隨機(jī)事件的概率（六大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

15.2隨機(jī)事件的概率

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）掌握利用古典概型概率公式解決簡單的概率（I）理解古典概型的概念及特點(diǎn).

計(jì)算問題.（2）拿握概率的基本性質(zhì).

（2）理解概率的意義.（3）了解頻率與概率的區(qū)別.

思維導(dǎo)圖

古典微型定義

隨機(jī)事件的概率

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01古典概型

1、古典概型

如果某概率模型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：

（1）樣本空間Q只含有有限個(gè)樣本點(diǎn).

（2）每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的.

那么我們將滿足上述條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型.

2、古典概型的概率公式

第1頁共36頁

在古典概型中，如果樣本空間C=｛例,g,，練｝(其中〃為樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù))，那么每一個(gè)基木事件｛4｝(攵

=1.2,,〃)發(fā)生的概率都是,如果事件4由其中〃?個(gè)等可能基本事件組合而成，即A中包含〃?個(gè)樣本點(diǎn),

n

那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=--

【即學(xué)即練1](2024.高一?北京.期末)從定義域及值域均為｛L2,3｝的函數(shù)中隨機(jī)選一個(gè)記為/(x),則

/⑶-/⑶

＞。的概率為()

/(2)-/0)

A._1_D.

2c?36

【答案】B

瑞瑞。,即/⑶)/⑵且〃2)＞小)或/⑶＜/(2)且/("/⑴，即.嚴(yán)格增

【解析】

或嚴(yán)格減；

因?yàn)槎x域及值域均為｛1,2,3｝,所以因(1)有3種情況,了⑵有2種情況,了⑶有1種情況，〃力共

有3x2xl=6種情況,

其中嚴(yán)格增的有1種，即=⑵=2J⑶=3,嚴(yán)格減的有1種/⑴=3J(2)=2J(3)=1,

9|

所以答案為工二彳，

63

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)02頻率與概率

1、概率的基本性質(zhì)

(1)隨機(jī)事件的概率范圍為使2(A)1.

(2)必然事件和不可能事件分別用c和表示,必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Q)=|,

P(0)=O

2、頻率的穩(wěn)定性

一般地，對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，在相同條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會(huì)在隨機(jī)

事件A發(fā)生的概率P(A)的附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，我們將頻率的這個(gè)性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性.

3、頻率與概率的關(guān)系

若隨機(jī)事件A在〃次試驗(yàn)中發(fā)生了“次，則當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)〃很大時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻率竺來估計(jì)

n

事件A的概率，即P(Q。巴.

n

4、概率的意義

第2頁共36頁

對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象，雖然事先無法確定某個(gè)隨機(jī)事件是否發(fā)生，但是在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí),

可以發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件的發(fā)生與否呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.

【即學(xué)即練2］（2024.高一.新疆喀什.期末）下列說法正確的是（）

①頻數(shù)和頻率都能反映一個(gè)對(duì)象在試驗(yàn)總次數(shù)中出現(xiàn)的頻繁程度；

②每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)之和等于試驗(yàn)的總次數(shù)；

③每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于I;

④概率就是頻率.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】對(duì)于①：頻數(shù)是指事件發(fā)生的次數(shù)，頻率是指本次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比

值，二者都可以反映頻繁程度，故①正確；

對(duì)于②：試驗(yàn)的總次數(shù)即為各個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)和，故②正確；

對(duì)于③：各個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的頻率之和一定等于1，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④：概率是大量重更試驗(yàn)后頻率的穩(wěn)定值，故④錯(cuò)誤；

故選：C.

題型精講

題型一：古典概型的判斷

【典例1-1］（2024?高一?新疆?期末）下列實(shí)驗(yàn)中，是古典概型的有（）

A.某人射擊中靶或不中靶

B.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一個(gè)

C.四名同學(xué)用抽簽法選一人參加會(huì)議

D.從區(qū)間［1/0］上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，求取到1的概率

第3頁共36頁

【答案】c

【解析】由古典概型性質(zhì)：基本事件的有限性及它們的發(fā)生是等可能的，

A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不滿足；

B：基本事件坐標(biāo)系中整數(shù)點(diǎn)是無限的，不滿足；

C基本事件是四名同學(xué)是有限的，且抽到的概率相等，滿足：

D：基本事件是區(qū)間［1/。］上所有實(shí)數(shù)是無限的，不滿足；

故選：C

【典例1?2】（2024?高一?全國?課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于古典概型的說法正確的是（）

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；

③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為〃，隨機(jī)事件4若包含太個(gè)樣本點(diǎn)，則P（A）=￡

fl

A.②?B.②?④C.①②④D.①③④

【答案】D

【解析】在①中，由古典概型的概念可知：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，故①正確：

在②中，由古典概型的概念可知：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，故②錯(cuò)誤；

在③中，由古典概型的概念可知：每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，故③正確：

在④中，基本事件總數(shù)為〃，隨機(jī)事件A若包含k個(gè)基本事件，則由占典概型及其概率計(jì)算公式知

P（A）=-,故④正確.

n

故選：D.

