專題17空間向量與立體幾何

專題1.7空間向量與立體幾何（1）高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查以能力為主，重點(diǎn)考查線面關(guān)系、面面關(guān)系、線面角及二面角的求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，空間想象能力及運(yùn)算求解能力等．主要有兩種考查形式：①利用立體幾何的知識(shí)證明線面關(guān)系、面面關(guān)系；②考查學(xué)生利用空間向量解決立體幾何的能力，考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及平面的法向量等，難度屬于中等偏上，解題時(shí)應(yīng)熟練掌握空間向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，把空間立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.（2）運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；③寫出向量坐標(biāo)；④結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．（3）求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．注意：兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角．設(shè)平面α，β的法向量分別為μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夾角為θ(0≤θ≤π)，則.（4）用向量解決探索性問題的方法：①確定點(diǎn)在線段上的位置時(shí)，通常利用向量共線來求．②確定點(diǎn)在平面內(nèi)的位置時(shí)，充分利用平面向量基本定理表示出有關(guān)向量的坐標(biāo)而不是直接設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)．③解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題．1．芻甍（chúméng）是中國古代數(shù)學(xué)書中提到的一種幾何體．《九章算術(shù)》中有記載“下有袤有廣，而上有袤無廣”，可翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．”如圖，在芻甍中，四邊形是正方形，平面和平面交于．（1）求證：平面；（2）若，，，，再從條件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)作為已知，使得芻甍存在，并求平面和平面夾角的余弦值．條件①：，；條件②：平面平面；條件③：平面平面．【試題來源】江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2022屆高三下學(xué)期開學(xué)檢測【答案】（1）證明見解析；（2）只有條件②符合，余弦值為．【解析】（1）在正方形中，，平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知，平面，又平面，平面．，又，，所以四邊形為等腰梯形，四邊形為梯形；條件①：，，則平面，即平面，又平面，，此時(shí)四邊形不為等腰梯形，故條件①不符合條件③：平面平面，且平面平面又，平面，平面，此時(shí)四邊形不為等腰梯形，故條件③不符合；條件②：平面平面，；過點(diǎn)作于，過作于，連接，由平面平面，平面平面，平面又平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，在四邊形中，，，，所以，，在正方形中，，所以因?yàn)?，且，所以，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，令，則；設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，令，則．設(shè)平面和平面的夾角為，根據(jù)圖形可以看出二面角的大小是銳角，則．所以平面和平面的夾角的余弦值為．2．已知梯形ABCD如圖（1）所示，其中AB//CD，∠BAD=90°，∠BCD=45°，CD=BC，過點(diǎn)A作BC的平行線交線段CD于M，點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)．現(xiàn)將△DAM沿AM進(jìn)行翻折，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面PAM⊥平面AMC，得到的圖形如圖（2）所示．（1）求證：AP⊥PN；（2）求平面PAN與平面PCM所形成的銳二面角的余弦值．【試題來源】河南省頂級(jí)中學(xué)20212022學(xué)年高三上學(xué)期階段性測試（一）【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）如圖，在平面圖形中，連接BD交AM于O，連接MN．因?yàn)?，，所以四邊形ABCM為平行四邊形，所以AB=CM．在△CBD中，由余弦定理，得BD2=CD2+CB22CD·CB·cos∠BCD=CB2，所以CB=BD，則CB2+BD2=CD2，故∠CBD=90°．則∠ABD=45°，則AB=AD=BD，故CM=DM．因?yàn)镸，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，所以，所以MN⊥AM．在立體圖形中，連接MN，因?yàn)槠矫鍼AM⊥平面AMC，且平面PAM∩平面AMC=AM，MN平面ABCM，故MN⊥平面PAM．因?yàn)镻A平面PAM，故AP⊥MN，又AP⊥MP，MN∩MP=M，故AP⊥平面PMN，在PN平面PNN，故AP⊥PN．（2）取AM的中點(diǎn)O，連接OB，OP，MN．由（1）可知，可以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)．P（0，0，），A（，0，0），C（，，0），M（，0，0），N（，，0），，，設(shè)平面PCM的法向量為，則，即，令，得，，，設(shè)平面PAN的法向量為，則，即，令，得．設(shè)平面PAN與平面PCM所形成的銳二面角為θ，．即所求銳二面角的余弦值為．3．在四棱錐P?ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=PC=PD=2，PA=AD=4．（1）求證：平面PCD⊥平面ABCD；（2）求二面角B?PC?D的正弦值．【試題來源】湖南省長沙市第一中學(xué)20212022學(xué)年高三上學(xué)期月考（五）【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）底面ABCD如下圖：可以解得，，，在四棱錐中：，，所以平面PDC，又平面ABCD，所以平面平面PDC；（2）取CD的中點(diǎn)O如下圖：連結(jié)，由于是等邊三角形，所以，，平面；以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，得，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則，所以，二面角的正弦值為．4．如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是邊長為2的正三角形，，點(diǎn)D在線段上且，點(diǎn)E是線段的動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，直線平面？（2）當(dāng)直線平面時(shí)，求二面角的余弦值．