解密19雙曲線（分層訓練）-2022年高考數(shù)學二輪復習講義分層訓練

解密19雙曲線A組基礎練A組基礎練1、（2022·重慶八中高二期末）已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的左支交于，兩點，若，則的周長為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由雙曲線的定義即可求出的周長.【詳解】設，，由題意可得，由雙曲線的定義可得，，則的周長是.故選：B.2、（2021·遼寧·高二階段練習）若方程表示的是雙曲線，則t的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題知，進而解方程即可得答案.【詳解】解：因為方程表示的是雙曲線，所以，解得：故選：C3、（2022·全國·模擬預測（理））若雙曲線的一個焦點為，則（）．A． B． C． D．8【答案】D【解析】根據的關系計算可解．【詳解】因為雙曲線的一個焦點為，所以，所以，解得．故選：D．4、（2021·江蘇·高二專題練習）雙曲線的虛軸長是實軸長的倍，則實數(shù)的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】把方程化為標準方程可判斷焦點位置和實軸長、虛軸長可得答案.【詳解】因為方程表示雙曲線，所以，且，所以雙曲線的焦點在軸上，且，所以，又虛軸長是實軸長的倍，所以，解得.故選：C.5、（2022·河南·模擬預測（理））已知雙曲線的一條漸近線過點，是的左焦點，且，則雙曲線的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據一條漸近線過點，可確定，再結合，，推得為等邊三角形，從而確定，可求得雙曲線方程.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，點在一條漸近線上，如圖示：所以，則，且兩條漸近線的傾斜角分別為60°，120°，則,又，（為坐標原點），所以為等邊三角形，從而,由，，解得，，所以雙曲線的方程為,故選：A.6、（2022·內蒙古·鐵路一中高二期末）已知雙曲線，過左焦點且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點，若弦的長恰等于實鈾的長，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出，進而求出，之間的關系，即可求解結論．【詳解】解：由題意，直線方程為：，其中，因此，設，，，，解得，得，，弦的長恰等于實軸的長，，，故選：B．7、（2022·全國·模擬預測）已知雙曲線的左焦點為F，過點F作C的一條漸近線的平行線交C于點A，交另一條漸近線于點B．若，則C的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由可得，結合條件可得，代入雙曲線方程即求.【詳解】由題意得左焦點，設一漸近線的方程為，則另一漸近線的方程為，由題知直線FB：,由，得，即，由，可得A為FB的中點，又，∴，∴，化簡得，∴.故選：A.8、（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）已知雙曲線C：（，）的右焦點F（，0），點Q是雙曲線C的左支上一動點，圓E：與y軸的一個交點為P，若，則雙曲線C的離心率的最大值為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用雙曲線的定義進行焦半徑的轉化，由此求出的最小值即可求出a的范圍，再根據離心率計算公式可求離心率最大值.【詳解】設雙曲線C的左焦點為，則，即，故．由題意可得，∵，∴，則雙曲線C的離心率．故選：A．9、（2022·江蘇揚州·高三期末）已知為橢圓：()與雙曲線：()的公共焦點，點M是它們的一個公共點，且，分別為，的離心率，則的最小值為（）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】設橢圓、雙曲線的共同半焦距為c，利用橢圓、雙曲線定義及余弦定理建立關系，再借助均值不等式計算作答.【詳解】設橢圓、雙曲線的共同半焦距為c，由橢圓、雙曲線對稱性不妨令點M在第一象限，由橢圓、雙曲線定義知：，且，則有，，在中，由余弦定理得：，即，整理得：，于是得，當且僅當，即時取“=”，從而有，所以的最小值為.故選：A10、（2022·河南·沈丘縣第一高級中學高二期末（文））已知點，，雙曲線C上除頂點外任一點滿足直線RM與QM的斜率之積為4.(1)求C的方程；(2)若直線l過C上的一點P，且與C的漸近線相交于A，B兩點，點A，B分別位于第一、第二象限，，求的最小值.【答案】(1)(2)1【解析】（1）由題意得，化簡可得答案，（2）求出漸近線方程，設點，，，，，由可得，代入雙曲線方程化簡可得，然后表示的坐標，再進行數(shù)量積運算，化簡后利用基本不等式可得答案(1)由題意得，即，整理得，因為雙曲線的頂點坐標滿足上式，所以C的方程為.(2)由（1）可知，曲線C的漸近線方程為，設點，，，，，由，得，整理得，①，把①代入，整理得②，因為，，所以.由，得，則，當且僅當時等號成立，所以的最小值是1.11、（2021·江蘇如皋·高三階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知，，動點P滿足.