【變式（2024?高一?全國?課時(shí)練習(xí)）下列不是古典概型的是（）

A.在6個(gè)完全相同的小球中任取I個(gè)

B.任意拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)

C.已知袋子中裝有大小完全相同的紅色、綠色、黑色小球各1個(gè)，從中任意取出1個(gè)球，觀察球

的顏色

D.從南京到北京共有〃條長短不同的路線，求某人正好選中最短路線的概率

【答案】B

【解析】選項(xiàng)A中，在6個(gè)完全相同的小球中任取1個(gè)，每個(gè)球被抽到的機(jī)會(huì)均等，且該試驗(yàn)包含的

基本事件其有6個(gè)，故A符合古典概型：

選項(xiàng)B中，由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故B不是占典概型；

選項(xiàng)C中，該試驗(yàn)滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；

選項(xiàng)D中，滿足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型.

故選：B

【變式1-2］（2024?高一?全國?單元測試）下列是古典概型的是（）

第4頁共36頁

A.任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)

B.求任意的一個(gè)正整數(shù)立方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點(diǎn)

C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任選一名志愿者去參加跳高項(xiàng)目，求甲被選中的概率

D.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣至首次出現(xiàn)正面為止，拋擲的次數(shù)作為樣本點(diǎn)

【答案】C

【解析】A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是占典概型；

B項(xiàng)中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無限的，故B不是古典概型；

C項(xiàng)中滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；

D項(xiàng)中樣本點(diǎn)既不是有限個(gè)也不具有等可能性，故D不是.

故選：C

【變式1?3】（2024.高一.全國?課時(shí)練習(xí)）下列問題中是古典概型的是

A.種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率

B.擲一顆質(zhì)地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點(diǎn)的概率

C.在區(qū)間［1,4］上任取一數(shù)，求這個(gè)數(shù)大于1.5的概率

D.同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率

【答案】D

【解析】A、B兩項(xiàng)中的基本事件的發(fā)生不是等可能的；C項(xiàng)中基本事件的個(gè)數(shù)是無限多個(gè)；D項(xiàng)中基

本事件的發(fā)生是等可能的，旦是有限個(gè).故選D.

【方法技巧與總結(jié)】古典概型需滿足兩個(gè)條件

（1）樣本點(diǎn)總數(shù)有限.

（2）各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.

題型二：古典概型概率的計(jì)算

【典例2?1】（2024?高一?遼寧階段練習(xí)）在素?cái)?shù)研究中，華裔數(shù)學(xué)家張益唐證明了攣生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)

弱化形式，攣生素?cái)?shù)是指相差為2的素?cái)?shù)對(duì)，例如3和5,11和13等.從不超過10的正奇數(shù)中隨機(jī)抽取2

個(gè)，則這2個(gè)奇數(shù)是攣生素?cái)?shù)的概率為（）

A.——B.-C.—D.—

10653

【答案】C

【解析】不超過10的正奇數(shù)有1,3,5,7,9,共5個(gè),從中隨機(jī)抽取2個(gè),

共有{1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{3,5},{3,7},{3,9},{5,7},{5,9},{7,9},10種情況，

其中李生素?cái)?shù)有數(shù),5},{5,7},共2種情況,

由古典概型可得這2個(gè)奇數(shù)是攣生素?cái)?shù)的概率為2=3

故選：C.

第5頁共36頁

【典例2?2】（2024?高一?全國?課后作業(yè)）4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽

取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（）,并說明理由.

1??3

A.—B.—C.-D.—

3234

【答案】C

【解析】由題意可得,所有可能取法有：1,2;1,3;1,4;2,3;2,4;3,4共6種情況,

42

其中和為奇數(shù)的有4種，所以概率為

故選：C

【變式2?1】（2024?內(nèi)蒙古包頭?一模）某不透明的袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，它們除顏色不同，質(zhì)地

和大小都完全相同.甲、乙兩同學(xué)先后從中各取一個(gè)球，先取的球不放回，則他們?nèi)〉讲煌伾虻母怕蕿?/p>

【答案】C

【解析】設(shè)這幾個(gè)球中,紅球分別為4、4、%，白球分別為伉、b2t

則甲、乙兩同學(xué)先后取出的兩球可能的情況有:

如3、她、共二十種,

其中取到不同顏色球的情況有：

仇利、〃2。2、加、包的共十二種，

故其概率為1為?=巳3

故選：C.

