考點07功能關(guān)系能量守恒定律

08機械能守恒定律[考點07]功能關(guān)系能量守恒定律1．對功能關(guān)系的理解(1)做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化的過程，不同形式的能量發(fā)生相互轉(zhuǎn)化是通過做功來實現(xiàn)的．(2)功是能量轉(zhuǎn)化的量度，功和能的關(guān)系，一是體現(xiàn)在不同的力做功，對應(yīng)不同形式的能轉(zhuǎn)化，具有一一對應(yīng)關(guān)系，二是做功的多少與能量轉(zhuǎn)化的多少在數(shù)值上相等．2．常見的功能關(guān)系能量功能關(guān)系表達(dá)式勢能重力做的功等于重力勢能減少量W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp彈力做的功等于彈性勢能減少量靜電力做的功等于電勢能減少量分子力做的功等于分子勢能減少量動能合外力做的功等于物體動能變化量W＝Ek2－Ek1＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02機械能除重力和彈力之外的其他力做的功等于機械能變化量W其他＝E2－E1＝ΔE摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能一對相互作用的滑動摩擦力做功之和的絕對值等于產(chǎn)生的內(nèi)能Q＝Ff·x相對電能克服安培力做的功等于電能增加量W電能＝E2－E1＝ΔE功的正負(fù)與能量增減的對應(yīng)關(guān)系(1)物體動能的增加與減少要看合外力對物體做正功還是做負(fù)功．(2)勢能的增加與減少要看對應(yīng)的作用力(如重力、彈簧彈力、靜電力等)做負(fù)功還是做正功．(3)機械能的增加與減少要看重力和彈簧彈力之外的力對物體做正功還是做負(fù)功．典例1(功能關(guān)系的理解)(多選)如圖所示，質(zhì)量為m的物體(可視為質(zhì)點)以某一速度從A點沖上傾角為30°的固定斜面，其減速運動的加速度大小為eq\f(3,4)g，此物體在斜面上能夠上升的最大高度為h，則在這個過程中物體()A．重力勢能增加了mghB．機械能損失了eq\f(1,2)mghC．動能損失了mghD．克服摩擦力做功eq\f(1,4)mgh答案AB解析加速度大小a＝eq\f(3,4)g＝eq\f(mgsin30°＋Ff,m)，解得摩擦力Ff＝eq\f(1,4)mg，機械能損失量等于克服摩擦力做的功，即Ffx＝eq\f(1,4)mg·2h＝eq\f(1,2)mgh，故B項正確，D項錯誤；物體在斜面上能夠上升的最大高度為h，所以重力勢能增加了mgh，故A項正確；動能損失量為克服合力做功的大小，動能損失量ΔEk＝F合x＝eq\f(3,4)mg·2h＝eq\f(3,2)mgh，故C項錯誤．典例2(功能關(guān)系與圖像的結(jié)合)(多選)(2020·全國卷Ⅰ)一物塊在高3.0m、長5.0m的斜面頂端從靜止開始沿斜面下滑，其重力勢能和動能隨下滑距離s的變化如圖中直線Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10m/s2.則()A．物塊下滑過程中機械能不守恒B．物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.5C．物塊下滑時加速度的大小為6.0m/s2D．當(dāng)物塊下滑2.0m時機械能損失了12J答案AB解析由E－s圖像知，物塊動能與重力勢能的和減小，則物塊下滑過程中機械能不守恒，故A正確；由E－s圖像知，整個下滑過程中，物塊機械能的減少量為ΔE＝30J－10J＝20J，重力勢能的減少量ΔEp＝mgh＝30J，又ΔE＝μmgcosα·s，其中cosα＝eq\f(\r(s2－h(huán)2),s)＝0.8，h＝3.0m，g＝10m/s2，則可得m＝1kg，μ＝0.5，故B正確；物塊下滑時的加速度大小a＝gsinα－μgcosα＝2m/s2，故C錯誤；物塊下滑2.0m時損失的機械能為ΔE′＝μmgcosα·s′＝8J，故D錯誤．典例3(摩擦力做功與能量轉(zhuǎn)化)如圖甲所示，長木板A放在光滑的水平面上，質(zhì)量為m＝2kg的另一物體B(可看成質(zhì)點)以水平速度v0＝2m/s滑上原來靜止的長木板A的上表面.