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文檔簡(jiǎn)介
2024年高考數(shù)學(xué)考前訓(xùn)練題
1.在直三棱柱A8C?A8C中,NA8C=90°,AB=BC=AA\=\.
(1)求異面直線〃I。與AC所成的角的大?。?/p>
(2)求直線4c與平面A8C所成角.
【分析】(1)由用可知NACB即為異面直線BiCi與4C所成的角,在RtAABC
中即可求出NAC8的大小.
(2)由AMI平面AM??芍礊橛芯€AiC與平面ARC所成角,在Rt/\,4iAC
中求出cosZAiCA的值即可.
【解答】解:(1),:B\C\〃BC,
.??NAC8即為異面直線B\C\與AC所成的角,
VZABC=90°,AB=BC=\,
???NAC8=45°,
即異面直線8iCi與AC所成的角的大小為45°.
(2),?,直三棱柱/WC-4BC,
,AiA_L平面A3CO,
AZA1CA即為直線AiC與平面ABC所成角,
在Rt^AiAC中,A\A=\,AC=\[2,:.A\C=y]ArA2+AC2=V3,
cosZ4iCA=點(diǎn)=當(dāng),
V6
/.ZAiCA=arccos-,
3
V6
即直線AC與平面48c所成的角為arccosy.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了異面直線的夾角,考查了直線與平面所成角,是中檔題.
2.如圖,在四棱錐P-ABC。中,AB//CD,且NB4P=NCDP=90°.
(1)證明:平面%8_1_平面力。:
(2)若用=PD=A4=OC=1,NA”O(jiān)=90',求二面角P?AC-。的大小.
【分析】(I)利用線面垂直的判定定理證明平面外根據(jù)面面垂直的判定定理證
明即可;
(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系,求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)
法求出平面%C的法向量,由向量的夾角公式求解即可.
【解答】(1)證明:由己知N84P=NCOP=90°,
所以A8_LAP,CDLPD,
由于A8〃C。,故AB_PD,
又APCPD=P.AP,PDu平面外。,
從而AB_L平面PAD,
又48u平面B4B,
所以平面力B_L平面朋D;
(2)解:在平面"。內(nèi)作P”_L4。,垂足為“,
由(1)可知,A8_L平而以。,PFu平面雨Q,
所以夕產(chǎn)_1_八“,又人"n4Q=A,AB,人。u平面八8c。,
所以PFJ_平面八ACD,
以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,
因?yàn)橄?PO=A8=OC=1,NAPO=90°,
則力。=y/PA2+PD2=V2,
所以尸(0,0,0),&孝,0,0),P(0,0,孝),C(一孝,1,0),0(一孝,0,0),
故日=(孝,0,一多,CA=(V2,-1,0),DA=(V2,0,0),
設(shè)平面PAC的法向量為]=(%,y,z),
則”『,BP{TX-TZ=0,
-n=0IV2x—y=0
令x=l,則丁=或,z=I,
所以71=(1,V2,1),
又平面4BCD的一個(gè)法向量為薪=(0,0,1),
一、日?南11
所以cosVn,m>=二J-“二=
|n||7n|v14-2+lxl2
因?yàn)槎娼?-AC-O為銳二面角,
所以二面角P-4C-Q的大小為二.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用,涉及了線面垂直的判定定理和面面垂直的判
定定理的應(yīng)用,在求解有關(guān)空間角問(wèn)題的時(shí)候,一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系,將
空間角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向最問(wèn)題進(jìn)行研究,屬于中檔題.
3.如圖,四棱錐4-4CDE是由直角△A8C沿其中位線。石翻折而成,且NA8C=*PC
=2*,設(shè)48=1,AC=3.
(I)若NA£B=m,求二面角4-3。-P的余弦值;
(II)若二面角C-AD-E的大小為、,求三棱錐P-A'ED的體積.
6
【分析】(I)因?yàn)镹A叢二條則△AE4為等邊三角形,取分別C。的中點(diǎn)。,F(xiàn),
連接0",以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以08,OF,OA'為x軸,y軸,z軸,再求兩平面
的法向最,再用向量法求二面角的大小.
(II)先作出二面角C-HD-E的補(bǔ)補(bǔ)角,即二面角A-A'O-E的大小,然后多次利
用直角三角形的邊的關(guān)系求出點(diǎn)4'到面BCOE的距離,再求P到面8cOE的距離.
【解答】解:(I)因?yàn)镹A^=!則”為等邊三角形,
取分別8E,CQ的中點(diǎn)。,F(xiàn),連接。凡
以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以08,OF,0A'為x軸,y軸,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,如圖:
則竭,0,0),C&2vL0),4(0,0,空),0(-卜V2,0),
由題意可知,OP=0C+OAr,所以,P(金,—?第),
所以8/)=(-2,V2/0),A'B=?0,—字),BP=(-看,—^―,第)'
設(shè)平面A'B。的一個(gè)法向量為五=Qi,%,zj,
BD-=U1+"^丫1+0=0.
所以T:,即{12,不妨令%=逐,所以%=(2份,
4B,元=0+0-寧Z]=0
M,2&),
設(shè)平面PBD的法向量點(diǎn)=(%2,丫2,Z2),
(^n-c+^2y2+0=0T
所以.?]二(),即《2,不妨令力=8,所以九2二(2灰,百,
(8P?幾=0(_然+竽丫2+年Z2=0
-2V2),
斫以…V:">_EE_2v,r6x2v^6+/3x^+2/2x(-2s/2)_19
所以COSj”一時(shí)-(限⑥2+(、③2+Q下)2F
19
所以二面角A:皿-的余弦值還;
(II)過(guò)點(diǎn)£作£M_LA'。于M,
再過(guò)點(diǎn)"在平面AA'。內(nèi)作A'。的垂線MN交A4'于N,連接NE.
NNME為二面角E?A'。-A的平面角,
???二面角。?A'。-E的大小為三,:./NME=£
66
在RlAABC中,由4B=1,AC=3,所以8。=26,DE=V2,A'E=AE=
由折又疊知OEJ_A4'E,所以DELEN,
由作輔助線過(guò)程程知4'力_LiffiMNE,所以NE_L4'D,又A'DQDE=D,
所以EN_LA'DE,所以EN_LA'E,
O11萬(wàn)
由RtAVED,容易求得A'D=5,又一4D?EM=-4E?D£所以EM=浮,
2223
在Rt&WNE中,又NNME屋,所以七2?x字=等,
在RtM£N中,由勾股定理得A'2等'所以sf'E=謐,"的£=焉'
所以s出/AE&=2x簿x=考普'
6\/6
所以4'到面8CDE的距離為一,,PC=2P
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