專題17空間向量與立體幾何

專題1.7空間向量與立體幾何（1）高考對本部分內(nèi)容的考查以能力為主，重點考查線面關(guān)系、面面關(guān)系、線面角及二面角的求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，空間想象能力及運算求解能力等．主要有兩種考查形式：①利用立體幾何的知識證明線面關(guān)系、面面關(guān)系；②考查學(xué)生利用空間向量解決立體幾何的能力，考查空間向量的坐標(biāo)運算，以及平面的法向量等，難度屬于中等偏上，解題時應(yīng)熟練掌握空間向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運算，把空間立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.（2）運用空間向量坐標(biāo)運算求空間角的一般步驟：①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②求出相關(guān)點的坐標(biāo)；③寫出向量坐標(biāo)；④結(jié)合公式進行論證、計算；⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．（3）求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．注意：兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補角．設(shè)平面α，β的法向量分別為μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夾角為θ(0≤θ≤π)，則.（4）用向量解決探索性問題的方法：①確定點在線段上的位置時，通常利用向量共線來求．②確定點在平面內(nèi)的位置時，充分利用平面向量基本定理表示出有關(guān)向量的坐標(biāo)而不是直接設(shè)出點的坐標(biāo)．③解題時，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法解題．1．芻甍（chúméng）是中國古代數(shù)學(xué)書中提到的一種幾何體．《九章算術(shù)》中有記載“下有袤有廣，而上有袤無廣”，可翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．”如圖，在芻甍中，四邊形是正方形，平面和平面交于．（1）求證：平面；（2）若，，，，再從條件①，條件②，條件③中選擇一個作為已知，使得芻甍存在，并求平面和平面夾角的余弦值．條件①：，；條件②：平面平面；條件③：平面平面．【試題來源】江蘇省揚州中學(xué)2022屆高三下學(xué)期開學(xué)檢測【答案】（1）證明見解析；（2）只有條件②符合，余弦值為．【解析】（1）在正方形中，，平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知，平面，又平面，平面．，又，，所以四邊形為等腰梯形，四邊形為梯形；條件①：，，則平面，即平面，又平面，，此時四邊形不為等腰梯形，故條件①不符合條件③：平面平面，且平面平面又，平面，平面，此時四邊形不為等腰梯形，故條件③不符合；條件②：平面平面，；過點作于，過作于，連接，由平面平面，平面平面，平面又平面，以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為平面，平面，平面平面，在四邊形中，，，，所以，，在正方形中，，所以因為，且，所以，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，由，令，則；設(shè)平面的一個法向量，由，令，則．設(shè)平面和平面的夾角為，根據(jù)圖形可以看出二面角的大小是銳角，則．所以平面和平面的夾角的余弦值為．2．已知梯形ABCD如圖（1）所示，其中AB//CD，∠BAD=90°，∠BCD=45°，CD=BC，過點A作BC的平行線交線段CD于M，點N為線段BC的中點．現(xiàn)將△DAM沿AM進行翻折，使點D到達點P的位置，且平面PAM⊥平面AMC，得到的圖形如圖（2）所示．（1）求證：AP⊥PN；（2）求平面PAN與平面PCM所形成的銳二面角的余弦值．【試題來源】河南省頂級中學(xué)20212022學(xué)年高三上學(xué)期階段性測試（一）【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）如圖，在平面圖形中，連接BD交AM于O，連接MN．因為，，所以四邊形ABCM為平行四邊形，所以AB=CM．在△CBD中，由余弦定理，得BD2=CD2+CB22CD·CB·cos∠BCD=CB2，所以CB=BD，則CB2+BD2=CD2，故∠CBD=90°．則∠ABD=45°，則AB=AD=BD，故CM=DM．因為M，N分別為CD，BC的中點，所以，所以MN⊥AM．在立體圖形中，連接MN，因為平面PAM⊥平面AMC，且平面PAM∩平面AMC=AM，MN平面ABCM，故MN⊥平面PAM．因為PA平面PAM，故AP⊥MN，又AP⊥MP，MN∩MP=M，故AP⊥平面PMN，在PN平面PNN，故AP⊥PN．（2）取AM的中點O，連接OB，OP，MN．由（1）可知，可以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)．P（0，0，），A（，0，0），C（，，0），M（，0，0），N（，，0），，，設(shè)平面PCM的法向量為，則，即，令，得，，，設(shè)平面PAN的法向量為，則，即，令，得．設(shè)平面PAN與平面PCM所形成的銳二面角為θ，．即所求銳二面角的余弦值為．3．在四棱錐P?ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=PC=PD=2，PA=AD=4．（1）求證：平面PCD⊥平面ABCD；（2）求二面角B?PC?D的正弦值．【試題來源】湖南省長沙市第一中學(xué)20212022學(xué)年高三上學(xué)期月考（五）【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）底面ABCD如下圖：可以解得，，，在四棱錐中：，，所以平面PDC，又平面ABCD，所以平面平面PDC；（2）取CD的中點O如下圖：連結(jié)，由于是等邊三角形，所以，，平面；以O(shè)為坐標(biāo)原點，，所在直線分別為y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則令，得，易知平面的一個法向量為，設(shè)二面角的大小為，則，所以，二面角的正弦值為．