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)若軌跡C的左，右頂點分別為，，點為軌跡C上異于，的一個動點，直線，分別與直線相交于S，T兩點，以ST為直徑的圓與x軸交于M，N兩點，求四邊形SMTN面積的最小值.【答案】(1)；(2)6.【解析】(1)，得動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，根據a、b即可求出結果；(2)可求得、、、，進而面積為，利用基本不等式計算即可.(1)由動點P滿足，得動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，且，所以，所以，故動點P的軌跡C方程為：；(2)由(1)知，，所以直線的方程為，即，與直線的交點S的坐標為，直線的方程為，即，與直線的交點T的坐標為，設以ST為直徑的圓的方程為，令，則，所以，，令，則，設，則，所以，又點在雙曲線上，所以，故，又，所以，當且僅當即時等號成立，所以四邊形面積的最小值為6.B組提升練B組提升練1、（2021·山東濟南·高三階段練習）雙曲線的虛軸長為4，離心率，分別是它的左、右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點，且│AB│是的等差中項，則│AB│等于（）A．8 B．4 C．2 D．8【答案】A【解析】由虛軸長求出b=2,再根據離心率求出a,進而結合題意及雙曲線的定義求得答案.【詳解】由題意，，由.由雙曲線的定義可知：，兩式相加得：.因為│AB│是的等差中項，所以，于是.故選：A.2、（2021·四川·威遠中學校高二階段練習（文））“”是“方程雙曲線”的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】先根據方程雙曲線求出m的范圍，進而判斷答案.【詳解】若方程雙曲線，則，解得,所以“”是“方程雙曲線”的充分必要條件.故選：A.3、（2022·湖北·沙市中學高二期末）若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】根據題意得出的符號，進而得到的象限.【詳解】由題意，，所以在第四象限.故選：D.4、（2022·內蒙古赤峰·高三期末（理））已知雙曲線的兩個焦點為，，為雙曲線上一點，，的內切圓的圓心為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據題意得，，，，進而在中，利用等面積法得的內切圓的半徑，再設的內切圓與邊相切于點，進而在中結合勾股定理求解即可.【詳解】解：因為雙曲線的兩個焦點為，，為雙曲線上一點，，所以，，，因為，所以，設的內切圓的半徑為，則，即，解得，如圖，設的內切圓與邊相切于點，則，，所以，所以故選：A5、（2021·山東泗水·高二期中）已知雙曲線的漸近線與圓相切，且該雙曲線過點，則該雙曲線的方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據雙曲線的漸近線與圓相切得到，再根據曲線經過點，得到解方程組即得解.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，因為雙曲線的漸近線與圓相切，所以.又雙曲線經過點，所以.所以雙曲線的方程為.故選：C6、（2022·江西·南昌市實驗中學高二階段練習（理））如圖所示，雙曲線：的左、右焦點分別為、，過的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A、B兩點，A是的中點，且，則雙曲線C的離心率（）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】由已知可得，設，，，，由點在漸近線上，求得點坐標，再由為的中點，得到點坐標，把代入漸近線，即可求得的離心率．【詳解】A是的中點，為△的中位線，，所以，所以．設，，，，點在漸近線上，，得．又為的中點，，在漸近線上，，得，則雙曲線的離心率．故選：B7、（2022·江西撫州·高二期末（理））已知雙曲線的左焦點為F，O為坐標原點，M，N兩點分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得且，從而求出點的坐標，將其代入雙曲線方程中，即可得出離心率.【詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點，設點在第二象限，在第一象限.由雙曲線的對稱性，可得，過點作軸交軸于點，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線的離心率，所以取，則故選：C8、（福建省龍巖市20212022學年高二上學期期末教學質量檢查數(shù)學試題）經過點且與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】共漸近線的雙曲線方程，設，把點代入方程解得參數(shù)即可.