1.5 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊第一章直線與圓1.5兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解方程組的解的個(gè)數(shù)與兩直線平行、相交或重合的對應(yīng)關(guān)系.2.會(huì)用解方程組的方法求兩條相交直線交點(diǎn)的坐標(biāo),提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).3.會(huì)利用直線系方程解決相關(guān)問題,提升邏輯推理素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)【問題思考】(1)二元一次方程組的解法有哪些?提示:代入消元法、加減消元法.提示:兩直線的公共部分,即交點(diǎn).(3)若兩直線的方程組成的二元一次方程組有解,則兩直線是否相交于一點(diǎn)?提示:不一定.兩條直線是否相交,取決于聯(lián)立兩直線方程所得的方程組是否有唯一解.若方程組有無窮多組解,則兩直線重合.2.一般地,對于兩條不重合的直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,可以用直線的斜率(斜率存在時(shí))或法向量先定性判斷兩條直線是否相交,若相交,則依據(jù)直線方程的概念可知,兩條直線l1,l2交點(diǎn)的坐標(biāo)就是兩個(gè)方程的公共解

.3.已知直線3x+5y+m=0與直線x-y+1=0的交點(diǎn)在x軸上,則m=

.

解析:直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn)為(-1,0),則點(diǎn)(-1,0)在直線3x+5y+m=0上,于是3×(-1)+5×0+m=0,解得m=3.答案:3提示:A1B2-A2B1≠0.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若兩條直線的方程組成的方程組無解,則這兩條直線平行.(

)(2)直線x=2與直線y=3沒有交點(diǎn).(

)(3)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是兩條直線的方程組成的方程組的解.(

)(4)過直線l1:x-y+1=0與直線l2:3x+y-7=0的交點(diǎn)的所有直線可寫為參數(shù)形式x-y+1+λ(3x+y-7)=0(其中λ∈R).(

)√×√×合作探究釋疑解惑探究一兩直線的位置關(guān)系及交點(diǎn)坐標(biāo)【例1】

判斷下列各組直線的位置關(guān)系,若相交,求出交點(diǎn)坐標(biāo).(1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;(2)l1:x+3y-1=0,l2:2x+6y-2=0;(3)l1:6x-2y+3=0,l2:3x-y+2=0.由方程組解的個(gè)數(shù)判斷兩直線的位置關(guān)系根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)判斷兩直線的位置關(guān)系,在解方程時(shí),要先觀察方程系數(shù).若方程組有唯一解,則兩直線相交;若方程組無解,則兩直線平行;若方程組有無數(shù)多個(gè)解,則兩直線重合.也可根據(jù)直線的斜率和截距的關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.【變式訓(xùn)練1】

(1)已知兩條直線2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交點(diǎn)在直線y=-x上,那么k的值是(

).A.-4 B.3C.3或-4 D.±4(2)已知直線5x+4y=2a+1與直線2x+3y=a的交點(diǎn)位于第四象限,則a的取值范圍是

.

探究二過兩直線交點(diǎn)的直線方程【例2】

求過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線3x+y-1=0平行的直線方程.解法二:由題意可設(shè)所求直線方程為(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0(λ∈R),即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0.(*)若將本例中的“平行”改為“垂直”,如何求解?解:設(shè)所求直線方程為(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0,由于所求直線與直線3x+y-1=0垂直,因此3(2+λ)+(λ-3)×1=0,解得λ=-,所以所求直線方程為5x-15y-18=0.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是聯(lián)立兩直線方程所得方程組的解.本例可采用常規(guī)方法,先通過方程組求出兩直線交點(diǎn),再根據(jù)平行直線求出斜率,由點(diǎn)斜式求解;也可以采用過直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直線A2x+B2y+C2=0,其中λ∈R),直接設(shè)出過兩直線交點(diǎn)的方程,再根據(jù)平行條件求出待定系數(shù).【變式訓(xùn)練2】

求經(jīng)過兩條直線l1:2x+y-8=0和l2:x-2y+1=0的交點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為

的直線的方程.即(λ-8)2=|(1-2λ)(2+λ)|,解得λ=3或λ=-22.當(dāng)λ=3時(shí),所求直線的方程為x-y-1=0;當(dāng)λ=-22時(shí),所求直線的方程為4x-9y+6=0.故所求直線的方程是x-y-1=0或4x-9y+6=0.探究三直線過定點(diǎn)問題【例3】

