3.1.2函數(shù)的表示法課件-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第1課時(shí)函數(shù)的表示法課標(biāo)闡釋1.掌握函數(shù)的三種表示法:解析法、列表法、圖象法以及各自的優(yōu)缺點(diǎn).在解析法中尤其要掌握用換元和代入法求函數(shù)的解析式.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.在實(shí)際問(wèn)題中,能夠選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉▉?lái)表示函數(shù).(數(shù)學(xué)抽象)3.能利用函數(shù)圖象求函數(shù)的值域,并確定函數(shù)值的變化趨勢(shì).(直觀想象)思維脈絡(luò)[激趣誘思](1)已建成的京滬高速鐵路總長(zhǎng)約1318千米,設(shè)計(jì)速度目標(biāo)值為380千米/時(shí).若京滬高速鐵路時(shí)速按300千米/時(shí)計(jì)算,火車行駛x小時(shí),路程為y千米,則y是x的函數(shù),可以用y=300x來(lái)表示,其中y=300x叫做該函數(shù)的解析式.(2)如圖是1950—1990年我國(guó)人口出生率變化曲線:(3)下表是大氣中氰化物濃度與污染源距離的關(guān)系表:問(wèn)題:根據(jù)初中學(xué)過(guò)的知識(shí),說(shuō)出(1)(2)(3)分別是用什么法表示函數(shù)的?污染源距離/m50100200300500氰化物濃度/(mg·m-3)0.6780.3980.1210.050.01[知識(shí)點(diǎn)撥]知識(shí)點(diǎn):函數(shù)的表示方法

名師點(diǎn)析

函數(shù)的三種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)

表示方法優(yōu)

點(diǎn)缺

點(diǎn)列表法不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值只能表示自變量可以一一列出的函數(shù)圖象法能形象直觀地表示出函數(shù)的變化情況只能近似地求出自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,而且有時(shí)誤差較大解析法一是簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系,從“數(shù)”的方面揭示了函數(shù)關(guān)系;二是可以通過(guò)解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不夠形象、直觀、具體,而且并不是所有的函數(shù)都能用解析法表示出來(lái)微練習(xí)購(gòu)買某種飲料x(chóng)聽(tīng),所需錢數(shù)是y元.若每聽(tīng)2元,試分別用解析法、列表法、圖象法將y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函數(shù),并指出函數(shù)的值域.解

(解析法)y=2x,x∈{1,2,3,4}.(列表法)x1234y2468(圖象法)該函數(shù)的值域?yàn)閧2,4,6,8}.探究一列表法表示函數(shù)例1已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出:x123f(x)211x123g(x)321則f(g(1))=

;當(dāng)g(f(x))=2時(shí),x=

.

分析這是用列表法表示的函數(shù)求值問(wèn)題,在解答時(shí),找準(zhǔn)變量對(duì)應(yīng)的值即可.答案

1

1解析

由g(x)的對(duì)應(yīng)表,知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3).由f(x)的對(duì)應(yīng)表,知f(3)=1,∴f(g(1))=f(3)=1.由g(x)的對(duì)應(yīng)表,知當(dāng)x=2時(shí),g(2)=2.又g(f(x))=2,∴f(x)=2.又由f(x)的對(duì)應(yīng)表,知當(dāng)x=1時(shí),f(1)=2.∴x=1.要點(diǎn)筆記

列表法表示函數(shù)的關(guān)注點(diǎn)列表法是表示函數(shù)的重要方法,這如同我們?cè)诋?huà)函數(shù)圖象時(shí)所列的表,它的明顯優(yōu)點(diǎn)是自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在表中可直接找到,不需要計(jì)算.延伸探究

在本例已知條件下,g(f(1))=

;當(dāng)f(g(x))=2時(shí),x=

.

答案

2

3解析

∵f(1)=2,∴g(f(1))=g(2)=2.∵f(g(x))=2,∴g(x)=1,∴x=3.探究二求函數(shù)的解析式例2(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;(3)已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).解

(1)(方法1)令x+1=t,則x=t-1.將x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.(方法2)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵f(0)=1,∴c=1,則f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x對(duì)任意的x∈R都成立,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,(3)∵對(duì)于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,∴將x替換為-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,聯(lián)立方程組消去f(-x),可得f(x)=-3x-.探究三函數(shù)的圖象及應(yīng)用例3作出下列函數(shù)的圖象,并求其值域:(1)y=1-x(x∈Z);(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).解