4．如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是邊長為2的正三角形，，點D在線段上且，點E是線段的動點．（1）當(dāng)點E在什么位置時，直線平面？（2）當(dāng)直線平面時，求二面角的余弦值．【試題來源】四川省大數(shù)據(jù)精準教學(xué)聯(lián)盟2022屆高三第一次統(tǒng)一檢測【答案】（1）當(dāng)點E是線段上靠近點的三等分點時，（2）【解析】（1）當(dāng)點E是線段上靠近點的三等分點時，平面．過點D作交于點F，過點F作交于點E，連接．因為平面，所以平面．因為平面，所以平面．又，則平面平面，因為平面，所以平面．而，所以當(dāng)點E是線段上靠近點的三等分點時，直線平面．（2）以的中點O為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則．由，得，．設(shè)平面的一個法向量為．由得令，得，即．設(shè)二面角的平面角為，而面的一個法向量為，則．故二面角的余弦值為．5．如圖所示，在四棱錐中，是面積為的等邊三角形，，，二面角為直二面角．（1）若平面平面，求證：；（2）若點為線段上靠近的三等分點，求直線與平面所成角的余弦值．【試題來源】華大新聯(lián)盟20212022學(xué)年高三上學(xué)期1月教學(xué)質(zhì)量測評【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）延長、交于點，連接，則即為平面與平面的交線．，，故在中，、分別為、的中點，故，所以，，，所以，，故，同理可得，，，故平面，因為平面，故，即，而，故．（2）取的中點，連接交于點，連接，，則，同理可得，故為等邊三角形，為的中點，則，，則，，則為的中點，因為為等邊三角形，為的中點，故，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因為，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，可得，所以，、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，，則，因此，直線與平面所成角的余弦值為．6．如圖所示，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，為等邊三角形，，點S在平面ABCD內(nèi)的射影O為線段AD的中點．（1）求證：平面平面SBC；（2）已知點E在線段SB上，，求二面角的余弦值．【試題來源】河南省許昌市20212022學(xué)年高三下學(xué)期高中畢業(yè)班（二模）階段性測試（四）【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）如圖，連接BD．在菱形ABCD中，，故為等邊三角形．因為O為AD的中點，所以．因為，所以．由條件可知底面ABCD，又平面ABCD，所以，因為，OS，平面SOB，所以平面SOB．因為平面SBC，故平面平面SBC．（2）因為底面ABCD，，所以可以以為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則．因為，，，，所以．由，得，設(shè)是平面OEC的法向量，由OE·m=0OC令，則，，則，因為平面BOE的一個法向量為，所以，故由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．7．如圖所示，在三棱錐ABCD中，，，三棱錐EACD是正三棱錐，．（1）求證：平面BCD；（2）求直線BC與平面ADE所成角的正弦值【試題來源】河南省部分學(xué)校20212022學(xué)年高三上學(xué)期模擬調(diào)研考試（三）【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）取CD中點F，連接BF，EF，AF，因為，，，所以，，，因為，所以平面ABF，因為，所以平面AEF，所以平面ABF與平面AEF重合，A，B，F(xiàn)，E共面，因為，，，，所以，，所以四邊形ABFE是平行四邊形，，因為平面BCD，平面BCD，所以平面BCD；（2）取BF中點O，由（1）知平面ABF，且，所以平面BCD，以點O為坐標(biāo)原點，過點O與CD平行的直線為x軸，直線OF，直線OA分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則，，，，，，所以，，．設(shè)是平面ADE的一個法向量，則，即，取，得，設(shè)直線BC與平面ADE所成角為，則，所以直線BC與平面ADE所成角的正弦值為．8．在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，在“陽馬”中，側(cè)棱底面ABCD，且．（1）若，試計算底面ABCD面積的最大值；（2）過棱PC的中點E作，交PB于點F，連DE，DF，BD．若平面DEF與平面ABCD所成銳二面角的大小為，試求的值．【試題來源】安徽省六校教育研究會2022屆高三下學(xué)期2月第二次聯(lián)考【答案】（1），（2）【解析】（1）設(shè)，，由已知可知，而底面ABCD的面積為xy．則由均值不等式，可知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．（2）如圖，以點D為原點，射線DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，，則，，，，所以．由于E是PC的中點，則，故，于是，即．又已知，而，所以平面DEF，故是平面DEF的一個法向量．而因為平面ABCD，所以是平面ABCD的一個法向量．由已知平面DEF與平面ABCD所成銳二面角的大小為，則，解得，所以．故當(dāng)平面DEF與平面ABCD所成銳二面角的大小為，9．如圖，在四棱錐PABCD中，平面底面ABCD，平面底面ABCD，，，，，E是PD的中點．（1）求證：底面ABCD；（2）求二面角BACE的余弦值．【試題來源】河南省南陽市20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試【答案】（1）證明過程見解析；（2）．【解析】（1）因為平面底面，平面底面，因為，，所以，所以平面，因為平面，所以，同理，因為，所以底面．（2）由（1）知、、兩兩垂直，建系如圖，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，1，，設(shè)是平面的法向量，，，