求證:無論k取任何實(shí)數(shù),直線(k+1)x-(k-1)y-2k=0必過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn).證法一:由k的任意性,取k=0,得x+y=0,①取k=1,得x-1=0.②由①②,得直線x+y=0與直線x-1=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1).將點(diǎn)(1,-1)的坐標(biāo)代入原直線方程,可知(k+1)×1-(k-1)×(-1)-2k=0恒成立,所以直線(k+1)x-(k-1)y-2k=0必過定點(diǎn),定點(diǎn)為(1,-1).此為直線方程的點(diǎn)斜式,該直線一定過點(diǎn)(1,-1);當(dāng)k=1時(shí),直線方程為x=1,也必過定點(diǎn)(1,-1).綜上,該直線必過定點(diǎn),定點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1).證法三:直線方程可整理為x+y+k(x-y-2)=0,則直線(k+1)x-(k-1)y-2k=0過直線l1:x+y=0與直線l2:x-y-2=0的交點(diǎn).所以直線恒過定點(diǎn)(1,-1).直線過定點(diǎn)問題是直線方程中常見的問題,主要根據(jù)參數(shù)的任意性列方程組求解,常見方法有:(1)特值法:對直線系中的參數(shù)賦值,可得直線系中的不同直線,聯(lián)立其中兩個(gè)直線方程便可求出其交點(diǎn)坐標(biāo),該坐標(biāo)即為所求定點(diǎn)的坐標(biāo).(用于客觀題)(2)恒等式法:該類問題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的恒等式問題,根據(jù)恒等式的性質(zhì),由參數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)均為零,就可以求得該定點(diǎn)坐標(biāo).(3)直線系方程法.【變式訓(xùn)練3】

求證:不論m取何值,直線(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn),并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).證明:原方程可整理為(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.解得x=2,y=-3.所以不論m取何值,所給的直線都經(jīng)過定點(diǎn)(2,-3).探究四對稱問題【例4】

△ABC的一個(gè)內(nèi)角的平分線所在直線的方程是y=2x,若A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-4,2),(3,1),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

.

解析:分別把A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=2x知,點(diǎn)A,B都不在直線y=2x上,所以直線y=2x是∠ACB的平分線所在的直線.設(shè)點(diǎn)A(-4,2)關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)為A'(a,b),即A'(4,-2).∵直線y=2x是∠ACB的平分線所在的直線,∴點(diǎn)A'在直線BC上,答案:(2,4)有關(guān)對稱問題的兩種主要類型(1)中心對稱:①點(diǎn)P(x,y)關(guān)于O(a,b)的對稱點(diǎn)P'(x',y')滿足②直線關(guān)于點(diǎn)的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題來解決.(2)軸對稱:①若點(diǎn)A(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0(AB≠0)的對稱點(diǎn)為A'(m,n),則有②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為直線上一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決.【變式訓(xùn)練4】

設(shè)△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3,-1),∠B,∠C的平分線所在直線的方程分別是x=0,y=x,則直線BC的方程是(

).A.3x-y+5=0 B.2x-y+3=0C.2x-y+5=0 D.x+2y-5=0解析:點(diǎn)A關(guān)于直線x=0的對稱點(diǎn)是A'(-3,-1),關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)是A″(-1,3),由角平分線的性質(zhì)可知,點(diǎn)A',A″均在直線BC上,所以直線BC的方程為2x-y+5=0.答案:C

易錯(cuò)辨析因?qū)Α安荒車扇切巍钡挠懻摬蝗娑抡`【典例】

當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí),三條直線l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y-5=0,l3:6x+y-5=0不能圍成三角形?以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?又如何防范?提示:上述解法的錯(cuò)誤在于忽略了三條直線中任兩條平行或重合時(shí)也不能圍成三角形這種情況.給出三條直線方程,方程中含有參數(shù),若三條直線能構(gòu)成三角形,求參數(shù)的取值范圍時(shí),可以先找不能構(gòu)成三角形的條件,然后利用補(bǔ)集思想求其反面,即得所求參數(shù)的取值范圍.隨堂練習(xí)1.直線2x+y+8=0和直線x+y-1=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是(

).A.(-9,-10) B.(-9,10)C.(9,10) D.(9,-10)答案:B2.若直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點(diǎn)在x軸上,則k的值為(

).A.-24 B.24 C.6 D.±6解析:∵直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點(diǎn)在x軸上,∴可設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0),答案:A3.（多選題）已知m∈R,則直線(2m+1)x+(2-m)y+5m=0必經(jīng)過定點(diǎn)(

).A.(2,1)

B.(-2,1)C.(2,-1) D.(-1,-2)答案:BC4.過直線l1