恒成立與能成立問題 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第四單元高考專攻一恒成立與能成立問題2025屆1用導(dǎo)數(shù)解決不等式“恒成立”、“有解”或“存在性”問題的常用方法是分離參數(shù)，或構(gòu)造新函數(shù)分類討論，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．01課堂突破

01課堂突破特訓(xùn)點1特訓(xùn)點2特訓(xùn)點3典例1

已知函數(shù)f(x)＝x2－(a＋1)lnx．若f(x)≥(a2－a)lnx對x∈(1，＋∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．特訓(xùn)點1分離參數(shù)法【師生共研類】

(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，這要比分類討論法簡便很多．(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.

…………………練能力學(xué)方法

特訓(xùn)點2分類討論法【師生共研類】

根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題的關(guān)鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可．設(shè)函數(shù)f(x)＝(1－x2)ex，當(dāng)x≥0時，f(x)≤ax＋1，求實數(shù)a的取值范圍．解：令g(x)＝f(x)－ax－1＝(1－x2)ex－(ax＋1)，令x＝0，可得g(0)＝0.g′(x)＝(1－x2－2x)ex－a，令h(x)＝(1－x2－2x)ex－a，則h′(x)＝－(x2＋4x＋1)ex，當(dāng)x≥0時，h′(x)＜0，h(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，…………………練能力學(xué)方法故h(x)≤h(0)＝1－a，即g′(x)≤1－a，要使f(x)－ax－1≤0在x≥0上恒成立，需要1－a≤0，即a≥1，此時g(x)≤g(0)＝0，故a≥1.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．

特訓(xùn)點3拆解法【師生共研類】

常見的雙變量不等式恒成立問題的類型及拆解技巧(1)對于任意的x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)max≤g(x2)max；(2)對于任意的x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)min；(3)若存在x1∈[a，b]，對任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)min≤g(x2)min；(4)若存在x1∈[a，b]，對任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)max≥g(x2)max；(5)對于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)max≤g(x2)min；(6)對于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)max；(7)對于任意的x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)?f(x)的值域?g(x)的值域．

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