【變式2?2】（2024?高一?遼寧朝陽?開學(xué)考試）袋中共有5個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中1個(gè)紅球、

2個(gè)白球、2個(gè)黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為（）

I132

A.—B.-C.—D.一

105105

【答案】D

【解析】設(shè)這五個(gè)球中紅球?yàn)椤?，白球分別為4、4，黑球分別為《、。2，

則從袋中任取兩球，有幽、ab2,g、ac2,他、g、bj、%、

b2c2、共十種可能，其中一白一黑有力￡、〃￡、62c2共四種可能，

42

所以一白一黑的概率2=歷=<

故選：D.

第6頁共36頁

【變式2?3】（2024?高一?全國?專題練習(xí)）某人射擊5槍，命中3槍，3槍中恰有2槍連中的概率為（）

【答案】B

【解析】由題意可知，射擊5槍，命中3槍，總的方法數(shù)包含

（0Ci0xx,00xx0,0xx00,xx000,x0x00,0x0x0,00x0x,x00x0,0x0（）x,x000x｝共1（）種，

其中3槍中恰有2槍連中的情況有00x0x.00xx0,x00x0.0x00x,0xx00.x0x00,共6種，

所以3槍中恰有2槍連中的概率為P=^=|.

故選：B

【變式2?4】（2024.陜西安康?模擬預(yù)測）甲、乙、丙三人被隨機(jī)的安排在周六、周日值班，每天至少要有

一人值班，每人只在其中一天值班.則甲、乙被安排在同一天值班的概率為（）

A.-B.-C.-D.；

6432

【答案】C

【解析】由題意可知將3人分成兩組，其中一組只有1人，另一組有2人，

兩組分別安排在周六、周日值班共有6種情況：

（甲乙，丙）、（甲丙，乙）、（乙丙，甲）、（甲，乙丙）,（乙，甲丙）、（丙，甲乙），

顯然甲、乙被安排在同一天有2種情況，

21

所以甲、乙被安排在同一天的概率為二=彳。

63

故選：C

【方法技巧與總結(jié)】利用占典概型公式計(jì)算概率的步驟

（1）確定樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)〃.

（2）確定所求事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)機(jī).

（3）P（A）=-.

n

題型三：較復(fù)雜的古典概型的概率計(jì)算

【典例3-1]（2024?高一?遼寧遼陽?階段練習(xí)）遼寧省朝陽市婦聯(lián)發(fā)揮陣地優(yōu)勢，在市婦女兒童活動(dòng)中心

開展了“萌童成長'‘寒假公益課堂，涵蓋了創(chuàng)意美術(shù)、傳統(tǒng)文化、科學(xué)小實(shí)驗(yàn)、“親子閱讀”等豐富的活動(dòng).公

益課堂共開設(shè)24期，近200名少年兒童受益.從參加公益課堂的少年兒童中隨機(jī)抽取50名少年兒童進(jìn)行

問卷調(diào)查（滿分100分），將問卷調(diào)查結(jié)果按[68,72）,[72,76）,[76,80）,[80,84）/84,88）,[88,92）,[92,96）,

[96.100]分成八組，并繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.

第7頁共36頁

(1)求〃的值，并估計(jì)被抽取的50名少年兒童問卷調(diào)查結(jié)果的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

作代表)；

(2)若從樣本中問卷調(diào)查結(jié)果在［88,92)和［96,100］內(nèi)的少年人童中隨機(jī)抽取2名少年兒童，求隨機(jī)抽取

的這2名少年兒童在同一組的概率.

【解析】(1)由題意得4x(0.010+0.020+0.050+0.050+0.075+0.020+a+0.010)=l,

解得〃=0.015.

估計(jì)被抽取的50名少年兒童問卷調(diào)查結(jié)果的平均數(shù)為4x(70x0.010+74x0.020

+78x0.050+82M0.050+86x0.075+90x0.020+94x0.015+98x0.010)-83.28.

(2)依題意可得在［88,92)內(nèi)抽取的人數(shù)為0.()2()乂4乂50=4(人)，

設(shè)所抽取的人為Scd,

在［96,100］內(nèi)抽取的人數(shù)為0.010*4x50=2(人)，設(shè)所抽取的人為4B,

則從中隨機(jī)抽取2名少年兒童有ab,ac、ad,be,bd,cd,aA,aB、bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB

共15種情況，

其中隨機(jī)抽取的這2名少年兒童在同一組的有",""江加?力乩cd,共7種情況.