(1)因?yàn)閤∈Z,所以函數(shù)圖象為一條直線上的孤立點(diǎn)(如圖1),由圖象知,y∈Z.(2)因?yàn)閤∈[0,3),所以函數(shù)圖象是拋物線的一段(如圖2),由圖象知,y∈[-5,3).變式訓(xùn)練2作出下列函數(shù)的圖象,并寫(xiě)出其值域.(1)y=2x+1,x∈[0,2];(2)y=,x∈[2,+∞).解

(1)當(dāng)x=0時(shí),y=1;當(dāng)x=1時(shí),y=3;當(dāng)x=2時(shí),y=5.函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),(1,3),(2,5).圖象如圖所示.由圖可知,函數(shù)的值域?yàn)閇1,5].

素養(yǎng)形成平面幾何中的函數(shù)問(wèn)題典例

如圖,在矩形ABCD中,BA=3,CB=4,點(diǎn)P在AD上移動(dòng),CQ⊥BP,Q為垂足.設(shè)BP=x,CQ=y,試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并畫(huà)出函數(shù)的圖象.【規(guī)范答題】解

由題意,得△CQB∽△BAP,變式訓(xùn)練已知一個(gè)面積為100cm2的等腰梯形,上底長(zhǎng)為xcm,下底長(zhǎng)為上底長(zhǎng)的3倍,則把它的高y表示成x的函數(shù)為(

)答案

C

當(dāng)堂檢測(cè)1.將長(zhǎng)度為2的一根鐵絲折成長(zhǎng)為x的矩形,矩形的面積y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=x(1-x),則函數(shù)的定義域?yàn)?

)A.R

B.{x|x>0}C.{x|0<x<2} D.{x|0<x<1}答案

D2.已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,0)和(0,1),則該一次函數(shù)的解析式為(

)A.f(x)=-x B.f(x)=x-1C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x+1答案

D所以a=-1,b=1,即f(x)=-x+1.3.某天早上,小明騎車上學(xué),出發(fā)時(shí)感到時(shí)間較緊,然后加速前進(jìn),后來(lái)發(fā)現(xiàn)時(shí)間還比較充裕,于是放慢了速度,與以上事件吻合得最好的圖象是(

)答案

C解析

因?yàn)檫x項(xiàng)A,D第一段都是勻速前進(jìn),不合題意,故排除選項(xiàng)A,D,首先加速前進(jìn),然后放慢速度,說(shuō)明圖象上升的速度先快后慢,故選C.4.已知函數(shù)f(x),g(x)對(duì)應(yīng)值如下表:x01-1f(x)10-1x01-1g(x)-101則g(f(g(-1)))的值為(

)A.1 B.0C.-1 D.無(wú)法確定答案

C解析

g(-1)=1,則f(g(-1))=f(1)=0,則g(f(g(-1)))=g(0)=-1.5.若函數(shù)f(x)滿足f(3x+2)=9x+8,則f(x)的解析式是

.

答案

f(x)=3x+2解析

f(3x+2)=9x+8,設(shè)t=3x+2,代入得到f(t)=3t+2.故f(x)的解析式是f(x)=3x+2.第2課時(shí)分段函數(shù)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.了解分段函數(shù)的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.會(huì)求分段函數(shù)的函數(shù)值,能畫(huà)出分段函數(shù)的圖象.(直觀想象)3.能在實(shí)際問(wèn)題中列出分段函數(shù),并能解決有關(guān)問(wèn)題.(邏輯推理)[激趣誘思]某村電費(fèi)收取有以下兩種方案供村民選擇:方案一:每戶每月收管理費(fèi)2元,月用電不超過(guò)30千瓦時(shí)時(shí),每千瓦時(shí)0.5元,超過(guò)30千瓦時(shí)時(shí),超過(guò)部分按每千瓦時(shí)0.6元收取.方案二:不收管理費(fèi),每千瓦時(shí)按0.58元收取.問(wèn)題:(1)求方案一中電費(fèi)L(x)(單位:元)與用電量x(單位:千瓦時(shí))之間的函數(shù)解析式.(2)老王家9月份按方案一繳納電費(fèi)35元,問(wèn)老王家該月用電多少千瓦時(shí)?(3)老王家月用電量在什么范圍時(shí),選擇方案一比選擇方案二省錢?[知識(shí)點(diǎn)撥]知識(shí)點(diǎn):分段函數(shù)如果函數(shù)y=f(x),x∈A,根據(jù)自變量x在A中不同的取值范圍,有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù).名師點(diǎn)析

