1.5 兩條直線的交點坐標課件-2024-2025學年高二上學期數(shù)學北師大版（2019）選擇性必修第一冊

北師大版

數(shù)學

選擇性必修第一冊第一章直線與圓1.5兩條直線的交點坐標課標定位素養(yǎng)闡釋1.了解方程組的解的個數(shù)與兩直線平行、相交或重合的對應關(guān)系.2.會用解方程組的方法求兩條相交直線交點的坐標,提升數(shù)學運算素養(yǎng).3.會利用直線系方程解決相關(guān)問題,提升邏輯推理素養(yǎng).自主預習新知導學兩條直線的交點坐標【問題思考】(1)二元一次方程組的解法有哪些?提示:代入消元法、加減消元法.提示:兩直線的公共部分,即交點.(3)若兩直線的方程組成的二元一次方程組有解,則兩直線是否相交于一點?提示:不一定.兩條直線是否相交,取決于聯(lián)立兩直線方程所得的方程組是否有唯一解.若方程組有無窮多組解,則兩直線重合.2.一般地,對于兩條不重合的直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,可以用直線的斜率(斜率存在時)或法向量先定性判斷兩條直線是否相交,若相交,則依據(jù)直線方程的概念可知,兩條直線l1,l2交點的坐標就是兩個方程的公共解

.3.已知直線3x+5y+m=0與直線x-y+1=0的交點在x軸上,則m=

.

解析:直線x-y+1=0與x軸的交點為(-1,0),則點(-1,0)在直線3x+5y+m=0上,于是3×(-1)+5×0+m=0,解得m=3.答案:3提示:A1B2-A2B1≠0.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若兩條直線的方程組成的方程組無解,則這兩條直線平行.(

)(2)直線x=2與直線y=3沒有交點.(

)(3)兩條直線的交點坐標就是兩條直線的方程組成的方程組的解.(

)(4)過直線l1:x-y+1=0與直線l2:3x+y-7=0的交點的所有直線可寫為參數(shù)形式x-y+1+λ(3x+y-7)=0(其中λ∈R).(

)√×√×合作探究釋疑解惑探究一兩直線的位置關(guān)系及交點坐標【例1】

判斷下列各組直線的位置關(guān)系,若相交,求出交點坐標.(1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;(2)l1:x+3y-1=0,l2:2x+6y-2=0;(3)l1:6x-2y+3=0,l2:3x-y+2=0.由方程組解的個數(shù)判斷兩直線的位置關(guān)系根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷兩直線的位置關(guān)系,在解方程時,要先觀察方程系數(shù).若方程組有唯一解,則兩直線相交;若方程組無解,則兩直線平行;若方程組有無數(shù)多個解,則兩直線重合.也可根據(jù)直線的斜率和截距的關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.【變式訓練1】

(1)已知兩條直線2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交點在直線y=-x上,那么k的值是(

).A.-4 B.3C.3或-4 D.±4(2)已知直線5x+4y=2a+1與直線2x+3y=a的交點位于第四象限,則a的取值范圍是

.

探究二過兩直線交點的直線方程【例2】

求過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y-1=0平行的直線方程.解法二:由題意可設所求直線方程為(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0(λ∈R),即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0.(*)若將本例中的“平行”改為“垂直”,如何求解?解:設所求直線方程為(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0,由于所求直線與直線3x+y-1=0垂直,因此3(2+λ)+(λ-3)×1=0,解得λ=-,所以所求直線方程為5x-15y-18=0.兩條直線的交點坐標就是聯(lián)立兩直線方程所得方程組的解.本例可采用常規(guī)方法,先通過方程組求出兩直線交點,再根據(jù)平行直線求出斜率,由點斜式求解;也可以采用過直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直線A2x+B2y+C2=0,其中λ∈R),直接設出過兩直線交點的方程,再根據(jù)平行條件求出待定系數(shù).【變式訓練2】

求經(jīng)過兩條直線l1:2x+y-8=0和l2:x-2y+1=0的交點且與兩坐標軸圍成的三角形面積為

的直線的方程.即(λ-8)2=|(1-2λ)(2+λ)|,解得λ=3或λ=-22.當λ=3時,所求直線的方程為x-y-1=0;當λ=-22時,所求直線的方程為4x-9y+6=0.故所求直線的方程是x-y-1=0或4x-9y+6=0.探究三直線過定點問題【例3】