由于A、B間存在摩擦，之后A、B速度隨時間變化情況如圖乙所示.下列說法正確的是(g取10m/s2)()A.木板A獲得的動能為2JB.系統(tǒng)損失的機械能為4JC.木板A的最小長度為2mD.A、B間的動摩擦因數(shù)為0.1答案D解析由題圖乙可知，A、B的加速度大小相等，aA＝aB＝1m/s2，根據(jù)牛頓第二定律，有μmg＝mAaA，μmg＝maB，則mb＝m＝2kg，μ＝0.1，木板獲得的動能為EkA＝eq\f(1,2)mAv2＝1J，選項A錯誤，D正確；系統(tǒng)損失的機械能ΔE＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)×2mv2＝2J，選項B錯誤；由v－t圖象可求出二者相對位移為1m，選項C錯誤.典例4(能量守恒定律的理解和應(yīng)用)(多選)(2021·湖南長沙模擬)如圖所示，質(zhì)量為m的物塊(可視為質(zhì)點)從傾角為37°的固定斜面頂端由靜止開始下滑，到達(dá)B點開始壓縮彈簧(彈簧原長為2L)，被彈簧彈回后恰能到達(dá)AB的中點C.已知eq\o(AB,\s\up6(－))＝2L，物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ＝eq\f(1,8)，設(shè)彈簧的最大壓縮量為xm，獲得的最大彈性勢能為Ep，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度為g，下列說法正確的是()A.物塊與彈簧組成的系統(tǒng)機械能不守恒B.物塊運動到B點的速度最大C.彈簧的最大壓縮量為1.5LD.彈簧獲得的最大彈性勢能為2mgL答案AC解析對于物塊與彈簧組成的系統(tǒng)，由于滑動摩擦力對物體做負(fù)功，所以系統(tǒng)的機械能不守恒，A正確；根據(jù)能量守恒定律可得，在下滑過程，有mg(2L＋xm)sin37°＝Ep＋μmgcos37°(2L＋xm)，上滑過程，有Ep＝mg(L＋xm)sin37°＋μmgcos37°(L＋xm)，聯(lián)立解得xm＝1.5L，Ep＝1.75mgL，C正確，D錯誤；物塊運動到B點時mgsin37°－μmgcos37°＝ma>0，物塊繼續(xù)加速下滑，直到加速度為零時速度最大，故物塊運動至B點時速度不是最大，B錯誤.1.質(zhì)量為m的物體，從距地面h高處由靜止開始以加速度a＝eq\f(1,3)g(g為重力加速度)豎直下落到地面．在此過程中()A．物體的動能增加了eq\f(1,3)mghB．物體的重力勢能減少了eq\f(1,3)mghC．物體的機械能減少了eq\f(1,3)mghD．物體的機械能保持不變答案A解析物體動能的增加等于合外力做的功，即W＝mah＝eq\f(1,3)mgh，A正確；物體重力勢能的減少量等于重力做的功，即WG＝mgh，B錯誤；除重力以外的其他力對物體做功為WF＝－(mg－ma)h＝－eq\f(2,3)mgh，因此機械能的減少量為eq\f(2,3)mgh，C、D錯誤．2.(多選)一個質(zhì)量為m的小球，用長為L的輕繩懸掛于O點，小球在水平力F的作用下，從最低點P緩慢地移到Q點，如圖所示，重力加速度為g，則在此過程中()A．小球受到的合力做的功為mgL(1－cosθ)B．水平力F做功為FLsinθC．小球的重力勢能增加mgL(1－cosθ)D．水平力F做功使小球的機械能增加mgL(1－cosθ)答案CD解析小球受到的合力做的功等于小球的動能變化，而小球緩慢移動的過程中動能不變，故合力做功為零，選項A錯誤；水平力是變力，做功大小不能用W＝FLsinθ計算，根據(jù)動能定理，WF－mgL(1－cosθ)＝0，可知水平力做功為mgL(1－cosθ)，選項B錯誤；小球重力勢能的增加量等于克服重力做的功，ΔEp＝mgL(1－cosθ)，選項C正確；小球機械能的增加量等于除重力之外的其他力做的功，本題中繩的彈力不做功，故水平力做的功等于機械能的增加量，因WF＝mgL(1－cosθ)，故小球的機械能增加量為mgL(1－cosθ)，選項D正確．3.如圖所示，一質(zhì)量為m的滑塊以初速度v0從固定于地面的斜面底端A開始沖上斜面，到達(dá)某一高度后返回A，斜面與滑塊之間有摩擦．