學(xué)習(xí)分段函數(shù)應(yīng)注意(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù).(2)處理分段函數(shù)問(wèn)題時(shí),要首先確定自變量的取值屬于哪一個(gè)范圍,然后選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.要注意寫(xiě)解析式時(shí)各區(qū)間的端點(diǎn)能否取到,做到不重復(fù)、不遺漏.(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是分別求出各段上的值域后取并集.微練習(xí)(1)求f(f(-2))的值;(2)若f(a)=4,求實(shí)數(shù)a的值.解

(1)∵f(-2)=-(-2)=2,∴f(f(-2))=f(2)=4.(2)①當(dāng)a>0時(shí),f(a)=a2=4,∴a=2.②當(dāng)a≤0時(shí),f(a)=-a=4,∴a=-4.綜上可知,a=-4或a=2.探究一分段函數(shù)的求值延伸探究

在本例已知條件下,若f(x)>0,求x的取值范圍.探究二分段函數(shù)的圖象例2畫(huà)出下列函數(shù)的圖象,并寫(xiě)出它們的值域:(2)y=|x+1|+|x-3|.反思感悟

分段函數(shù)圖象的關(guān)注點(diǎn)(1)因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在定義域的不同區(qū)間內(nèi)解析式不一樣,所以它的圖象也由幾部分構(gòu)成,有的可以是光滑的曲線段,有的也可以是一些孤立的點(diǎn)或幾段線段,畫(huà)圖時(shí)要特別注意區(qū)間端點(diǎn)處對(duì)應(yīng)點(diǎn)的實(shí)虛之分.(2)對(duì)含有絕對(duì)值的函數(shù),要作出其圖象,首先根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào),將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)畫(huà)圖象.變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=|x-1|-2.(1)用分段函數(shù)的形式表示f(x);(2)畫(huà)出f(x)的圖象;(3)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的值域.解

(1)當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=|x-1|-2=x-3;當(dāng)x<1時(shí),f(x)=|x-1|-2=-x-1.(2)作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,(3)由圖可知函數(shù)的值域?yàn)閇-2,+∞).探究三根據(jù)分段函數(shù)圖象求解析式例3已知函數(shù)y=f(x)的圖象由圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成,則函數(shù)的解析式為

.

解析

根據(jù)圖象,設(shè)左側(cè)的射線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=kx+b(x≤1).∵點(diǎn)(1,1),(0,2)在射線上,∴左側(cè)射線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x+2(x≤1).同理,當(dāng)x≥3時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x-2(x≥3).再設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0).∵點(diǎn)(1,1)在拋物線上,∴a+2=1,∴a=-1.∴當(dāng)1<x<3時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x2+4x-2(1<x<3).綜上可知,所求函變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式為

.

探究四分段函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用例4如圖,已知底角為45°的等腰梯形ABCD,底邊BC長(zhǎng)為7cm,腰長(zhǎng)為2cm,當(dāng)一條垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(dòng)(與梯形ABCD有公共點(diǎn))時(shí),直線l把梯形分成兩部分,令BF=x(x>0),(1)試寫(xiě)出直線l左邊部分的面積f(x)與x的函數(shù).(2)已知A={x|f(x)<4},求滿足集合A的x的取值范圍.變式訓(xùn)練3某市郊帶空調(diào)公共汽車的票價(jià)按下列規(guī)則制定:(1)乘坐汽車5千米以內(nèi),票價(jià)2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票價(jià)增加1元(不足5千米按5千米計(jì)算).每個(gè)站點(diǎn)之間的距離為1千米,如果某空調(diào)公共汽車運(yùn)行路線中設(shè)20個(gè)站點(diǎn),求票價(jià)y(單位:元)關(guān)于里程x(單位:千米)的函數(shù)解析式,并畫(huà)出圖象.解

根據(jù)題意,如果某空調(diào)汽車運(yùn)行路線中設(shè)20個(gè)站點(diǎn)(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站),那么汽車行駛的里程約為19千米,所以自變量x的取值范圍是{x∈N*|x≤19}.由空調(diào)汽車票價(jià)制定的規(guī)則,可得到以下函數(shù)解析式:

(x∈N*).根據(jù)這個(gè)函數(shù)解析式,可畫(huà)出函數(shù)圖象,如圖所示.

素養(yǎng)形成關(guān)于