【試題來源】四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)聯(lián)盟2022屆高三第一次統(tǒng)一檢測【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)E是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，（2）【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)E是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，平面．過點(diǎn)D作交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作交于點(diǎn)E，連接．因?yàn)槠矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫?，所以平面．又，則平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面．而，所以?dāng)點(diǎn)E是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，直線平面．（2）以的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則．由，得，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為．由得令，得，即．設(shè)二面角的平面角為，而面的一個(gè)法向量為，則．故二面角的余弦值為．5．如圖所示，在四棱錐中，是面積為的等邊三角形，，，二面角為直二面角．（1）若平面平面，求證：；（2）若點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值．【試題來源】華大新聯(lián)盟20212022學(xué)年高三上學(xué)期1月教學(xué)質(zhì)量測評(píng)【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）延長、交于點(diǎn)，連接，則即為平面與平面的交線．，，故在中，、分別為、的中點(diǎn)，故，所以，，，所以，，故，同理可得，，，故平面，因?yàn)槠矫?，故，即，而，故．?）取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，則，同理可得，故為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，，則，，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，故，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，可得，所以，、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，，則，因此，直線與平面所成角的余弦值為．6．如圖所示，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，為等邊三角形，，點(diǎn)S在平面ABCD內(nèi)的射影O為線段AD的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面SBC；（2）已知點(diǎn)E在線段SB上，，求二面角的余弦值．【試題來源】河南省許昌市20212022學(xué)年高三下學(xué)期高中畢業(yè)班（二模）階段性測試（四）【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）如圖，連接BD．在菱形ABCD中，，故為等邊三角形．因?yàn)镺為AD的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以．由條件可知底面ABCD，又平面ABCD，所以，因?yàn)?，OS，平面SOB，所以平面SOB．因?yàn)槠矫鍿BC，故平面平面SBC．（2）因?yàn)榈酌鍭BCD，，所以可以以為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則．因?yàn)椋?，，，所以．由，得，設(shè)是平面OEC的法向量，由OE·m=0OC令，則，，則，因?yàn)槠矫鍮OE的一個(gè)法向量為，所以，故由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．7．如圖所示，在三棱錐ABCD中，，，三棱錐EACD是正三棱錐，．（1）求證：平面BCD；（2）求直線BC與平面ADE所成角的正弦值【試題來源】河南省部分學(xué)校20212022學(xué)年高三上學(xué)期模擬調(diào)研考試（三）【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）取CD中點(diǎn)F，連接BF，EF，AF，因?yàn)椋?，，所以，，，因?yàn)?，所以平面ABF，因?yàn)椋云矫鍭EF，所以平面ABF與平面AEF重合，A，B，F(xiàn)，E共面，因?yàn)?，，，，所以，，所以四邊形ABFE是平行四邊形，，因?yàn)槠矫鍮CD，平面BCD，所以平面BCD；（2）取BF中點(diǎn)O，由（1）知平面ABF，且，所以平面BCD，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O與CD平行的直線為x軸，直線OF，直線OA分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則，，，，，，所以，，．設(shè)是平面ADE的一個(gè)法向量，則，即，取，得，設(shè)直線BC與平面ADE所成角為，則，所以直線BC與平面ADE所成角的正弦值為．8．在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，在“陽馬”中，側(cè)棱底面ABCD，且．（1）若，試計(jì)算底面ABCD面積的最大值；（2）過棱PC的中點(diǎn)E作，交PB于點(diǎn)F，連DE，DF，BD．若平面DEF與平面ABCD所成銳二面角的大小為，試求的值．【試題來源】安徽省六校教育研究會(huì)2022屆高三下學(xué)期2月第二次聯(lián)考【答案】（1），（2）【解析】（1）設(shè)，，由已知可知，而底面ABCD的面積為xy．則由均值不等式，可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．（2）如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，，則，，，，所以．由于E是PC的中點(diǎn)，則，故，于是，即．又已知，而，所以平面DEF，故是平面DEF的一個(gè)法向量．而因?yàn)槠矫鍭BCD，所以是平面ABCD的一個(gè)法向量．由已知平面DEF與平面ABCD所成銳二面角的大小為，則，解得，所以．故當(dāng)平面DEF與平面ABCD所成銳二面角的大小為，9．如圖，在四棱錐PABCD中，平面底面ABCD，平面底面ABCD，，，，，E是PD的中點(diǎn)．（1）求證：底面ABCD；（2）求二面角BACE的余弦值．【試題來源】河南省南陽市20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試【答案】（1）證明過程見解析；（2）．【解析】（1）因?yàn)槠矫娴酌妫矫娴酌?，因?yàn)?，，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理，因?yàn)?，所以底面．?）由（1）知、、兩兩垂直，建系如圖，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，1，，設(shè)是平面的法向量，，，