【詳解】設，把點代入方程解得參數(shù)，所以化簡得方程故選：C.9、（2022·遼寧·大連八中高二期末）設雙曲線的左、右頂點分別為、，點在雙曲線上第一象限內的點，若的三個內角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設點，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進而可求得的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【詳解】易知點、，設點，其中，，且，，且，，，所以，，，因為，所以，，則，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.10、（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知圓與雙曲線的漸近線相切，則正實數(shù)a的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分別求出圓的圓心坐標和雙曲線的漸近線方程利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】圓的標準方程為，其圓心坐標為，則圓與雙曲線的兩條漸近線都相切，雙曲線的漸近線方程為，則，解得，故選:.11、（2022·浙江·慈溪中學高三階段練習）已知點是雙曲線右支上的任意一點，由點向雙曲線的兩條漸近線引垂線，垂足為和，則的面積為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設，根據雙曲線的漸近線方程可得，利用點到直線的距離公式可得、，代入可得答案.【詳解】設，雙曲線的漸近線方程為雙曲線，所以漸近線的傾斜角為，所以，，因為，，所以的面積為.故選：C.12、（2021·四川·石室中學一模（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線l交雙曲線C的漸近線于A，B兩點，若，（表示的面積），則雙曲線C的離心率的值為（）A． B． C． D．或【答案】D【解析】以直線斜率是否存在進行分類.斜率存在時，直接代入題設中的式子，求出的值，進而求出離心率.斜率不存在時，由題意得出點的軌跡為圓，再利用解出點的坐標，根據“點差法”求出，進而求出離心率即可.【詳解】若直線斜率不存在，不妨設點，則所以，則離心率；若直線斜率存在，設，中點，不妨設M在x軸上方，由，得，故點M在圓上，由，得，則，所以．由得，即．當時，，得．當時，，矛盾，舍去．綜上所述，或．故選：D．【點睛】關鍵點點睛：本題是求雙曲線的離心率，在直線斜率不存在時，利用兩點的中點，采用“點差法”求出是解題的關鍵.13、（2022·遼寧葫蘆島·高二期末）橢圓與雙曲線有公共的焦點、，與在第一象限內交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率的范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求得，可得出，設橢圓和雙曲線的離心率分別為、，可得，由可求得的取值范圍.【詳解】設，設雙曲線的實軸長為，因為與在第一象限內交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，則，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，，則，設橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則，即，因為，則，故.故選：B.14、（2022·江西·高三期末（理））已知點為雙曲線的下焦點，為其上頂點，過作垂直于的實軸的直線交于、兩點，若為銳角三角形，則的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出點、的坐標，分析可知為銳角，可得出，由此可求得雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】設雙曲線的半焦距為，由雙曲線的對稱性可知點、關于軸對稱，則，因為為銳角三角形，則為銳角，將代入方程可得，取點、，易知點，，，故，即，可得，又因為，故.故選：B.15、（2022·重慶·西南大學附中高二期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且雙曲線C過點.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)過點M的直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點，是否存在直線AB，使得成立，若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，直線AB的方程為：或.【解析】(1)根據給定的漸近線方程及所過的點列式計算作答.(2)假定存在符合條件的直線AB，設出其方程，借助弦長公式計算判斷作答.(1)依題意，，解得：，所以雙曲線C的標準方程是.(2)假定存在直線AB，使得成立，顯然不垂直于y軸，否則，設直線：，由消去x并整理得：，因直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點，設，于是得，則有，即或，因此，，解得，所以存在直線AB，使得成立，此時，直線AB的方程為：或.16、（2021·安徽·安慶市第二中學高二階段練習）設雙曲線的上焦點為是雙曲線上的兩個不同的點.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)設直線與軸交于點，關于軸的對稱點為.若三點共線，求證：為定值.【答案】(1)；(2)，證明見解析.【解析】（1）直接求出漸近線方程；（2）分直線MN的斜率不存在時或存在兩種情況進行討論，用“設而不求法”直接證明；(1)令，則，∴雙曲線的