則有，令，所以，，，因為底面，所以，0，是平面的法向量，因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．10．在如圖所示的四棱錐中，四邊形為矩形，平面，E為PD的中點．（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【試題來源】重慶市長壽區(qū)2022屆高三上學(xué)期期末【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）連接，交于點，連接，因為為中點，為中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）如圖，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，因為平面，所以平面的一個法向量為，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，，所以，，，所以，由圖可知二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．11．如圖，四棱錐的底面是正方形，，，，P為側(cè)棱上的點，且．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。驹囶}來源】廣東省信宜市第二中學(xué)2022屆高三下學(xué)期開學(xué)熱身【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）因為四邊形是正方形，所以點是的中點，因為，所以，，所以平面；（2）因為四邊形是正方形，，所以，由（1）知，如圖以點為原點，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，，易知平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以，所以，又二面角的平面角為銳角，所以二面角的大小為．12．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，設(shè)過AD的平面與棱PB，PC分別交于點E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形AEFD為梯形；（2）若E為PB的中點，求平面ADE與平面BDF所成銳二面角的余弦值．【試題來源】山東省大教育聯(lián)盟學(xué)校20212022學(xué)年高三下學(xué)期收心考試（開學(xué)考試）【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又平面AEFD，平面平面，所以．又，所以四邊形AEFD為梯形．（2）以D為原點，以，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因為E為PB的中點，所以F為PC的中點，則，，，，．設(shè)平面BDF的法向量為，則，即，取，則．設(shè)平面ADE的法向量為，則，即，取，則．設(shè)向量，的夾角為，則，故平面ADE與平面BDF所成銳二面角的余弦值為．13．如圖，在直三棱柱中，D、E分別是棱、上的點，，．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面ABC所成的角為45°，且，求二面角的正弦值．【試題來源】西南四省名校2022屆高三上學(xué)期第二次大聯(lián)考【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）取中點，AB中點O，連交于F，連，，則，因為，所以，所以是平行四邊形，所以，因為，所以．又在直三棱柱中，平面，所以，結(jié)合，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知，OC、OB、兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，取上一點M，使，連AM，則，又平面ABC，與平面ABC所成角為，所以，所以，不妨設(shè)，則，，，，所以，，，，，，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，取，得，平面的一個法向量，，所以二面角的平面角的正弦值為．14．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，，，，．（1）證明：平面ABCD；（2）求二面角的正弦值．【試題來源】河南省2022屆高三百校2月大聯(lián)考【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）取AD的中點為M，連接EM，則，又，，故四邊形AFEM為正方形，故，故，又，，故平面ECD，則．又，，故平面ADEF，則．又，，AD，平面ABCD，故平面ABCD．（2）連接BE，BD，以A為原點，，，所在方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0），E（0，2，2），則，，，．設(shè)平面BED的一個法向量為．則即令，則．設(shè)平面CED的一個法向量為，則即令，則，，則，故二面角的正弦值為．15．如圖，在三棱柱中，．（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值．【試題來源】青銅鳴20212022學(xué)年高三上學(xué)期12月大聯(lián)考【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）連接，由，可得，故，

