4.1 對數(shù)的概念 課件-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊

第四章4.1對數(shù)的概念1.了解對數(shù)的概念.2.弄清指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系,并對它們進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)化,對于常用對數(shù)、自然對數(shù)的簡記方法要熟悉.3.了解對數(shù)、常用對數(shù)、自然對數(shù)的概念,并體會將指數(shù)式化為對數(shù)式,將對數(shù)式化為指數(shù)式的含義與作用.1光年為9460730472580800米.一個人走完一光年需要大約196,362,193年，約2億年.英國數(shù)學(xué)家卡斯納（E.Kasner）的侄子創(chuàng)造了單詞“googol”——大數(shù)，10100指數(shù)的指數(shù)——超指數(shù)象征無與倫比的搜索能力很多巨大的數(shù)可以用指數(shù)來表示感受指數(shù)

在16至17世紀(jì)，天文學(xué)開始迅速發(fā)展，天文學(xué)家為了計算一個行星的位置，時常需要耗費(fèi)幾個月甚至幾年的時間，問題主要就集中在“大數(shù)”運(yùn)算上.因此，改進(jìn)運(yùn)算方法成為了天文學(xué)家們的當(dāng)務(wù)之急.一、對數(shù)的產(chǎn)生數(shù)學(xué)家們也在試圖改進(jìn)運(yùn)算方法，他們發(fā)現(xiàn)借助指數(shù)冪是有效的方法.

不太好解決m138

引入減法

x=N-a

引入除法

引入開方

引入什么？

對數(shù)！

（1）已知a+x=N，求x

（2）已知ax=N

，

求x

二、對數(shù)的定義

一般地，如果

，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)(logarithm)，記作

.其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，讀作：以a為底N的對數(shù).表示一種運(yùn)算

閱讀教材

思考交流底數(shù)底數(shù)指數(shù)對數(shù)冪真數(shù)？關(guān)系圖2.在對數(shù)的定義中為什么規(guī)定a>0,且a≠1?

因?yàn)閷?shù)概念源出于指數(shù),對數(shù)式logaN=b是由指數(shù)式ab=N轉(zhuǎn)化而來,對數(shù)的底數(shù)就是指數(shù)的底數(shù),而ab=N中要使它對任意實(shí)數(shù)b都有意義,必須a>0,且a≠1,所以對數(shù)式中也必須要求a>0,且a≠1.請判斷“因?yàn)?-2)4=16,所以log(-2)16=4”這個說法正確嗎?不正確.因?yàn)橐蟮讛?shù)大于0,否則指數(shù)式與對數(shù)式不能互化.為什么零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)？

由對數(shù)的定義：ax＝N(a＞0且a≠1)，則總有N＞0，所以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式x＝logaN時，不存在N≤0的情況．例1.已知對數(shù)log(1－a)(a＋2)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]由于對數(shù)log(1－a)(a＋2)有意義，則有，解得－2<a<0或0<a<1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2，0)∪(0，1).三、兩種特殊的對數(shù)(1)常用對數(shù):當(dāng)對數(shù)的底數(shù)a=10時,通常稱之為常用對數(shù),并將log10N簡記為lgN.

(2)自然對數(shù):在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域,常常使用以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù),稱之為自然對數(shù),并將logeN簡記為lnN.

答案:(2)0

1

(3)N

1.對數(shù)式與指數(shù)式關(guān)系圖

對數(shù)式logaN=b是由指數(shù)式ab=N變換而來的,兩式底數(shù)相同,對數(shù)式中的真數(shù)N就是指數(shù)式中的冪的值N,而對數(shù)值b是指數(shù)式中的冪指數(shù).2.并非所有指數(shù)式都可以直接化為對數(shù)式.如(-3)2=9就不能直接寫成log(-3)9=2,只有當(dāng)a>0,且a≠1,N>0時,才有ax=N?x=logaN.互化經(jīng)驗(yàn)

解析:(1)由log3(log2(lgx))=0,可得log2(lgx)=1,所以lgx=2,所以x=100.（2）已知log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0,求x+y的值.解:因?yàn)閘og2[log3(log4x)]=0,所以log3(log4x)=1,所以log4x=3,所以x=43=64.同理可得y=24=16所以x+y=80.

求值經(jīng)驗(yàn)

1.判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)1的對數(shù)是1.(×)(2)2log22-1=-1.(×)(3)對數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是求冪指數(shù).(

√

)

？

？

？2．下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是(

)A．e0＝1與ln1＝0B．

與C．log39＝2與D．log77＝1與71＝7答案：C

解析：根據(jù)ab＝N?b＝logaN可知，A，B，D均正確，C不正確．log39＝2?32=9，?

解:由題意,有解得x>10,且x≠11.故x的取值范圍是{x|x>10,且x≠11}.4.求下列各式中x的值(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)log3(log4(log5x))＝0.解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴l(xiāng)og5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴l(xiāng)gx＝31＝3，∴x＝103＝1000.(3)由log3(log