求證:無論k取任何實數(shù),直線(k+1)x-(k-1)y-2k=0必過定點,并求出此定點.證法一:由k的任意性,取k=0,得x+y=0,①取k=1,得x-1=0.②由①②,得直線x+y=0與直線x-1=0的交點坐標為(1,-1).將點(1,-1)的坐標代入原直線方程,可知(k+1)×1-(k-1)×(-1)-2k=0恒成立,所以直線(k+1)x-(k-1)y-2k=0必過定點,定點為(1,-1).此為直線方程的點斜式,該直線一定過點(1,-1);當k=1時,直線方程為x=1,也必過定點(1,-1).綜上,該直線必過定點,定點的坐標為(1,-1).證法三:直線方程可整理為x+y+k(x-y-2)=0,則直線(k+1)x-(k-1)y-2k=0過直線l1:x+y=0與直線l2:x-y-2=0的交點.所以直線恒過定點(1,-1).直線過定點問題是直線方程中常見的問題,主要根據(jù)參數(shù)的任意性列方程組求解,常見方法有:(1)特值法:對直線系中的參數(shù)賦值,可得直線系中的不同直線,聯(lián)立其中兩個直線方程便可求出其交點坐標,該坐標即為所求定點的坐標.(用于客觀題)(2)恒等式法:該類問題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的恒等式問題,根據(jù)恒等式的性質(zhì),由參數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項均為零,就可以求得該定點坐標.(3)直線系方程法.【變式訓練3】

求證:不論m取何值,直線(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都經(jīng)過一個定點,并求出這個定點的坐標.證明:原方程可整理為(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.解得x=2,y=-3.所以不論m取何值,所給的直線都經(jīng)過定點(2,-3).探究四對稱問題【例4】

△ABC的一個內(nèi)角的平分線所在直線的方程是y=2x,若A,B兩點的坐標分別為(-4,2),(3,1),則點C的坐標為

.

解析:分別把A,B兩點的坐標代入y=2x知,點A,B都不在直線y=2x上,所以直線y=2x是∠ACB的平分線所在的直線.設點A(-4,2)關(guān)于直線y=2x的對稱點為A'(a,b),即A'(4,-2).∵直線y=2x是∠ACB的平分線所在的直線,∴點A'在直線BC上,答案:(2,4)有關(guān)對稱問題的兩種主要類型(1)中心對稱:①點P(x,y)關(guān)于O(a,b)的對稱點P'(x',y')滿足②直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決.(2)軸對稱:①若點A(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0(AB≠0)的對稱點為A'(m,n),則有②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為直線上一點關(guān)于直線的對稱問題來解決.【變式訓練4】

設△ABC的一個頂點是A(3,-1),∠B,∠C的平分線所在直線的方程分別是x=0,y=x,則直線BC的方程是(

).A.3x-y+5=0 B.2x-y+3=0C.2x-y+5=0 D.x+2y-5=0解析:點A關(guān)于直線x=0的對稱點是A'(-3,-1),關(guān)于直線y=x的對稱點是A″(-1,3),由角平分線的性質(zhì)可知,點A',A″均在直線BC上,所以直線BC的方程為2x-y+5=0.答案:C

易錯辨析因?qū)Α安荒車扇切巍钡挠懻摬蝗娑抡`【典例】

當實數(shù)m為何值時,三條直線l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y-5=0,l3:6x+y-5=0不能圍成三角形?以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?又如何防范?提示:上述解法的錯誤在于忽略了三條直線中任兩條平行或重合時也不能圍成三角形這種情況.給出三條直線方程,方程中含有參數(shù),若三條直線能構(gòu)成三角形,求參數(shù)的取值范圍時,可以先找不能構(gòu)成三角形的條件,然后利用補集思想求其反面,即得所求參數(shù)的取值范圍.隨堂練習1.直線2x+y+8=0和直線x+y-1=0的交點坐標是(

).A.(-9,-10) B.(-9,10)C.(9,10) D.(9,-10)答案:B2.若直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點在x軸上,則k的值為(

).A.-24 B.24 C.6 D.±6解析:∵直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點在x軸上,∴可設交點坐標為(a,0),答案:A3.（多選題）已知m∈R,則直線(2m+1)x+(2-m)y+5m=0必經(jīng)過定點(

).A.(2,1)

B.(-2,1)C.(2,-1) D.(-1,-2)答案:BC4.過直線l1