故，故．

又，平面，所以平面，

又平面，所以，

又，所以．（2）設(shè)D為的中點，連接，由（1）可知，故．又，所以為等邊三角形，故．又平面，所以平面，因為平面，故．又平面，所以平面，故，綜上，兩兩垂直．

故以為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因為，故，則，又．

設(shè)為平面的法向量，則，即，可取．

設(shè)為平面的法向量，則，即可取，

故．

因為所求二面角為鈍角，故二面角的余弦值為．16．如圖，在直三棱柱中，，D，E分別為的中點．（1）求證：平面；（2）若，二面角的大小為，求直線與平面所成角的大?。驹囶}來源】黑龍江省嫩江市第一中學(xué)等20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）取的中點M，連結(jié)，則，且，且．所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面平面，所以平面．（2）以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以．因為，所以，所以．又，設(shè)平面的一個法向量，則，所以，令，則，所以；又平面的一個法向量，所以，即，解得，所以．又，所以，所以直線與平面所成角為．17．在平面α內(nèi)的四邊形ABCD（如圖1），△ABC和△ACD均為等腰三角形，其中AC＝2，AB＝BC＝，AD＝CD＝，現(xiàn)將△ABC和△ACD均沿AC邊向上折起（如圖2），使得B，D兩點到平面α的距離分別為1和2．（1）求證：BD⊥AC；（2）求二面角A?BD?C余弦值．【試題來源】河南省重點中學(xué)新課標(biāo)卷20212022學(xué)年高三上學(xué)期調(diào)研考試【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）取的中點，連接，，，，，，又，平面，又平面，．（2）分別過，作平面的垂線，垂足分別為，，則，，三點共線，由（1）可知平面，，，，，，，，以為原點，以O(shè)A為x軸，以O(shè)E為y軸，過O點作EB的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，0，，，1，，，0，，，，，則，，，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，平面的法向量為，，，則，，即，，令可得，1，，令可得，1，，，由圖形可知二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．18．如圖，已知四棱錐的底面是矩形，平面ABCD，，點E是棱AD上的一點，且，點F是棱PC上的一點，且．（1）求證：平面PEB；（2）求直線PC與平面PEB所成角的正弦值．【試題來源】江西省吉安市2022屆高三上學(xué)期期末【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）在棱PB上取一點G，使得，連接GF，GE，在中，，，所以，且．又，，所以，，所以四邊形DEGF是平行四邊形．所以，又平面PBE，平面PBE，所以平面PBE．（2）如圖，以D為原點，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，易得．所以，，，，，所以，，．設(shè)平面PBE的一個法向量是，可得令，解得，，所以．設(shè)直線PC與平面PEB所成角為，所以，即直線PC與平面PEB所成角的正弦值是．19．在如圖所示的多面體中，點在矩形的同側(cè)，直線平面，平面平面，且為等邊三角形，．（1）證明：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