《集合的概念》知識(shí)清單

《集合的概念》知識(shí)清單一、集合的定義1、什么是集合呢簡(jiǎn)單來說，集合就是把一些確定的、不同的對(duì)象看成一個(gè)整體。就好比你去超市購物，把蘋果、香蕉、橘子這些不同的水果看成一個(gè)整體，這個(gè)整體就可以是一個(gè)集合。這里的蘋果、香蕉、橘子就是這個(gè)集合里的元素。這些對(duì)象得是確定的哦。比如說，“身材高的人”就不能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)槎喔咚闵聿母卟]有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)；而“身高超過180厘米的人”就可以構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)檫@個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是確定的。2、元素與集合的關(guān)系如果一個(gè)元素在集合里，我們就說這個(gè)元素屬于這個(gè)集合，用符號(hào)“∈”（這個(gè)符號(hào)就像一個(gè)小房子，元素住在集合這個(gè)小房子里）來表示。比如，集合A＝｛1,2,3}，那么1∈A，就表示1這個(gè)元素屬于集合A。如果一個(gè)元素不在集合里，就說這個(gè)元素不屬于這個(gè)集合，用符號(hào)“?”表示。要是有集合B=｛4,5,6}，那3?B，就是說3這個(gè)元素不屬于集合B。3、集合中元素的特性確定性：剛才已經(jīng)說過啦，集合里的元素得是確定的。就像你去參加一場(chǎng)有明確規(guī)則的比賽，規(guī)則確定了誰能參加，誰不能參加，這就和集合元素的確定性類似?；ギ愋裕杭侠锏脑夭荒苤貜?fù)。比如說，｛1,1,2}就不符合集合的要求，應(yīng)該寫成{1,2}。這就好比你去選籃球隊(duì)員，不能選兩個(gè)一模一樣的人（這里假設(shè)是按人本身而不是位置等來區(qū)分）。無序性：集合里的元素是沒有順序的。｛1,2,3}和{3,2,1}是同一個(gè)集合。這就像你把一堆球放在盒子里，不管你怎么放，這些球組成的這個(gè)整體是不變的。二、集合的表示方法1、列舉法就是把集合里的元素一個(gè)一個(gè)地列出來，寫在大括號(hào)里。比如，集合C＝｛紅，黃，藍(lán)}，這里就把顏色這個(gè)集合里的元素都列出來了。再比如，集合D=｛2,4,6,8,10}，這種有限個(gè)元素的集合用列舉法很方便。不過呢，如果集合里的元素有無限個(gè)，而且有規(guī)律，也可以用列舉法。比如，自然數(shù)集N＝｛0,1,2,3,…｝，這里用省略號(hào)表示后面按照規(guī)律無限延續(xù)下去的元素。2、描述法這種方法是用確定的條件來表示集合。一般形式是{元素|元素滿足的條件}。比如說，集合E＝｛x|x是大于5的整數(shù)}，這里x是代表集合里的元素，“x是大于5的整數(shù)”就是元素要滿足的條件。又比如，集合F＝｛y|y＝2x,x∈N}，這個(gè)集合表示的是所有x取自然數(shù)時(shí)，y＝2x的這些y值組成的集合。這就像你要找一群符合某種特征的小伙伴，你說出這個(gè)特征，符合這個(gè)特征的小伙伴就組成了這個(gè)集合。3、Venn圖（韋恩圖）表示法Venn圖就是用一個(gè)封閉的曲線（通常是圓形或者橢圓形）來表示集合。比如說，有集合A和集合B，我們可以畫兩個(gè)相交或者不相交的圓來表示它們之間的關(guān)系。如果集合A＝｛1,2,3}，集合B＝｛3,4,5}，我們畫兩個(gè)相交的圓，相交的部分就寫上3，表示3這個(gè)元素既屬于集合A又屬于集合B，而1、2寫在集合A不相交的部分，4、5寫在集合B不相交的部分。這就像給每個(gè)集合都畫了一個(gè)小領(lǐng)地，元素就在各自的領(lǐng)地里或者共享的領(lǐng)地里。三、常見的數(shù)集及其符號(hào)1、自然數(shù)集自然數(shù)集用N表示，包括0,1,2,3,…這些數(shù)。就像我們數(shù)東西的時(shí)候，從0開始數(shù)（有些地方從1開始數(shù)，不過在數(shù)學(xué)里，自然數(shù)集包含0哦），這些數(shù)是最基礎(chǔ)的數(shù)字，就像蓋房子的磚塊一樣。2、正整數(shù)集正整數(shù)集可以用N或者N＋表示，就是1,2,3,…這些大于0的整數(shù)。想象你在數(shù)有多少個(gè)蘋果，從1個(gè)開始數(shù)，這些數(shù)就是正整數(shù)。3、整數(shù)集整數(shù)集用Z表示，它包括正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)，就像…，3,－2,－1,0,1,2,3,…。這就像把正整數(shù)集的范圍擴(kuò)大了，加上了0和它的相反方向的數(shù)，就像在數(shù)軸上向兩邊延伸一樣。