隨機事件的概率（六大題型）-2024學年高一數學同步學與練（蘇教版）（解析版）

15.2隨機事件的概率

學習目標

課程標準學習目標

（1）掌握利用古典概型概率公式解決簡單的概率（I）理解古典概型的概念及特點.

計算問題.（2）拿握概率的基本性質.

（2）理解概率的意義.（3）了解頻率與概率的區(qū)別.

思維導圖

古典微型定義

隨機事件的概率

知識清單

知識點01古典概型

1、古典概型

如果某概率模型具有以下兩個特點：

（1）樣本空間Q只含有有限個樣本點.

（2）每個基本事件的發(fā)生都是等可能的.

那么我們將滿足上述條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型.

2、古典概型的概率公式

第1頁共36頁

在古典概型中，如果樣本空間C=｛例,g,，練｝(其中〃為樣本點的個數)，那么每一個基木事件｛4｝(攵

=1.2,,〃)發(fā)生的概率都是,如果事件4由其中〃?個等可能基本事件組合而成，即A中包含〃?個樣本點,

n

那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=--

【即學即練1](2024.高一?北京.期末)從定義域及值域均為｛L2,3｝的函數中隨機選一個記為/(x),則

/⑶-/⑶

＞。的概率為()

/(2)-/0)

A._1_D.

2c?36

【答案】B

瑞瑞。,即/⑶)/⑵且〃2)＞小)或/⑶＜/(2)且/("/⑴，即.嚴格增

【解析】

或嚴格減；

因為定義域及值域均為｛1,2,3｝,所以因(1)有3種情況,了⑵有2種情況,了⑶有1種情況，〃力共

有3x2xl=6種情況,

其中嚴格增的有1種，即=⑵=2J⑶=3,嚴格減的有1種/⑴=3J(2)=2J(3)=1,

9|

所以答案為工二彳，

63

故選：B.

知識點02頻率與概率

1、概率的基本性質

(1)隨機事件的概率范圍為使2(A)1.

(2)必然事件和不可能事件分別用c和表示,必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Q)=|,

P(0)=O

2、頻率的穩(wěn)定性

一般地，對于給定的隨機事件A，在相同條件下，隨著試驗次數的增加，事件A發(fā)生的頻率會在隨機

事件A發(fā)生的概率P(A)的附近擺動并趨于穩(wěn)定，我們將頻率的這個性質稱為頻率的穩(wěn)定性.

3、頻率與概率的關系

若隨機事件A在〃次試驗中發(fā)生了“次，則當試驗次數〃很大時，可以用事件A發(fā)生的頻率竺來估計

n

事件A的概率，即P(Q。巴.

n

4、概率的意義

第2頁共36頁

對于隨機現(xiàn)象，雖然事先無法確定某個隨機事件是否發(fā)生，但是在相同條件下進行大量重復試驗時,

可以發(fā)現(xiàn)隨機事件的發(fā)生與否呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.

【即學即練2］（2024.高一.新疆喀什.期末）下列說法正確的是（）

①頻數和頻率都能反映一個對象在試驗總次數中出現(xiàn)的頻繁程度；

②每個試驗結果出現(xiàn)的頻數之和等于試驗的總次數；

③每個試驗結果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于I;

④概率就是頻率.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】對于①：頻數是指事件發(fā)生的次數，頻率是指本次試驗中事件發(fā)生的次數與試驗總次數的比

值，二者都可以反映頻繁程度，故①正確；

對于②：試驗的總次數即為各個試驗結果出現(xiàn)的頻數和，故②正確；

對于③：各個試驗結果的頻率之和一定等于1，故③錯誤；

對于④：概率是大量重更試驗后頻率的穩(wěn)定值，故④錯誤；

故選：C.

題型精講

題型一：古典概型的判斷

【典例1-1］（2024?高一?新疆?期末）下列實驗中，是古典概型的有（）

A.某人射擊中靶或不中靶

B.在平面直角坐標系內，從橫坐標和縱坐標都為整數的所有點中任取一個

C.四名同學用抽簽法選一人參加會議

D.從區(qū)間［1/0］上任取一個實數，求取到1的概率

第3頁共36頁

【答案】c

【解析】由古典概型性質：基本事件的有限性及它們的發(fā)生是等可能的，

A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不滿足；

B：基本事件坐標系中整數點是無限的，不滿足；

C基本事件是四名同學是有限的，且抽到的概率相等，滿足：

D：基本事件是區(qū)間［1/。］上所有實數是無限的，不滿足；

故選：C

【典例1?2】（2024?高一?全國?課時練習）下列關于古典概型的說法正確的是（）

①試驗中所有可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；

③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點的總數為〃，隨機事件4若包含太個樣本點，則P（A）=￡

fl

A.②?B.②?④C.①②④D.①③④

【答案】D

【解析】在①中，由古典概型的概念可知：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，故①正確：

在②中，由古典概型的概念可知：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等，故②錯誤；

在③中，由古典概型的概念可知：每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，故③正確：

在④中，基本事件總數為〃，隨機事件A若包含k個基本事件，則由占典概型及其概率計算公式知

P（A）=-,故④正確.

n

故選：D.