故隨機(jī)抽取的這2名少年兒童在同一組的概率尸=巳.

【典例3?2】(2024.高一?遼寧?期末)某學(xué)校為了解本校歷史、物理方向?qū)W生的學(xué)業(yè)水平模擬測試數(shù)學(xué)成

績情況，分別從物理方向的學(xué)生中隨機(jī)抽取60人的成績得到樣本甲，從歷史方向的學(xué)生中隨機(jī)抽取〃人的

成績得到樣本乙，根據(jù)兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

甲樣本數(shù)據(jù)直方圖乙樣本數(shù)據(jù)直方圖

已知乙樣本中數(shù)據(jù)在［70,80)的有10個(gè).

⑴求〃和乙樣本直方圖中〃的值；

第8頁共36頁

（2）試估計(jì)該校物埋方向的學(xué)生本次模擬測試數(shù)學(xué)成績的平均值和歷史方向的學(xué)生本次模擬測試數(shù)學(xué)成

績的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）.

（3）采用分層抽樣的方法從甲樣本數(shù)據(jù)中分?jǐn)?shù)在［60,70）和［70,80）的學(xué)生中抽取6人，并從這6人中任取

2人，求這兩人分?jǐn)?shù)都在［70,80）E的概率.

【解析】（1）由直方圖可知，乙樣本中數(shù)據(jù)在［70,80）的頻率為0.020x10=0.20,

則3=0.20,解得”=50：

n

由乙樣本數(shù)據(jù)直方圖可知，（0.006+0.016+0.020+0.040+4）x10=1,

解得4=0.018；

（2）甲樣本數(shù)據(jù)的平均值估計(jì)值為

（55x0.005+65x0.010+75x0.020+85x0.045+95x0.020）x10=81.5,

乙樣本數(shù)據(jù)直方圖中前3組的頻率之和為（0.006+0.016+0.02）xl0=0.42<0.5,

前4組的頻率之和為（0.006+0.016+0.02+0.04）x10=0.82>0.5,

所以乙樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為「

（K））x0.04+0.42=0.5,

解得x=82,所以乙樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為82.

（3）由頻率分布直方圖可知從分?jǐn)?shù)在［60,70）和［70,80）的學(xué)生中分別抽取2人和4人，

將從分?jǐn)?shù)在［60,70）中抽取的2名學(xué)生分別記為4M2，從分?jǐn)?shù)在［70,80）中抽取的4名學(xué)生分別記為

々也也也，

則從這6人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有

（4,。）,（。1'偽）'（。1也）,（4也）’3力4）,（0’4）,（生也），（％也）,（出力4）,

（4也）,（4人）,他也卜他也）,02也），他也）,共15個(gè)，

所抽取的兩人分?jǐn)?shù)都在［70,80）中的基本事件有6個(gè)，所以所求概率為巳=：.

【變式3?1】（2024.島一.全國.課后作業(yè)）在試驗(yàn)片,“袋中有白球3個(gè)（編號(hào)為I,2,3）、黑球2個(gè)（編

號(hào)為I,2）,這5個(gè)球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個(gè)，每次摸I個(gè)，觀察摸出球的情況”

中,摸到白球的結(jié)果分別記為叫，叱，/，摸到黑球的結(jié)果分別記為4，4.求:

（1）取到的兩個(gè)球都是白球的概率；

（2）取到的兩個(gè)球顏色相同的概率：

（3）取到的兩個(gè)球至少有一個(gè)是白球的概率.

【解析】（1）由前面的分析可知試驗(yàn)線的樣本空間

M

c=｛叫嗎，M嗎，叫4，A，叫M，叫嗎，嗎々，叱飽，叫叫，嗎嗎，嗎々，M我，b\嗎,4嗎,b\嗎內(nèi)包,b,w｝,b2叫,b,嗎,她｝,

第9頁共36頁

共有20個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，可用古典概型來計(jì)算概率.