下圖分別表示它在斜面上運動的速度v、加速度a、勢能Ep和機械能E隨時間的變化圖像，可能正確的是()答案C解析由牛頓第二定律可知，滑塊上升階段有：mgsinθ＋Ff＝ma1；下滑階段有：mgsinθ－Ff＝ma2，因此a1>a2，故選項B錯誤；速度－時間圖像的斜率表示加速度，當(dāng)上滑和下滑時，加速度不同，則斜率不同，故選項A錯誤；重力勢能先增大后減小，且上升階段加速度大，所用時間短，勢能變化快，下滑階段加速度小，所用時間長，勢能變化慢，故選項C可能正確；由于摩擦力始終做負(fù)功，機械能一直減小，故選項D錯誤．4.(多選)(2023·泉州市·期末)如圖，一塊長木板B放在光滑的水平面上，在B的左端放一小物體A，現(xiàn)以水平力F拉A，使A從B的左端滑到右端，由于A、B間摩擦力的作用，B向右移動一段距離．在此過程中()A．F做功的大小等于A動能的增加量B．F越大系統(tǒng)中因摩擦產(chǎn)生的熱量越多C．摩擦力對A、B做功的代數(shù)和不為零D．摩擦力對B所做的功的大小等于B動能的增加量答案CD解析根據(jù)能量守恒可知，F(xiàn)做功一部分變成物體A的動能，一部分變成木板B的動能，一部分摩擦生成了熱，A錯誤；產(chǎn)生的熱量等于摩擦力與相對位移的乘積，A、B間滑動摩擦力恒定，相對位移為板長恒定，因此產(chǎn)生的熱量為定值，與力F的大小無關(guān)，B錯誤；A、B間的摩擦力為作用力和反作用力，等大反向，而A、B兩物體在力的作用下通過的位移不同，摩擦力對A、B做功大小不同，因此代數(shù)和不為零，C正確；只有摩擦力對B做功，根據(jù)動能定理，摩擦力對B所做的功等于B動能的增加量，D正確．5.(多選)如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的圓弧軌道，半徑OA水平、OB豎直，一個質(zhì)量為m的小球自A點的正上方P點由靜止開始自由下落，小球沿軌道到達(dá)最高點B時恰好對軌道沒有壓力．已知AP＝2R，重力加速度為g，則小球從P點運動到B點的過程中()A．重力做功2mgR B．機械能減少mgRC．合外力做功eq\f(1,2)mgR D．克服摩擦力做功eq\f(1,2)mgR答案CD解析小球從P點運動到B點的過程中，重力做的功WG＝mg(2R－R)＝mgR，故A錯誤；小球沿軌道到達(dá)最高點B時恰好對軌道沒有壓力，則有mg＝meq\f(vB2,R)，解得vB＝eq\r(gR)，則此過程中機械能的減少量為ΔE＝mgR－eq\f(1,2)mvB2＝eq\f(1,2)mgR，故B錯誤；根據(jù)動能定理可知，合外力做功W合＝eq\f(1,2)mvB2－0＝eq\f(1,2)mgR，故C正確；根據(jù)功能關(guān)系可知，小球克服摩擦力做的功等于機械能的減少量，則W克f＝ΔE＝eq\f(1,2)mgR，故D正確．6.(2023·江蘇·月考)如圖所示，一長L＝10m的水平傳送帶AB，以恒定速度v＝8m/s順時針運動，現(xiàn)有一質(zhì)量為m＝2kg的物塊以水平向右的初速度v0＝4m/s從傳送帶左端A處滑上傳送帶，物塊與傳送帶面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.4(g＝10m/s2)．則下列說法正確的是()A．經(jīng)過1s，滑動摩擦力對物塊做功為－48JB．經(jīng)過1s，物塊機械能變化量為64JC．物塊從A到B點過程中，物塊動能增加64JD．物塊從A到B點過程中，系統(tǒng)內(nèi)能增加16J答案D解析物塊剛放到傳送帶上時，由于與傳送帶有相對運動，物塊受向右的滑動摩擦力，物塊做加速運動，有Ff＝μmg＝ma，解得a＝4m/s2，經(jīng)過1s物塊相對地面的位移為x＝v0t＋eq\f(1,2)at2物塊機械能變化量為48J，故A、B錯誤；物塊到達(dá)B點時速度與傳送帶速度相同，ΔEk＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02＝48J，故C錯誤；物塊從A到B點過程中，系統(tǒng)內(nèi)能增加Q＝Ff·x相＝μmg(vt－x)＝0.4×2×10×(8×1－6)J＝16J，故D正確．7.質(zhì)量為2kg的物體以10m/s的初速度，從起點A出發(fā)豎直向上拋出，在它上升到某一點的過程中，物體的動能損失了50J，機械能損失了10J，設(shè)物體在上升、下降過程空氣阻力大小恒定，則該物體再落回到A點時的動能為(g＝10m/s2)()A．