4、有理數(shù)集有理數(shù)集用Q表示。有理數(shù)是可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，也就是分?jǐn)?shù)形式，比如1/2，－3/4等，當(dāng)然整數(shù)也是有理數(shù)，因?yàn)檎麛?shù)可以寫成它本身除以1的形式，像3＝3/1。這就像一個(gè)大家庭，里面不僅有像整數(shù)這樣的“純數(shù)字”成員，還有可以寫成比例形式的成員。5、實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集用R表示，它包括有理數(shù)和無理數(shù)。無理數(shù)就是不能寫成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，像根號(hào)2、π這些。實(shí)數(shù)就像是整個(gè)數(shù)字世界里的所有居民，有理數(shù)和無理數(shù)共同組成了這個(gè)大的實(shí)數(shù)集。四、集合的分類1、有限集有限集就是集合里的元素個(gè)數(shù)是有限個(gè)的。比如說集合G＝｛a,b,c}，這個(gè)集合里就只有3個(gè)元素，這就像一個(gè)小盒子里裝了有限數(shù)量的糖果。2、無限集無限集就是集合里的元素個(gè)數(shù)是無限個(gè)的。像自然數(shù)集N就是無限集，因?yàn)樽匀粩?shù)是數(shù)不完的，就像一條沒有盡頭的路，元素一個(gè)接一個(gè)地?zé)o限延伸下去。五、關(guān)于集合概念的一些習(xí)題1、判斷下列對(duì)象能否構(gòu)成集合：（1）接近0的數(shù)。答案：不能。因?yàn)椤敖咏?”沒有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，不滿足集合元素的確定性。（2）小于10的正整數(shù)。答案：能。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)很明確，這些數(shù)是1,2,3,4,5,6,7,8,9，滿足集合元素的確定性、互異性和無序性。2、用列舉法表示下列集合：（1）方程x25x＋6＝0的解構(gòu)成的集合。首先解方程x25x＋6＝0，分解因式得(x2)（x3)＝0，解得x＝2或者x＝3。所以這個(gè)集合用列舉法表示為{2,3}。（2）大于1且小于3的整數(shù)構(gòu)成的集合。這個(gè)集合里的元素是0,1,2，所以用列舉法表示為{0,1,2}。3、用描述法表示下列集合：（1）所有偶數(shù)構(gòu)成的集合。答案：｛x|x＝2n,n∈Z}，這里x表示集合里的元素，2n表示偶數(shù)的形式，n取整數(shù)。（2）平面直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合。答案：｛（x,y)｜x>0,y>0}，這里(x,y)表示平面直角坐標(biāo)系里的點(diǎn)，x>0且y>0表示第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征。4、已知集合A=｛x|x2ax＋a1＝0}，若3∈A，求a的值。因?yàn)?∈A，所以把x＝3代入方程x2ax＋a1＝0中，得到323a+a1＝0?；?jiǎn)這個(gè)方程得92a1＝0，即82a＝0。解得a＝4。5、設(shè)集合A＝｛a＋2,（a＋1)2,a2+3a＋3}，若1∈A，求實(shí)數(shù)a的值。（1）當(dāng)a＋2＝1時(shí)，解得a=－1。此時(shí)(a＋1)2＝0，a2+3a＋3＝13＋3＝1，不滿足集合元素的互異性，舍去。（2）當(dāng)(a＋1)2＝1時(shí)，解得a＝0或a=－2。當(dāng)a＝0時(shí)，a＋2＝2，a2+3a＋3＝3，滿足集合元素的特性。當(dāng)a=－2時(shí)，a＋2＝0，a2+3a＋3＝46＋3＝1，不滿足集合元素的互異性，舍去。（3）當(dāng)a2+3a＋3＝1時(shí)，即a2+3a＋2＝0，分解因式得(a＋1)（a＋2)＝0，解得a=－1或a=－2，前面已經(jīng)討論過這兩種情況不滿足要求，舍去。綜上，a＝0。6、已知集合A=｛x|ax2+2x＋a＝0,a∈R}，若集合A有且僅有2個(gè)子集，求a的值。因?yàn)榧螦有且僅有2個(gè)子集，根據(jù)集合的性質(zhì)，一個(gè)集合有n個(gè)元素，則它的子集個(gè)數(shù)為2?個(gè)。所以當(dāng)集合A有2個(gè)子集時(shí)，集合A中只有1個(gè)元素。（1）當(dāng)a＝0時(shí)，方程化為2x＝0，解得x＝0，此時(shí)集合A=｛0}，滿足要求。（2）當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2+2x＋a＝0是一元二次方程，因?yàn)榧螦只有1個(gè)元素，所以判別式Δ=224a2＝0。即44