專題510三角恒等變換-重難點(diǎn)題型檢測(cè)（舉一反三）（人教A版2019）

專題5.10三角恒等變換重難點(diǎn)題型檢測(cè)參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2021秋?安徽月考）已知cos(α+π6)=A．-18 B．18 C．-1【解題思路】結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入即可求解．【解答過(guò)程】解：sin(2α+5π6)=cos（2α+π3）＝2cos2（故選：B．2．（3分）（2021秋?湖北期中）若tanx＝2，則sin2x-sinxcos2x-sinxsinA．45 B．-45 C．85【解題思路】由已知條件，推得sinx=255cosx=【解答過(guò)程】解：tanx=2sin2x+cos2當(dāng)sinx=25sin2x-sinxcos2x-sinxsin當(dāng)sinx=-sin2x-sinxcos2x-sinxsin綜上所述，sin2x-sinxcos2x-sinxsin故選：C．3．（3分）（2021秋?青島期中）若tanα＝2，則1+cosA．6 B．3 C．1 D．3【解題思路】由二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入tanα＝2，即可求得結(jié)果【解答過(guò)程】解：1+cos將上式分子分母同時(shí)除以cos2α，可得tan代入tanα＝2，得22故選：D．4．（3分）（2021秋?菏澤期中）已知tanα＝2，則cos2α-sinA．-13 B．13 C．-7【解題思路】由已知利用二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)所求即可求解．【解答過(guò)程】解：因?yàn)閠anα＝2，則cos2α-sin故選：D．5．（3分）（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知tanα=13，則sin2A．45 B．35 C．310 【解題思路】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答過(guò)程】解：已知tanα=1所以sin2α=2sinαcosα故選：B．6．（3分）（2021秋?玉林月考）已知α∈（-π2，π2），且12sin2α﹣5cosα＝9，則A．13 B．-79 C．-3【解題思路】利用已知條件求解cosα的值，然后利用二倍角公式求解即可．【解答過(guò)程】解：α∈（-π2，π2），且12sin2α﹣5cosα可得12﹣12cos2α﹣5cosα＝9，解得cosα=1則cos2α＝2cos2α﹣1=-故選：B．7．（3分）（2021秋?聊城期中）若sinθ+2cosθ＝0，則sinθcos2θcosθ-sinθA．-25 B．25 C．-3【解題思路】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanθ的值，進(jìn)而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)所求即可計(jì)算得解．【解答過(guò)程】解：因?yàn)閟inθ+2cosθ＝0，所以tanθ＝﹣2，則sinθcos2θcosθ-sinθ=sinθ(cos2θ-sin2θ)cosθ-sinθ故選：B．8．（3分）（2021春?東港區(qū)校級(jí)期中）黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618，這一比值也可以表示為a＝2cos72°，則2cosA．2 B．1 C．12 D．【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，即可求解．【解答過(guò)程】解：∵a＝2cos72°，∴a2＝4cos272°，∴a4-a2=2cos72°?2sin72°=∴則2cos故選：C．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2021春?東港區(qū)校級(jí)期中）下列各式中，值為32A．sin14π3 B．sin215°﹣cos215C．1﹣2sin215° D．3tan15°【解題思路】由誘導(dǎo)公式可得A正確，由二倍角公式可得B不正確，C，D正確．【解答過(guò)程】解：A中，sin143π＝sin（5π-π3）＝sinπB中，sin215°﹣cos215°＝﹣cos30°=-32C中，1﹣2sin215°＝cos30°=32，所以D中，3tan15°1-tan215°=32?2tan15°故選：ACD．10．（4分）（2021秋?山東月考）下列等式成立的是（）A．cos215°﹣sin215°=3B．sinπC．12sin40°+32cos40°＝D．tan15°＝2-【解題思路】直接利用和角公式和差角公式及倍角公式的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【解答過(guò)程】解：對(duì)于A：cos215°-sin對(duì)于B：sinπ8cos對(duì)于C：12sin40+3對(duì)于D：tan15°=tan(45°-30故選：AD．11．（4分）（2021春?德城區(qū)校級(jí)期中）下列計(jì)算正確的是（）A．2tan22.5°1-tan2B．1﹣2sin275°=3C．cos4π8-sin4D．cos275°+cos215°+cos75°cos15°=【解題思路】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用逐項(xiàng)化簡(jiǎn)求值即可判斷得解．【解答過(guò)程】解：對(duì)于A，2tan22.5°1-tan222.5°=對(duì)于B，1﹣2sin275°＝cos150°=-對(duì)于C，cos4π8-sin4π8=（cos2π8+sin2π8）（cos2π8-sin2π8對(duì)于D，cos275°+cos215°+cos75°cos15°＝cos275°+sin275°+cos75°sin75°＝1+12sin150°＝1故選：ACD．12．（4分）（2021?湖南模擬）若sinα2=33，α∈（A．cosα=13 B．sinC．sin（α2+π4）=6+236【解題思路】由已知求解cosα2，再由倍角公式及兩角差的正弦逐一分析【解答過(guò)程】解：∵sinα2=33，α∈（∴α2∈（0，π2），cos則cosα=1-2sin2αsinα＝2sinα2cosα2=2sin（α2+=33×sin（α2-π4）＝sinα2cos=33×故選：AC．