40JB．60JC．80JD．100J答案B解析物體拋出時的總動能為100J，物體的動能損失了50J時，機械能損失了10J，則動能損失100J時，機械能損失20J，此時到達(dá)最高點，由于空氣阻力大小恒定，所以下落過程，機械能也損失20J，故該物體從A點拋出到落回到A點，共損失機械能40J，所以該物體再落回到A點時的動能為60J，A、C、D錯誤，B正確．8.(多選)(2019·全國卷Ⅱ·18)從地面豎直向上拋出一物體，其機械能E總等于動能Ek與重力勢能Ep之和．取地面為重力勢能零點，該物體的E總和Ep隨它離開地面的高度h的變化如圖所示．重力加速度取10m/s2.由圖中數(shù)據(jù)可得()A．物體的質(zhì)量為2kgB．h＝0時，物體的速率為20m/sC．h＝2m時，物體的動能Ek＝40JD．從地面至h＝4m，物體的動能減少100J答案AD解析根據(jù)題圖可知，h＝4m時物體的重力勢能Ep＝mgh＝80J，解得物體質(zhì)量m＝2kg，拋出時物體的動能為Ek0＝100J，由公式Ek0＝eq\f(1,2)mv2可知，h＝0時物體的速率為v＝10m/s，選項A正確，B錯誤；由功能關(guān)系可知Ffh4＝|ΔE總|＝20J，解得物體上升過程中所受空氣阻力Ff＝5N，從物體開始拋出至上升到h＝2m的過程中，由動能定理有－mgh－Ffh＝Ek－Ek0，解得Ek＝50J，選項C錯誤；由題圖可知，物體上升到h＝4m時，機械能為80J，重力勢能為80J，動能為零，即從地面上升到h＝4m，物體動能減少100J，選項D正確．9.(多選)(2023·重慶·質(zhì)檢)在物流貨場，廣泛應(yīng)用著傳送帶搬運貨物，如圖甲所示，傾角為37°的傳送帶以恒定速度逆時針轉(zhuǎn)動，在傳送帶頂端A處無初速度釋放一個質(zhì)量為m＝2kg的貨物(可視為質(zhì)點)，經(jīng)過2s到達(dá)傳送帶的B端.貨物與傳送帶的速度隨時間變化圖象如圖乙所示，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.下列說法正確的是()A.0～1s內(nèi)物體的加速度為10m/s2B.A、B兩點相距15mC.物體與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為0.5D.0～1s內(nèi)貨物與傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量為80J答案AC解析0～1s內(nèi)物體的加速度為a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(10－0,1)m/s2＝10m/s2，故A正確；物體運動總的位移x＝eq\o(v,\s\up6(－))t1＋eq\o(v,\s\up6(－))t2＝eq\f(0＋10,2)×1m＋eq\f(10＋12,2)×1m＝16m，A、B兩點相距16m，故B錯誤；前1s物體向下加速運動，由牛頓第二定律可得mgsin37°＋μmgcos37°＝ma，代入數(shù)值可求得μ＝0.5，說明物體與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為0.5，故C正確；0～1s內(nèi)物體與傳送帶運動的相對距離為Δx＝vt－eq\f(v,2)t＝10×1m－eq\f(10,2)×1m＝5m，貨物與傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量為Q＝μmgcos37°Δx＝0.5×2×10×0.8×5J＝40J，故D錯誤.10.(2023·江蘇南京市十一校調(diào)研)如圖所示，傾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，長為l、質(zhì)量為m、粗細(xì)均勻、質(zhì)量分布均勻的軟繩置于斜面上，其上端與斜面頂端平齊，重力加速度為g.用細(xì)線將物塊與軟繩連接，物塊由靜止釋放后向下運動，直到軟繩剛好全部離開斜面(此時物塊未到達(dá)地面)，在此過程中()A．物塊的機械能逐漸增加B．軟繩的重力勢能共減少了eq\f(1,4)mglC．