設(shè)事件A表示“取到的兩個(gè)球都是白球“，則A=?嗎，嗎嗎，嗎嗎，嗎嗎，嗎叫，嗎嗎｝，

共含有6個(gè)樣本點(diǎn)，所以夕(4)4=得，即取到的兩個(gè)球都是白球的概率為得；

(2)設(shè)事件B表示“取到的兩個(gè)球顏色相同”,則B=｛叱卬2、嗎嗎，W2W\，吸嗎，嗎叫，嗎嗎，她也4｝,

o79

共含有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以2(8)=^=^,即取到的兩個(gè)球顏色相同的概率為:；

2055

(3)設(shè)事件C表示“取到的兩個(gè)球至少有一個(gè)是白球”，

則C=｛嗎嗎，嗎嗎,叫4,w｛b2,w2”,嗎嗎,嗎4,w2b2，嗎嗎，嗎嗎,啊4,w3b2,b\嗎,女嗎嗎,b2叫，打嗎,打嗎｝，

isaci

共含有18個(gè)樣本點(diǎn)，所以。(。)=與二而，即取到的兩個(gè)球至少有一個(gè)是白球的概率為啟.

【變式3?2】(2024.高一.遼寧阜新?階段練習(xí))某中學(xué)高三年級(jí)某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率

分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間為：[80,90),[90/00),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),

(說明:數(shù)學(xué)滿分150分，物理滿分100分)

物理成績統(tǒng)計(jì)表

分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90.100]

頻數(shù)6920105

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，請估計(jì)數(shù)學(xué)成績的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表):

(2)若數(shù)學(xué)成績不低于140分的為“優(yōu)”，物理成績不低于90分的為“優(yōu)”，已知本班中至少有一個(gè)“優(yōu)”的

同學(xué)總數(shù)為6人,從數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)”的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求兩人恰好均為物理成績?yōu)椤皟?yōu)”的概率.

【解析】(1)依題意，a+/?4-2r=0.1-O.(X)4-0.020-0.024=0.052,a+c=2byC=2a,

解得a=0.008,h=0.012,c=0.016,

所以數(shù)學(xué)成績的平均分：

J=85x0.04+95x0.12+105x0.16+115x0.2+125x0.24+135x0.16+145x0.08=117.8.

(2)數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)”的同學(xué)有50x0.08=4人,物理成績?yōu)閮?yōu)”有5人，

第10頁共36頁

因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)“優(yōu)”的同學(xué)總數(shù)為6名同學(xué)，則兩科均為“優(yōu)”的人數(shù)為3人.

設(shè)兩科均為“優(yōu)''的同學(xué)為44,4，物理成績不是“優(yōu)”的同學(xué)為B,

則從4人中隨機(jī)抽取2人的所有情況有：A4,A4,44,a氏A2B,4B,

符合題意的情況有：A4,A&,&A,

故兩人恰好均為物理成績“優(yōu)”的概率P===：.

62

【變式3?3】(2024?高一?陜西咸陽?階段練習(xí))從一批柚子中隨機(jī)抽取100個(gè)，獲得其質(zhì)量(單位：g)

數(shù)據(jù)，按照區(qū)間［900,950),［950,1000),［1000』050),［10504100］進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖，如圖所示.

⑴用分層抽樣的方法從質(zhì)量在［950,1000)和［1050,1100］內(nèi)的柚子中抽取5個(gè)，求抽取的質(zhì)量在

［1050,1100］內(nèi)的柚子數(shù);

(2)從(1)中抽出的5個(gè)柚子中任取2個(gè)，求最多有I個(gè)柚子的質(zhì)量在［1050,1100］內(nèi)的概率.

【解析】(1)由頻率分布直方圖知,質(zhì)量在［950,1000)內(nèi)的柚子數(shù)為4=(1000-950)x0.004x100=20,

質(zhì)量在［1050,1100］內(nèi)的柚子數(shù)為〃2=(1100-1050)x0.006x100=30,

從質(zhì)僦在［950,1000)和［1050,1100］內(nèi)的柚子中抽取5個(gè)，其中質(zhì)審在U050,1100］內(nèi)的柚子數(shù)為

55°八°

n=-----x〃2=——x3()=3.

%+%50

(2)由(1)知，質(zhì)量在口050,1100］內(nèi)的柚子數(shù)為3,記為。，瓦%質(zhì)量在［950,1000)內(nèi)的柚子數(shù)為2,

記為d,e,

則從這5個(gè)柚子中任取2個(gè)的所有基本事件為(。⑼,(a,c)，3d),(a,e),(b,c),

(瓦d),(ae),(c,d),(c,e),(d,e),共10個(gè)，

其中最多有1個(gè)柚子的質(zhì)量在U050,1100］內(nèi)所包含的基本事件有?d),(a,e),(b,d),

,共7個(gè)，

所以最多有1個(gè)柚子的質(zhì)量在U050,1100］內(nèi)的概率P=5.