則有，令，所以，，，因?yàn)榈酌妫裕?，是平面的法向量，因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為．10．在如圖所示的四棱錐中，四邊形為矩形，平面，E為PD的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【試題來源】重慶市長壽區(qū)2022屆高三上學(xué)期期末【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，，所以，，，所以，由圖可知二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．11．如圖，四棱錐的底面是正方形，，，，P為側(cè)棱上的點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。驹囶}來源】廣東省信宜市第二中學(xué)2022屆高三下學(xué)期開學(xué)熱身【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)椋裕?，所以平面；?）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，，所以，由?）知，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，所以，又二面角的平面角為銳角，所以二面角的大小為．12．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，設(shè)過AD的平面與棱PB，PC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形AEFD為梯形；（2）若E為PB的中點(diǎn)，求平面ADE與平面BDF所成銳二面角的余弦值．【試題來源】山東省大教育聯(lián)盟學(xué)校20212022學(xué)年高三下學(xué)期收心考試（開學(xué)考試）【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又平面AEFD，平面平面，所以．又，所以四邊形AEFD為梯形．（2）以D為原點(diǎn)，以，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以F為PC的中點(diǎn)，則，，，，．設(shè)平面BDF的法向量為，則，即，取，則．設(shè)平面ADE的法向量為，則，即，取，則．設(shè)向量，的夾角為，則，故平面ADE與平面BDF所成銳二面角的余弦值為．13．如圖，在直三棱柱中，D、E分別是棱、上的點(diǎn)，，．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面ABC所成的角為45°，且，求二面角的正弦值．【試題來源】西南四省名校2022屆高三上學(xué)期第二次大聯(lián)考【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，AB中點(diǎn)O，連交于F，連，，則，因?yàn)?，所以，所以是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以．又在直三棱柱中，平面，所以，結(jié)合，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知，OC、OB、兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，取上一點(diǎn)M，使，連AM，則，又平面ABC，與平面ABC所成角為，所以，所以，不妨設(shè)，則，，，，所以，，，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，得，平面的一個(gè)法向量，，所以二面角的平面角的正弦值為．14．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，，，，．（1）證明：平面ABCD；（2）求二面角的正弦值．【試題來源】河南省2022屆高三百校2月大聯(lián)考【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）取AD的中點(diǎn)為M，連接EM，則，又，，故四邊形AFEM為正方形，故，故，又，，故平面ECD，則．又，，故平面ADEF，則．又，，AD，平面ABCD，故平面ABCD．（2）連接BE，BD，以A為原點(diǎn)，，，所在方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0），E（0，2，2），則，，，．設(shè)平面BED的一個(gè)法向量為．則即令，則．設(shè)平面CED的一個(gè)法向量為，則即令，則，，則，故二面角的正弦值為．15．如圖，在三棱柱中，．（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值．【試題來源】青銅鳴20212022學(xué)年高三上學(xué)期12月大聯(lián)考【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）連接，由，可得，故，

