2024-2025學(xué)年湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線3x?y?2=0在y軸上的截距為(

)A.?2 B.2 C.23 D.2.已知直線l1:y=x?1繞點(diǎn)(0,?1)逆時針旋轉(zhuǎn)512π，得到直線l2，則l2不過第A.四 B.三 C.二 D.一3.已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計算器進(jìn)行模擬實驗產(chǎn)生1～5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1時，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺設(shè)備，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，代表3臺設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)如下：412?451?312?531?224?344?151?254?424?142435?414?135?432?123?233?314?232?353?442據(jù)此估計一年內(nèi)這3臺設(shè)備都不需要維修的概率為(

)A.0.4 B.0.45 C.0.5 D.0.554.已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為13，且P(A)=3P(B)，則P(B)=A.16 B.13 C.235.現(xiàn)有一段底面周長為12π厘米和高為15厘米的圓柱形水管，AB是圓柱的母線，兩只螞蟻分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從A點(diǎn)沿上底部圓弧順時針方向爬行2π厘米后再向下爬行5厘米到達(dá)P點(diǎn)，另一只從B沿下底部圓弧逆時針方向爬行2π厘米后再向上爬行4厘米爬行到達(dá)Q點(diǎn)，則此時線段PQ長(單位：厘米)為(

)

A.62 B.12 C.126.概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募?、乙兩人進(jìn)行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局.雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金.但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局.問這420枚金幣的賭金該如何分配?數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是(

)A.甲315枚，乙105枚 B.甲280枚，乙140枚

C.甲210枚，乙210枚 D.甲336枚，乙84枚7.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,52)，圓C:x2?10x+y2?5y+1214=0，點(diǎn)T(t,0)為x軸上一動點(diǎn).現(xiàn)由點(diǎn)PA.[158,278] B.[8.如圖所示，四面體ABCD的體積為V，點(diǎn)M為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段DM的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AF的中點(diǎn)，過點(diǎn)N的平面α與棱AB，AC，AD分別交于O，P，Q，設(shè)四面體AOPQ的體積為V′，則V′V的最小值為(

)

A.14 B.18 C.116二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.給出下列命題，其中是真命題的是(

)A.已知{a,b,c}是空間的一個基底，若m=2a+3c，則{a,b,m}也是空間的一個基底

B.平面α經(jīng)過三點(diǎn)A(2,1,0)，B(?1,3,1)，C(2,2,?1)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，則u+t=2

C.若a?b>010.下列命題正確的是(

)A.設(shè)A，B是兩個隨機(jī)事件，且P(A)=12，P(B)=13，若P(AB)=16，則A，B是相互獨(dú)立事件

B.若P(A)>0，P(B)>0，則事件A，B相互獨(dú)立與A，B互斥有可能同時成立

C.若三個事件A，B，C兩兩相互獨(dú)立，則滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

D.若事件A，B11.平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A，B的距離比值為一定值λ(λ≠1)的點(diǎn)P的軌跡是一個圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓，俗稱“阿氏圓”.已知平面內(nèi)點(diǎn)A(2,0)，B(6,0)，動點(diǎn)P滿足|PA||PB|=13，記點(diǎn)P的軌跡為τA.點(diǎn)P的軌跡τ的方程是x2+y2?3x=0

B.過點(diǎn)N(1,1)的直線被點(diǎn)P的軌跡τ所截得的弦的長度的最小值是1

C.直線2x?y+2=0與點(diǎn)P的軌跡τ相離

D.已知點(diǎn)E(32,0)，點(diǎn)M是直線l：2x?23y+7=0上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.同時拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為

．13.已知曲線y=1+4?x2與直線y=x+b有兩個相異的交點(diǎn)，那么實數(shù)b的取值范圍是14.在空間直角坐標(biāo)系中，O(0,0,0)，A(0,a,3)，B(3,0,a)，C(a,3,0)，D(3,3,32)，P為△ABC所確定的平面內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)|PO?PD|的最大值是以a為自變量的函數(shù)，記作f(a).若0<a<3，則f(a)的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)“體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”.為備戰(zhàn)2025年杭州舉辦的國際射聯(lián)射擊世界杯，某射擊訓(xùn)練隊制訂了如下考核方案：每一次射擊中10環(huán)、中8環(huán)或9環(huán)、中6環(huán)或7環(huán)、其他情況，分別評定為A，B，C，D四個等級，各等級依次獎勵6分、4分、2分、0分.假設(shè)評定為等級A，B，C的概率分別是12，14，(1)若某射擊選手射擊一次，求其得分低于4分的概率;(2)若某射擊選手射擊兩次，且兩次射擊互不影響，求這兩次射擊得分之和為8分的概率．16.(本小題12分)已知△ABC的頂點(diǎn)A(4,2)，邊AB上的中線CD所在直線方程為7x+2y?5=0，邊AC上的高線BE所在直線方程為x+y?4=0．(1)求邊BC所在直線的方程;(2)求△BCD的面積．17.(本小題12分)