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2021秋?浦東新區(qū)期末）已知cosθ=-35，則cos2θ的值為【解題思路】由題意利用二倍角的余弦公式，計(jì)算求得結(jié)果．【解答過(guò)程】解：∵cosθ=-35，則cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×故答案為：-714．（4分）（2021秋?安徽月考）已知cosα=35，則sin（5π2+2α）＝【解題思路】直接利用倍角公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答過(guò)程】解：已知cosα=35，則sin（5π2+2α）＝cos2α＝2cos2α故答案為：-715．（4分）（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）若α∈(0，π2)，且cos2【解題思路】利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知等式可得7tan2α﹣20tanα﹣3＝0，由題意可求tanα的值，進(jìn)而根據(jù)二倍角的正切公式即可求解．【解答過(guò)程】解：因?yàn)閏os可得cos2α+sin2α=co整理可得7tan2α﹣20tanα﹣3＝0，解得tanα＝3，或-1又α∈所以tanα＝3，則tan2α=2tanα故答案為：-316．（4分）（2021秋?秦淮區(qū)校級(jí)期中）已知sin(3π+α)=2sin(3π2+α)，則sin【解題思路】利用誘導(dǎo)公式，求出tanα的值，然后利用二倍角公式，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答過(guò)程】解：sin(3π+α)=2sin(3π2+α)，﹣sinα＝﹣2cosα，∴tanα則sin故答案為：43四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2021秋?湖北月考）已知tan（α+π）＝3．（1）求tan2αtan(2021π-α)（2）求sin2α+cos【解題思路】（1）由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式，計(jì)算求得結(jié)果．（2）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，計(jì)算求得結(jié)果．【解答過(guò)程】解：（1）∵tan（α+π）＝3＝tanα，∴tan2α=2tanα∴tan2αtan(2021π-α)（2）sin2α+cos18．（6分）（2021秋?葫蘆島月考）已知銳角α滿足tan（π+2α）=-（1）求tan（α+3π（2）求sin2α+3cos2α．【解題思路】（1）由題意利用誘導(dǎo)公式，二倍角的正切公式化簡(jiǎn)可得tanα的值，進(jìn)而根據(jù)兩角和的正切公式即可求解．（2）由（1）可得tanα＝2，進(jìn)而根據(jù)二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．【解答過(guò)程】解：（1）因?yàn)閠an（π+2α）=-所以tan2α=-所以2tanα1-tan2α=-43又α是銳角，所以tanα＝2，所以tan（α+3π4）（2）因?yàn)橛桑?）可得tanα＝2，所以sin2α+3cos2α=2sinαcosα+3co19．（8分）（2021秋?上月考）已知π4＜α（1）化簡(jiǎn)f（α）；（2）若f(α)=-15，求【解題思路】（1）利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可化簡(jiǎn)得解．（2）由范圍π4＜α＜π2，可得sinα【解答過(guò)程】解：（1）f(α)=-2sinα?∵π4∴f(α)=-（2）∵π4∴sinα＞cosα＞0，由cosα-sinα=-∴tanα=sinα∴tan2α=2tanα20．（8分）（2021秋?豐滿區(qū)校級(jí)月考）已知4sin2α+3cos2α＝0，π4＜α（1）求cos2α的值；（2）若cosβ=255，求cos（α【解題思路】（1）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得tan2α的值，可得cos2α的值．（2）由題意利用二倍角公式求得tanα＝3，可得sinα和cosα的值，再根據(jù)cosβ求得sinβ，可得cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ的值．【解答過(guò)程】解：（1）∵4sin2α+3cos2α＝0，∴tan2α=-∵π4＜α＜π2，∴2α∈（π2，π），∴tan2α求得cos22α=1625，∴cos2α（2）由已知可得，tan2α=-34=2tanα1-tan2α，求得∵π4＜α＜π2，∴再結(jié)合sin2α+cos2α＝1，可得sinα=31010，cos∵cosβ=255，-π2＜β＜0∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=1021．（8分）（2021春?徐匯區(qū)校級(jí)月考）（1）已知π4＜α（2）已知α+β=π4，證明：（1+tanα）（1+tanβ）＝【解題思路】（1）由已知可求sinα＞cosα＞0，進(jìn)而根據(jù)二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可化簡(jiǎn)得解．（2）可得tan（α+β）＝1，由兩角和的正切公式的變形公式易得（1+tanα）（1+tanβ）＝2，即可得證．【解答過(guò)程】解：（1）∵π4∴sinα＞cosα＞0，∴2+2cos2α+1-sin2α-1+sin2α=4cos2α+sinα﹣cosα﹣（sinα+cosα）＝2cosα+sinα﹣cos（2）證明：∵α+β=π∴tan（α+β）＝1，∴左邊＝（1+tanα）（1+tanβ）＝1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝1+tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ＝2＝右邊，得證．22．（8分）（2021春?昌江區(qū)校級(jí)期中）（1）已知θ為第三象限角，化簡(jiǎn)1+cosθ1-cosθ（2）求證：（1﹣tan4A）?c