【變式（2024?高一?全國?課時練習）下列不是古典概型的是（）

A.在6個完全相同的小球中任取I個

B.任意拋擲兩顆骰子，所得點數之和作為樣本點

C.已知袋子中裝有大小完全相同的紅色、綠色、黑色小球各1個，從中任意取出1個球，觀察球

的顏色

D.從南京到北京共有〃條長短不同的路線，求某人正好選中最短路線的概率

【答案】B

【解析】選項A中，在6個完全相同的小球中任取1個，每個球被抽到的機會均等，且該試驗包含的

基本事件其有6個，故A符合古典概型：

選項B中，由于點數的和出現(xiàn)的可能性不相等，故B不是占典概型；

選項C中，該試驗滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；

選項D中，滿足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型.

故選：B

【變式1-2］（2024?高一?全國?單元測試）下列是古典概型的是（）

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A.任意拋擲兩枚骰子，所得點數之和作為樣本點

B.求任意的一個正整數立方的個位數字是1的概率，將取出的正整數作為樣本點

C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任選一名志愿者去參加跳高項目，求甲被選中的概率

D.拋擲一枚質地均勻的硬幣至首次出現(xiàn)正面為止，拋擲的次數作為樣本點

【答案】C

【解析】A項中由于點數的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是占典概型；

B項中的樣本點的個數是無限的，故B不是古典概型；

C項中滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；

D項中樣本點既不是有限個也不具有等可能性，故D不是.

故選：C

【變式1?3】（2024.高一.全國?課時練習）下列問題中是古典概型的是

A.種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率

B.擲一顆質地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點的概率

C.在區(qū)間［1,4］上任取一數，求這個數大于1.5的概率

D.同時擲兩枚質地均勻的骰子，求向上的點數之和是5的概率

【答案】D

【解析】A、B兩項中的基本事件的發(fā)生不是等可能的；C項中基本事件的個數是無限多個；D項中基

本事件的發(fā)生是等可能的，旦是有限個.故選D.

【方法技巧與總結】古典概型需滿足兩個條件

（1）樣本點總數有限.

（2）各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等.

題型二：古典概型概率的計算

【典例2?1】（2024?高一?遼寧階段練習）在素數研究中，華裔數學家張益唐證明了攣生素數猜想的一個

弱化形式，攣生素數是指相差為2的素數對，例如3和5,11和13等.從不超過10的正奇數中隨機抽取2

個，則這2個奇數是攣生素數的概率為（）

A.——B.-C.—D.—

10653

【答案】C

【解析】不超過10的正奇數有1,3,5,7,9,共5個,從中隨機抽取2個,

共有{1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{3,5},{3,7},{3,9},{5,7},{5,9},{7,9},10種情況，

其中李生素數有數,5},{5,7},共2種情況,

由古典概型可得這2個奇數是攣生素數的概率為2=3

故選：C.

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【典例2?2】（2024?高一?全國?課后作業(yè)）4張卡片上分別寫有數字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機抽

取2張，則取出的2張卡片上的數字之和為奇數的概率為（）,并說明理由.

1??3

A.—B.—C.-D.—

3234

【答案】C

【解析】由題意可得,所有可能取法有：1,2;1,3;1,4;2,3;2,4;3,4共6種情況,

42

其中和為奇數的有4種，所以概率為

故選：C

【變式2?1】（2024?內蒙古包頭?一模）某不透明的袋中有3個紅球，2個白球，它們除顏色不同，質地

和大小都完全相同.甲、乙兩同學先后從中各取一個球，先取的球不放回，則他們取到不同顏色球的概率為

【答案】C

【解析】設這幾個球中,紅球分別為4、4、%，白球分別為伉、b2t

則甲、乙兩同學先后取出的兩球可能的情況有:

如3、她、共二十種,

其中取到不同顏色球的情況有：

仇利、〃2。2、加、包的共十二種，

故其概率為1為?=巳3

故選：C.

【變式2?2】（2024?高一?遼寧朝陽?開學考試）袋中共有5個除了顏色外完全相同的球，其中1個紅球、

2個白球、2個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為（）

I132

A.—B.-C.—D.一

105105

【答案】D

【解析】設這五個球中紅球為“，白球分別為4、4，黑球分別為《、。2，

則從袋中任取兩球，有幽、ab2,g、ac2,他、g、bj、%、

b2c2、共十種可能，其中一白一黑有力￡、〃￡、62c2共四種可能，

42

所以一白一黑的概率2=歷=<

故選：D.

第6頁共36頁

【變式2?3】（2024?高一?全國?專題練習）某人射擊5槍，命中3槍，3槍中恰有2槍連中的概率為（）

【答案】B

【解析】由題意可知，射擊5槍，命中3槍，總的方法數包含

（0Ci0xx,00xx0,0xx00,xx000,x0x00,0x0x0,00x0x,x00x0,0x0（）x,x000x｝共1（）種，

其中3槍中恰有2槍連中的情況有00x0x.00xx0,x00x0.0x00x,0xx00.x0x00,共6種，

所以3槍中恰有2槍連中的概率為P=^=|.