【變式3?4】(2024.高一.河南焦作.期末)某校組織《反間諜法》知識(shí)競賽，將所有學(xué)生的成績(單位:

分)按照［45,55),［55,65),…，［105,115］分成七組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

第11頁共36頁

（1）求這次競賽成績平均數(shù)的估計(jì)值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

（2）從競賽成績不低于85分的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取12人，再從第六組和第七組被抽到的

學(xué)生中任選2人做主題演講，求至少有1名第七組的學(xué)生做主題演講的概率.

【解析】（1）3+0.008+%+0.012+0.015+44+0.03）x10=704+065=1,解得“=0.005,

這次競賽成績平均數(shù)的估計(jì)值為

x=50x0.05+60x0.08+70x0.12+80x0.15+90x0.3+100x0.2+110x0.1=85.7.

（2）不低于X5分的二組頻率之比為3:2:1,用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取12人，應(yīng)從第六組和第七組

分別抽取4人和2人，

設(shè)第六組的4人為A,B,C,D，第七組的2人為甲、乙，

「是從這6人中任選2人的所有情況為：甲乙，甲A,甲8,甲C,甲。，乙A,乙B,乙C,乙D,

AB,AC,AD，BC,BD,CD,共15種，

其中甲、乙至少有1人被選中的有9種，

所以至少有1名第七組的學(xué)生做主題演講的概率為/9=3

【方法技巧與總結(jié)】在求概率時(shí)，若事件可以表示成有序數(shù)對(duì)的形式，則可以把全體樣本點(diǎn)用平面直

角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示，即采用圖表的形式可以準(zhǔn)確地找出樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù).故采用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使

解決問題的過程變得形象、直觀，更方便.

題型四：對(duì)概率概念的理解

【典例4?1】（2024.高二.新疆和皿期中）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=”正面向上”，則下列說

法正確的是（）

A.拋擲硬幣10次，事件A必發(fā)生5次

B.拋擲硬幣100次，事件A不可能發(fā)生50次

C.拋擲硬幣1000次，事件A發(fā)生的頻率一定等于0.5

D.隨著拋擲硬幣次數(shù)的增多，事件A發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在0.5附近

【答案】D

【解析】不管拋擲硬幣多少次，事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)事件，故ABC錯(cuò)誤：

隨著拋擲硬幣次數(shù)的增多，事件A發(fā)生的頻率在0.5附近波動(dòng)的幅度較大的可能性??；

第12頁共36頁

故選：D

【典例4?2】（2024.高一.新疆喀什.期末）下列說法正確的是（）

A.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事件發(fā)生的概率

B.某種福利彩票的中獎(jiǎng)概率為盛，買1000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)

C.連續(xù)100次擲一枚硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面，則擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為篙

D.某市氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺(tái)專家中，有70%認(rèn)為明天會(huì)

降水，30%認(rèn)為明天不會(huì)降水

【答案】A

【解析】對(duì)于A,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事件發(fā)生的概率，概

率是頻率的穩(wěn)定值，故A正確，

對(duì)于B,某種福利彩票的中獎(jiǎng)概率為焉，買1000張這種彩票不一定中獎(jiǎng)，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C連續(xù)100次擲一枚硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面，則在100此拋硬幣的實(shí)驗(yàn)中擲一枚硬幣出現(xiàn)

49?

反面的頻率為W而擲?枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為故C錯(cuò)誤,

100/

對(duì)于D,某市氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70%”，指的明天會(huì)降水的可能性為70%.故D錯(cuò)誤,

故選：A

【變式4-1］（2024?高一.天津河?xùn)|?期末）用木塊制作的一個(gè)四面體，四個(gè)面上分別標(biāo)記1,2,3,4,

卜.列說法正確的是（）

A.該四面體一定不是均勻的B.再拋擲一次，估計(jì)標(biāo)記2的面落地概率0.72

C.再拋擲一次，標(biāo)記4的面落地D.再拋擲一次，估計(jì)標(biāo)記3的面落地概率0.2

【答案】D

【解析】A選項(xiàng)，就算四面體是均勻的，理論上每個(gè)面落地的次數(shù)仍舊可能不一樣，在均勻的條件下,

隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，每個(gè)面落地的次數(shù)將會(huì)變得越來越接近，換句話說，即使是均勻的四面體，僅僅在

2M次試驗(yàn)下，得到落地的面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果也可能不一樣，A選項(xiàng)錯(cuò)誤:

BCD選項(xiàng)，由于這200次實(shí)&2,3,4落在底面的頻率分別為急即0.18,0.21,0.39,

200200200

B選項(xiàng)中所估計(jì)的概率0.72和頻率0.18差別過大，

C選項(xiàng)認(rèn)為標(biāo)記4的面必定落地，是必然事件，概率為1，但頻率只有0.39,因此不能認(rèn)為必然發(fā)生,

BC選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，標(biāo)記3的面落地概率估計(jì)是。.2,和實(shí)驗(yàn)頻率。.21羊常接近.D選項(xiàng)正確.