故，故．

又，平面，所以平面，

又平面，所以，

又，所以．（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，連接，由（1）可知，故．又，所以為等邊三角形，故．又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，故．又平面，所以平面，故，綜上，兩兩垂直．

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方向，的方向?yàn)閦軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，故，則，又．

設(shè)為平面的法向量，則，即，可?。?/p>

設(shè)為平面的法向量，則，即可取，

故．

因?yàn)樗蠖娼菫殁g角，故二面角的余弦值為．16．如圖，在直三棱柱中，，D，E分別為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，二面角的大小為，求直線與平面所成角的大?。驹囶}來源】黑龍江省嫩江市第一中學(xué)等20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)M，連結(jié)，則，且，且．所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面平面，所以平面．（2）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以．因?yàn)?，所以，所以．又，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，所以，令，則，所以；又平面的一個(gè)法向量，所以，即，解得，所以．又，所以，所以直線與平面所成角為．17．在平面α內(nèi)的四邊形ABCD（如圖1），△ABC和△ACD均為等腰三角形，其中AC＝2，AB＝BC＝，AD＝CD＝，現(xiàn)將△ABC和△ACD均沿AC邊向上折起（如圖2），使得B，D兩點(diǎn)到平面α的距離分別為1和2．（1）求證：BD⊥AC；（2）求二面角A?BD?C余弦值．【試題來源】河南省重點(diǎn)中學(xué)新課標(biāo)卷20212022學(xué)年高三上學(xué)期調(diào)研考試【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，，，，又，平面，又平面，．（2）分別過，作平面的垂線，垂足分別為，，則，，三點(diǎn)共線，由（1）可知平面，，，，，，，，以為原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)E為y軸，過O點(diǎn)作EB的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，0，，，1，，，0，，，，，則，，，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，平面的法向量為，，，則，，即，，令可得，1，，令可得，1，，，由圖形可知二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．18．如圖，已知四棱錐的底面是矩形，平面ABCD，，點(diǎn)E是棱AD上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)F是棱PC上的一點(diǎn)，且．（1）求證：平面PEB；（2）求直線PC與平面PEB所成角的正弦值．【試題來源】江西省吉安市2022屆高三上學(xué)期期末【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）在棱PB上取一點(diǎn)G，使得，連接GF，GE，在中，，，所以，且．又，，所以，，所以四邊形DEGF是平行四邊形．所以，又平面PBE，平面PBE，所以平面PBE．（2）如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，易得．所以，，，，，所以，，．設(shè)平面PBE的一個(gè)法向量是，可得令，解得，，所以．設(shè)直線PC與平面PEB所成角為，所以，即直線PC與平面PEB所成角的正弦值是．19．在如圖所示的多面體中，點(diǎn)在矩形的同側(cè)，直線平面，平面平面，且為等邊三角形，．（1）證明：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