(diǎn)，（4）由（1）（2）（3）的結(jié)果中可得：線段的長度等于線段的一半，與點(diǎn)的位置無關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的中點(diǎn)的含義，線段的和差關(guān)系，掌握利用線段的中點(diǎn)及線段的和差關(guān)系求解線段的長度是解題的關(guān)鍵.16．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)、、分別為線段上的點(diǎn)（在點(diǎn)左邊），且滿足．(1)如圖1，若，，為中點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖，設(shè)，根據(jù)，可得，得到，，由中點(diǎn)的定義得出，最后將數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可；（2）如圖，設(shè)，，由中點(diǎn)的定義得到，所以，從而得到，最后利用和可得到關(guān)于、等量關(guān)系式，從而問題得解．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∵為中點(diǎn)，∴，∴．∴的長為．（2）如圖，設(shè)，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．∴線段與之間的數(shù)量關(guān)系為．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差，中點(diǎn)的定義，運(yùn)用了方程的思想．根據(jù)題意得到等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋·湖南長沙·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知線段，點(diǎn)O在線段AB上，點(diǎn)C，D分別是，的中點(diǎn)．(1)______；______；(2)求線段的長度；(3)小南在反思過程中突發(fā)奇想：若點(diǎn)O在線段的延長線上，點(diǎn)C，D分別是，的中點(diǎn)，請(qǐng)幫小南畫出圖形分析，并求線段的長度．【答案】(1)2；2(2)6(3)6【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得，，根據(jù)線段的和差，可得答案；（3）點(diǎn)O在線段的延長線上，點(diǎn)C，D分別是，的中點(diǎn)，因此，，，根據(jù)線段的和差，可得答案，根據(jù)上面的分析可得出結(jié)論是成立的．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)C、D分別是、的中點(diǎn)∴；；故答案為：2，2；（2）∵點(diǎn)C、D分別是、的中點(diǎn)，∴，，∴；（3）仍然成立，如圖：理由：∵點(diǎn)C、D分別是、的中點(diǎn)，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解決本題的關(guān)鍵是利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差得出答案．19．（2023·福建泉州·七年級(jí)期末）已知A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．(1)點(diǎn)D在線段AB上，且AB=6，，求線段CD的長度；(2)若點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，且AE=2BE，當(dāng)時(shí)，線段CD與CE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)線段CD的長度為2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由見解析【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出BC，根據(jù)題意計(jì)算即可；（2）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上和點(diǎn)D在BA延長線上時(shí)，利用設(shè)元的方法，分別表示出AB以及CD、CE的長，即可得到CD與CE的數(shù)量關(guān)系．（1）解：如圖1，∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，AB=6，∴BC=AB=3，∵BD=BC，∴BD=1，∴CD=BC-BD=2；（2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，如圖2，設(shè)AD=2x，則BD=3x，∴AB=AD+BD=5x，∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC=AB=，∴CD=AC-AD=x，∵AE=2BE，∴AE=AB=x，CE=AE-AC=x，∴=，即5CD=3CE；當(dāng)點(diǎn)D在BA延長線上時(shí)，如圖3，設(shè)AD=2a，則BD=3a，∴AB=BD-AD=a，∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC=AB=，∴CD=AC+AD=a，∵AE=2BE，∴AE=AB=a，CE=AE-AC=a，∴=，即CD=15CE．綜上，5CD=3CE或CD=15CE．【點(diǎn)睛】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，正確理解線段中點(diǎn)的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解第2問注意分類討論．20.（2022·山東菏澤·七年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)C在線段上，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且．(1)若，求線段的長；(2)若，則________（直接寫出結(jié)果）；(3)若已點(diǎn)知C在線段的延長線上，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，，求的長．【答案】(1)11(2)(3)【分析】（1）根據(jù)M是的中點(diǎn)，可知根據(jù)，可知，根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法求解即可；（3）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)即可求解(1)解：M是的中點(diǎn)，，，，；(2)解：M是的中點(diǎn)，，，，；(3)如圖，M是的中點(diǎn)，，，，.【點(diǎn)睛】本題考查了線段和差的計(jì)算，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，等分點(diǎn)的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．21．（2023春·七年級(jí)期中）如圖已知線段、，(1)線段在線段上（點(diǎn)C、A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)）①若線段，，M、N分別為、的中點(diǎn)，求的長．②M、N分別為、的中點(diǎn)，求證：(2)線段在線段的延長線上，M、N分別為、的中點(diǎn)，②中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形，直接寫出結(jié)論【答案】(1)①10，②見解析(2)不成立，見解析【分析】（1）①利用求出的值，利用中點(diǎn)平分線段，得到，再利用，即可得解；②利用中點(diǎn)平分線段，得到，進(jìn)而得到，再利用，即可得證；（2）分點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，以及點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，三種情況分類討論，求解即可．【詳解】（1）解：①∵，，∴，∵M(jìn)、N分別為、的中點(diǎn)，∴，∴；②∵M(jìn)、N分別為、的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴；（2）不成立；∵M(jìn)、N分別為、的中點(diǎn)，∴，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖：或；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖：或；③當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖：或；綜上：或；故結(jié)論不成立．【點(diǎn)睛】本題考查線段之間的和與差．正確的識(shí)圖，理清線段之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系，