第13頁共36頁

故選：D

【變式4?2】（2024?高一?山西，期末）某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共做3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如

F表:

第一組第二組第三組合計(jì)

投籃次數(shù)100200300600

命中的次數(shù)68124174366

命中的頻率0.680.620.580.61

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率，則使誤差較小、可能性大的估計(jì)值是（）

A.0.58B,0.61C,0.62D.0.68

【答案】B

【解析】由題可知，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率，對(duì)可能性的估計(jì)誤差越小，可能性越大，

所以合il,列對(duì)應(yīng)的頻率最為合適.

故選：B.

【變式4.3】（2024.高一.全國?課時(shí)練習(xí)）下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）概率反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小；

（2）做〃次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生加次，則事件A發(fā)生的頻率絲就是事件A發(fā)生的概率：

n

（3）頻率是不能脫離〃次試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依瀚于試驗(yàn)次數(shù)的理論值；

（4）在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，頻率是概率的近似值，而概率是頻率的穩(wěn)定值.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】概率反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，故（I）正確；

做〃次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生機(jī)次，則事件A發(fā)生的頻率二是事件A發(fā)生的概率的近似值，故（2）不

n

正確；

頻率是不能脫離〃次試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依'獺于試驗(yàn)次數(shù)的理論值，故（3）正確；

在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，頻率是概率的近似值，而概率是頻率的穩(wěn)定值，故（4）正確.

故選：C

【變式4?4】（2024?高一?全國?單元測試）將一枚硬幣擲10次，正面向上出現(xiàn)了6次，若月A表示正面

向上這一事件，則人（）

A.發(fā)生的概率為］3B.發(fā)生的概率接近13

JJ

C.在這十次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率為］D.在這十次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率為6

第14頁共36頁

【答案】c

【解析】概率是頻率的穩(wěn)定值，A發(fā)生的概率等于故AB錯(cuò)誤；

A在這十次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率為4故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C

【方法技巧與總結(jié)】概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的量，概率大，只能說明這人隨機(jī)事件發(fā)

生的可能性大，而不是必然發(fā)生或必然不發(fā)生.

題型五：利用頻率估計(jì)概率

【典例5?1】（2024.高三?云南.階段練習(xí)）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了200位某種疾病患者

的年齡，得到了如圖的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的年齡位于

【解析】由題知:fl=0.1-（0.001+0.002x2+0.006+0.017x2+0.020+0.023）=0.012,

故該地I乂這種疾病患者的年齡位于的【1。，30）概率為（0.0124-0.002）xl0=0.14.

故答案為：0.14

【典例5?2】（2024.高一.甘肅武威?開學(xué)考試）一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和5個(gè)黑球，這些球

除顏色外均相同.經(jīng)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為.

【答案】15

【解析】設(shè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為〃，

由摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.25左右知，摸到黑球的概率為0.25,

則三=0.25,

解得〃=15,

即盒子中紅球個(gè)數(shù)大約15個(gè).

故答案為：15

【變式54]（2024.高一.福建寧德?開學(xué)考試）在一個(gè)不透明的紙盒中裝有2個(gè)自球和若干個(gè)紅球，這些

球除顏色外都相同.每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，通過多次重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出紅

球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，則袋子小紅球約有個(gè).

第15頁共36頁

【答案】8

【解析】因?yàn)槊郊t球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，

估計(jì)袋中紅球個(gè)數(shù)是乂0.8=-^-,x=8.

x+2

故答案為：8.

【變式5-2］（2024.高一.全國?課時(shí)練習(xí)）某制造商今年3月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行

檢查，測得每個(gè)乒乓球的直徑（單位：mm）,將數(shù)據(jù)分組如下：

分組頻數(shù)頻率

[39.95,39.97)100.10

[39.97,39.99)200.20

[39.99,40.01)500.50

[40.01,40.03]200.20

合計(jì)1001.00

若用上述頻率近似概率，已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為40.00mm,則這批乒乓球的直徑誤差不超過0.03mm

的概率是.

【答案】0.90

【解析】標(biāo)準(zhǔn)尺寸是40.00mn,并且誤差不超過0.03mni,即直徑需落在［39.97,40.03卜范圍內(nèi).

由頻率分布表知，頻率為0.20+0.50+0.20=0.90,

所以直徑誤差不超過0.03mm的概率約為0.90.