物塊減少的重力勢能等于軟繩克服摩擦力所做的功D．軟繩減少的重力勢能大于其增加的動能與克服摩擦力所做的功之和答案B解析物塊克服細(xì)線的拉力做功，其機械能逐漸減少，A錯誤；軟繩重力勢能減少量ΔEp減＝mg·eq\f(l,2)－mg·eq\f(l,2)sinθ＝eq\f(1,4)mgl，B正確；因為物塊的機械能減小，則物塊的重力勢能減小量大于物塊的動能增加量，機械能的減小量等于拉力做功的大小，由于拉力做功大于克服摩擦力做功，所以物塊重力勢能的減少量大于軟繩克服摩擦力所做的功，C錯誤；細(xì)線的拉力對軟繩做正功，對物塊做負(fù)功，則物塊的機械能減小，軟繩的機械能增加，軟繩重力勢能的減少量一定小于其動能的增加量，故軟繩重力勢能的減少量小于其動能的增加量與克服摩擦力所做功的和，D錯誤．11．(多選)(2023·山東濟南市十一校檢測)如圖所示為某緩沖裝置的模型圖，一輕桿S被兩個固定薄板夾在中間，輕桿S與兩薄板之間的滑動摩擦力大小均為Ff，輕桿S露在薄板外面的長度為l.輕桿S前端固定一個勁度系數(shù)為eq\f(3Ff,l)的輕彈簧．一質(zhì)量為m的物體從左側(cè)以大小為v0的速度撞向彈簧，能使輕桿S向右側(cè)移動eq\f(l,6).已知彈簧的彈性勢能Ep＝eq\f(1,2)kx2，其中k為勁度系數(shù)，x為形變量．最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，彈簧始終在彈性限度內(nèi)．下列說法正確的是()A．欲使輕桿S發(fā)生移動，物體m運動的最小速度為eq\f(\r(10),10)v0B．欲使輕桿S發(fā)生移動，物體m運動的最小速度為eq\f(\r(6),3)v0C．欲使輕桿S左端恰好完全進入薄板，物體m運動的速度大小為eq\f(\r(6),2)v0D．欲使輕桿S左端恰好完全進入薄板，物體m運動的速度大小為eq\f(2\r(6),3)v0答案BD解析當(dāng)輕桿剛要移動時，對輕桿受力分析，設(shè)此時彈簧彈力大小為F，壓縮量為x，由平衡條件知F＝kx＝2Ff，代入k的值可得x＝eq\f(2,3)l，設(shè)欲使輕桿S發(fā)生移動，物體m運動的最小速度為v1，則由能量守恒定律有eq\f(1,2)mv12＝eq\f(1,2)k(eq\f(2,3)l)2，由題意知，物體以大小為v0的速度撞向彈簧，能使輕桿S向右側(cè)移動eq\f(l,6)，由能量守恒定律有eq\f(1,2)mv02＝2Ff×eq\f(l,6)＋eq\f(1,2)mv12，聯(lián)立可得v1＝eq\f(\r(6),3)v0，故A錯誤，B正確；設(shè)物體m的運動速度大小為v2時，輕桿S左端恰好完全進入薄板，則由能量守恒定律有eq\f(1,2)mv22＝2Ff×l＋eq\f(1,2)mv12，可解得v2＝eq\f(2\r(6),3)v0，故C錯誤，D正確．12.如圖所示，固定斜面的傾角θ＝30°，物體A與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ＝eq\f(\r(3),4)，輕彈簧下端固定在斜面底端，彈簧處于原長時上端位于C點，用一根不可伸長的輕繩通過輕質(zhì)光滑的定滑輪連接物體A和B，滑輪右側(cè)繩子與斜面平行，A的質(zhì)量為2m＝4kg，B的質(zhì)量為m＝2kg，初始時物體A到C點的距離L＝1m，現(xiàn)給A、B一初速度v0＝3m/s，使A開始沿斜面向下運動，B向上運動，物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈回到C點．已知重力加速度g＝10m/s2，不計空氣阻力，整個過程中輕繩始終處于伸直狀態(tài)．求在此過程中：(1)物體A向下運動剛到C點時的速度大小；(2)彈簧的最大壓縮量；(3)彈簧的最大彈性勢能．答案(1)2m/s(2)0.4m(3)6J解析(1)在物體A向下運動剛到C點的過程中，對A、B組成的系統(tǒng)應(yīng)用能量守恒定律可得μ·2mgcosθ·L＝eq\f(1,2)×3mv02－eq\f(1,2)×3mv2＋2mgLsinθ－mgL解得v＝2m/s.(2)對A、B組成的系統(tǒng)分析，在物體A從C點壓縮彈簧至將彈簧壓縮到最大壓縮量，又恰好返回到C點的過程中，系統(tǒng)動能的減少量等于因摩擦產(chǎn)生的熱量，即eq