湖北省荊州市荊州中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

荊州中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（全卷滿分150分考試用時120分鐘）一?單項選擇題1.設(shè)集合則（）A.B.C.D.2.下列說法不正確的是（）A.命題，則命題的否定：B.若集合中只有一個元素，則C.若，則D.已知集合，且，滿足條件的集合的個數(shù)為83.下列比較大小的式子中，正確的有（）個①；②；③A.0B.1C.2D.34.冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則的值（）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.無法判斷5.在下圖中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像只可能是（）A.B.C.D.6.為響應(yīng)國家退耕還林的號召，某地的耕地面積在最近50年內(nèi)減少了，如果按照此規(guī)律，設(shè)2024年的耕地面積為m，則2029年的耕地面積為（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的解集為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A.B.關(guān)于的方程有13個不同的解C.在上單調(diào)遞增D.當(dāng)時，恒成立二?多項選擇題9.下列說法正確的是（）A.若的定義域為，則的定義域為B.函數(shù)且的圖象恒過定點C.函數(shù)的最小值為6D.“”是“關(guān)于的方程有一正根和一負根”的充要條件10.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德?牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：.已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.的值域是D.的值域是11.已知函數(shù)的定義域均為，且，若的圖象關(guān)于直線對稱，則以下說法正確的是（）A.為奇函數(shù)B.C.D.三?填空題12.已知，計算：__________.13.已知定義在上的函數(shù)滿足對，都有，若，則不等式的解集為__________.14.已知函數(shù)定義域為，且滿足，當(dāng)時，，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.四?解答題15.已知函數(shù)的定義域為（1）求實數(shù)的取值集合；（2）設(shè)集合，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.16.已知函數(shù)（1）解關(guān)于的不等式；（2）若方程有兩個正實數(shù)根，求的最小值.17.荊州中學(xué)坐落于歷史文化名城荊州，發(fā)軔于東漢馬融絳帳講學(xué)，歷經(jīng)明清龍山書院?貢院，弦歌不輟，薪火相傳，文脈不絕.其近代教育始于1903年清政府創(chuàng)辦的荊州府中學(xué)堂，臨近121周年校慶，學(xué)校計劃對校史館進行修繕.現(xiàn)要在校史館閣樓屋頂上開一窗戶，設(shè)其一邊長（單位：）為.（1）已知閣樓屋頂為高，底邊長的銳角三角形，若開一個內(nèi)接矩形窗戶（陰影部分）（如圖所示）.（i）要使窗戶面積不小于2平方米，求x的取值范圍；（ii）規(guī)定：公共室內(nèi)場所的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于，若閣樓的窗戶面積與地板面積的總和為16.5平方米，則當(dāng)邊長x為多少米時窗戶面積最??？最小值是多少平方米？（2）一般認為，在公共室內(nèi)場所的窗戶面積必須小于地板面積的規(guī)定下，窗戶面積與地板面積的比值越大，采光效果越好，若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，采光效果是變好了還是變壞了？試從數(shù)學(xué)角度說明理由.18.已知函數(shù).（1）若，求在區(qū)間上的值域；（2）若方程有實根，求實數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)m的取值范圍.19.若存在常數(shù)使得函數(shù)與在給定區(qū)間上的任意實數(shù)都有，則稱是與的隔離直線函數(shù).已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，與是否存在隔離直線函數(shù)？若存在，請求出隔離直線函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由.參考答案題號1234567891011答案CBCABDDCADACDBCD三?填空題12.13.14.四?解答題15.（1）由題意得不等式的解集為：當(dāng)時，恒成立，滿足題意；當(dāng)時，則由解集為可得，解得：，綜上可得：；（2）由是的必要不充分條件可得：是的真子集，當(dāng)時，滿足題意，此時有，解得：；當(dāng)時，則，解得，綜上可得的取值范圍是.16.（1）不等式即為，當(dāng)，即時，不等式的解集為，當(dāng)，即時，不等式的解集為，當(dāng)，即時，不等式的解集為，綜上可知：當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為當(dāng)時，不等式的解集為.（2）方程有兩個正實數(shù)根，即有兩個正實數(shù)根故，解得，所以令，則，故當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號，故的最小值為6.17.（1）（i）設(shè)矩形的另一邊長為，由三角形相似得且，所以，又矩形窗戶面積，解得，故的取值范圍為.（ii）設(shè)地板面積為，解不等式組，所以，即，解得，故窗戶面積最小為，令，可得，解得或.故當(dāng)為米或米時，窗戶面積最小，為平方米.（2）設(shè)分別表示原來窗戶面積和地板面積，表示窗戶和地板所增加的面積（面積單位都相同），由題意得：，則.因為，所以，即，所以窗戶和地板同時增加相等的面積，采光條件變好了.18.（1）當(dāng)時，，令，因為，所以，所以可得一個二次函數(shù)，所以當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，有最大值，所以.所以時，在區(qū)間上的值域為.（2）由（1）知當(dāng)令，則，即有實數(shù)根，此時實數(shù)根大于零，所以可得，解得：.所以方程有實根，實數(shù)的取值范圍為.（3）由題意得，若對任意的，總存在，使得，可得，由函數(shù)可得當(dāng)時單調(diào)遞減，當(dāng)時單調(diào)遞增，函數(shù)為增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)定義可得函數(shù)在時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最小值，由（2）知當(dāng)令，所以在上恒成立，即在上恒成立，因為函數(shù)在時均單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，所以，所以.19.（1）任取，不妨設(shè)，則，由，則，故，即，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，與存在隔離直線函數(shù)；令，即