故答案為：0.90

【變式5?3】（2024?高一?全國?課時(shí)練習(xí)）投擲硬幣的結(jié)果如下表：

投擲硬幣的次數(shù)200500c

正面向上的次數(shù)102b404

正面向上的頻率a0.4820.505

則。=,b=

據(jù)此可估計(jì)若擲硬幣一次，正面向上的概率為

【答案】0.51/包2418000.5/-

1002

102

【解析】ci------=0.51,0=500x0.482=241,

200

第16頁共36頁

三組試驗(yàn)正面向上的頻率都在0.5附近，

由頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)若擲硬幣一次，正面向上的概率應(yīng)為05

故答案為：0.51；241；800；0.5.

【變式5?4】（2024?高一?新疆烏魯木齊?期末）某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共做3組，每組投籃次數(shù)和命中

的次數(shù)如下表所示.

第一組第二組第三組合計(jì)

投籃次數(shù)100200300600

命中的次數(shù)68125176369

命中的頻率0.680.6250.5870.615

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率，那么使誤差較小的可能性大的估計(jì)值是一.

【答案】0.615

【解析】由題意知，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率，對(duì)可能性的估計(jì)誤差就越小.

所以使誤差較小的可能性大的估計(jì)值是0.615.

故答案為：（）.615.

【方法技巧與總結(jié)】（1）頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)，〃與試驗(yàn)總次數(shù)〃的比值，利用此公式可求出它們

的頻率.頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)〃很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近擺動(dòng)，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率.

（2）解此類題目的步驟：先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算潁率，然后用頻率估計(jì)概率.

題型六：概率的應(yīng)用

【典例6?1】（2024?高一?河南商丘?期末）某班同學(xué)利用春節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)本地［25,551歲的人群隨

機(jī)抽取〃人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，將生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則

稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖.

序號(hào)分組（歲）本組中“低碳族”人數(shù)“低碳族”人數(shù)在本組所占的比例

1[25,30)1200.6

2[30,35)195P

3[35,40)1000.5

4[40.45)a0.4

5[45,50)300.3

6[55,60)150.3

第17頁共36頁

頻率

（一）人數(shù)統(tǒng)計(jì)表（二）各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖

（I）在答題卡給定的坐標(biāo)系中補(bǔ)全頻率分布直方圖，并求出”、〃、。的值；

⑵從［40,50）歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng).若將這6個(gè)人通

過拄簽分成甲、乙兩組，每組的人數(shù)相同，求［45,50）歲中被抽取的人恰好又分在同一組的概率.

【解析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖可知，第二組的頻率為1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.0l）x5=0.3,

所以第二組高為（=0.06.故補(bǔ)全頻率分布直方圖如下:

200,頻率為0.04x5=0.2,所以

200

n---=1000：

0.2

因?yàn)榈诙M的頻率為0.3,所以第二組的人數(shù)為1000x0.3=300,所以〃=訴=0.65；

因?yàn)榈谒慕M的頻率為003x5=0.15,所以第四組的人數(shù)為1000x0.15=150,所以a=150x0.4=60.

（2）因?yàn)椋?0,45）歲年齡段的“低碳族”與［45,50）歲年齡段的“低碳族”的比為60:30=2:1,

所以采用分層抽樣法抽取6人，則在［40,45）歲中抽取4人，在［45,50）歲中抽取2人.

第18頁共36頁

設(shè)年齡在［40,45）中被抽取的4個(gè)人分別為：&演4，4：

年齡在［45,50）歲中被抽取的2個(gè)人分別為：跖％

則總的基本事件有：A4A-444,A4A—AR區(qū),A.A.B-A3Al4,44員—4A4,

A4A4-44A,....A/'B?-,共20個(gè);

記“［45,50）歲中被抽取的人恰好有分在同一組”為事件C而事件C包含的基本事件有8個(gè);

Q7

所以P(G=^=M

【典例6?2】（2024?高一?北京延慶?期末）為了了解某校高一學(xué)生一次體育健康測試的得分情況，一位老

師采用分層抽樣的方法選取了20名學(xué)生的成績作為樣本，來估計(jì)本校高?學(xué)生的得分情況，并以［75,80）,

，規(guī)定成績不低于90分為“優(yōu)

（1）從該學(xué)校高一學(xué)生中隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生本次體育健康測試成績“優(yōu)秀”的概率；

⑵從樣本成績優(yōu)秀的［90,95）,［95,100］兩組學(xué)生中任意選取2人，記為｛q也｝,［90,95）中的學(xué)生為

%@=12?）,［95,100］中的學(xué)生為N（j=L2）,求