如圖所示，已知斜三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=a，AC=b，AA1=c，在A(1)求證：MN，a，c共面;(2)若|a|=|b|=|c|=2，AB1=3且∠BAC=∠BB1C=18.(本小題12分)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(?1,0)，B(?7,0)，平面內(nèi)動點(diǎn)P滿足|PB|=2|PA|．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)點(diǎn)P軌跡記為曲線C，若曲線C與x軸的交點(diǎn)為M，N兩點(diǎn)，Q為直線l:x=17上的動點(diǎn)，直線MQ，NQ與曲線C的另一個交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求|EF|的最小值．19.(本小題12分)對于三維向量ak=(xk,yk,zk)(xk,y(1)若a0=(2,3,1)，求<(2)證明：對于任意a0，必存在k∈N?，使得a0經(jīng)過k(3)已知a1=(p,2,q)(q≥p)，||a1||=2024，將a1再經(jīng)過m次F變換后，參考答案1.A

2.D

3.C

4.D

5.B

6.A

7.D

8.C

9.AB

10.AD

11.ACD

12.53613.3,214.略

15.解：(1)設(shè)事件A，B，C，D分別表示“被評定為等級A，B，C，D”.由題意得，事件A，B，C，D兩兩互斥，所以PD=1?又因為C∪D=得分低于4分，所以PC∪D=P因此得分低于4分的概率為14(2)設(shè)事件Ai，Bi，Ci，Di表示“第i

次被評定為等級A，B，C，D”，則“兩次射擊得分之和為8分”為事件B1B2∪A1CPBPA所以兩次射擊得分之和為8分的概率P=P[(B1B

16.解：(1)因為AC⊥BE，所以設(shè)直線AC的方程為：x?y+m=0，

將A(4,2)代入得m=?2，所以直線AC的方程為：x?y?2=0，

聯(lián)立AC，CD所在直線方程：x?y?2=07x+2y?5=0解得C(1,?1)，

設(shè)B(x0,y0)，因為D為AB的中點(diǎn)，所以D(4+x02,2+y02)，

因為B(x0,y0)在直線BE上，D在CD上，

所以x0+y0?4=0，7×4+x02+2×2+y02?5=0，17.解：(1)證明：因為AM=kAC1=kb+kc，

AN=AB+BN=a+kBC=a+k(?a+b)=(1?k)a+kb，

所以MN=AN?AM=(1?k)a+kb?kb?kc=(1?k)a?kc．

由共面向量定理可知，MN，a，c共面．

(2)取BC的中點(diǎn)為O，在△AOB1中，AO=B1O=3，AB1=3，

由余弦定理可得cos∠AOB1=(3)2+(3)2?322×3×3=?12，所以∠AOB1=2π3，

依題意△ABC，△B1BC均為正三角形，所以BC⊥AO，BC⊥B1O，

又B1O∩AO=O，B1O?平面B1AO，AO?平面B1AO，所以BC⊥平面AOB1，

因為BC?18.解：(1)設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)P(x,y)，因為動點(diǎn)P滿足|PB|=2|PA|，且A(?1,0)，B(?7,0)，

所以(x+7)2+y2=2(x+1)2+y2，化簡可得，x2+y2?2x?15=0，即(x?1)2+y2=16，

所以點(diǎn)P的軌跡方程為(x?1)2+y2=16．

(2)曲線C:(x?1)2+y2=16中，令y=0，可得(x?1)2=16，

解得x=?3或x=5，可知M(?3,0)，N(5,0)，

當(dāng)直線EF為斜率為0時，|EK|+|FK|即為直徑，長度為8，

當(dāng)直線EF為斜率不為0時，設(shè)EF的直線方程為x=ny+t，E(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，

聯(lián)立x=ny+t(x?1)2+y2=16

消去x可得：(ny+t?1)2+y2=16，

化簡可得(n2+1)y2+2(t?1)ny+(t+3)(t?5)=0，

由韋達(dá)定理可得y1+y2=2(1?t)nn2+1y1y2=(t+3)(t?5)n2+1，

因為E(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，M(?3,0)，N(5,0)，

所以EM，F(xiàn)N的斜率為kEM=y1x1+3，kFN=y2x2?5，

又點(diǎn)E(x1,y1)19.解：(1)因為a0=(2,3,1)

，a1=(1,2,1)

所以?a2(2)設(shè)Mk=假設(shè)對?k∈N,ak+1≠0

，則xk+1所以Mk+1>Mk+2

因為Mk∈所以M1≥所以M2+M1≤?1

綜上，對于任意a0

，經(jīng)過若干次F

變換后，必存在K∈N?

，使(3)設(shè)a0=x0,所以有x0≤y0≤當(dāng)x0≥y0≥z0

又a1=2024

，可得p=1010,q=1012當(dāng)x0≤y0≤z0

設(shè)ak

的三個分量為2