故選：B

【變式2?4】（2024.陜西安康?模擬預測）甲、乙、丙三人被隨機的安排在周六、周日值班，每天至少要有

一人值班，每人只在其中一天值班.則甲、乙被安排在同一天值班的概率為（）

A.-B.-C.-D.；

6432

【答案】C

【解析】由題意可知將3人分成兩組，其中一組只有1人，另一組有2人，

兩組分別安排在周六、周日值班共有6種情況：

（甲乙，丙）、（甲丙，乙）、（乙丙，甲）、（甲，乙丙）,（乙，甲丙）、（丙，甲乙），

顯然甲、乙被安排在同一天有2種情況，

21

所以甲、乙被安排在同一天的概率為二=彳。

63

故選：C

【方法技巧與總結】利用占典概型公式計算概率的步驟

（1）確定樣本空間的樣本點的總數〃.

（2）確定所求事件A包含的樣本點的個數機.

（3）P（A）=-.

n

題型三：較復雜的古典概型的概率計算

【典例3-1]（2024?高一?遼寧遼陽?階段練習）遼寧省朝陽市婦聯(lián)發(fā)揮陣地優(yōu)勢，在市婦女兒童活動中心

開展了“萌童成長'‘寒假公益課堂，涵蓋了創(chuàng)意美術、傳統(tǒng)文化、科學小實驗、“親子閱讀”等豐富的活動.公

益課堂共開設24期，近200名少年兒童受益.從參加公益課堂的少年兒童中隨機抽取50名少年兒童進行

問卷調查（滿分100分），將問卷調查結果按[68,72）,[72,76）,[76,80）,[80,84）/84,88）,[88,92）,[92,96）,

[96.100]分成八組，并繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.

第7頁共36頁

(1)求〃的值，并估計被抽取的50名少年兒童問卷調查結果的平均數(同一組數據用該組區(qū)間的中點值

作代表)；

(2)若從樣本中問卷調查結果在［88,92)和［96,100］內的少年人童中隨機抽取2名少年兒童，求隨機抽取

的這2名少年兒童在同一組的概率.

【解析】(1)由題意得4x(0.010+0.020+0.050+0.050+0.075+0.020+a+0.010)=l,

解得〃=0.015.

估計被抽取的50名少年兒童問卷調查結果的平均數為4x(70x0.010+74x0.020

+78x0.050+82M0.050+86x0.075+90x0.020+94x0.015+98x0.010)-83.28.

(2)依題意可得在［88,92)內抽取的人數為0.()2()乂4乂50=4(人)，

設所抽取的人為Scd,

在［96,100］內抽取的人數為0.010*4x50=2(人)，設所抽取的人為4B,

則從中隨機抽取2名少年兒童有ab,ac、ad,be,bd,cd,aA,aB、bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB

共15種情況，

其中隨機抽取的這2名少年兒童在同一組的有",""江加?力乩cd,共7種情況.

故隨機抽取的這2名少年兒童在同一組的概率尸=巳.

【典例3?2】(2024.高一?遼寧?期末)某學校為了解本校歷史、物理方向學生的學業(yè)水平模擬測試數學成

績情況，分別從物理方向的學生中隨機抽取60人的成績得到樣本甲，從歷史方向的學生中隨機抽取〃人的

成績得到樣本乙，根據兩個樣本數據分別得到如下直方圖：

甲樣本數據直方圖乙樣本數據直方圖

已知乙樣本中數據在［70,80)的有10個.

⑴求〃和乙樣本直方圖中〃的值；

第8頁共36頁

（2）試估計該校物埋方向的學生本次模擬測試數學成績的平均值和歷史方向的學生本次模擬測試數學成

績的中位數（同一組中的數據用該組區(qū)間中點值為代表）.

（3）采用分層抽樣的方法從甲樣本數據中分數在［60,70）和［70,80）的學生中抽取6人，并從這6人中任取

2人，求這兩人分數都在［70,80）E的概率.

【解析】（1）由直方圖可知，乙樣本中數據在［70,80）的頻率為0.020x10=0.20,

則3=0.20,解得”=50：

n

由乙樣本數據直方圖可知，（0.006+0.016+0.020+0.040+4）x10=1,

解得4=0.018；

（2）甲樣本數據的平均值估計值為

（55x0.005+65x0.010+75x0.020+85x0.045+95x0.020）x10=81.5,

乙樣本數據直方圖中前3組的頻率之和為（0.006+0.016+0.02）xl0=0.42<0.5,

前4組的頻率之和為（0.006+0.016+0.02+0.04）x10=0.82>0.5,

所以乙樣本數據的中位數在第4組，設中位數為「

（K））x0.04+0.42=0.5,

解得x=82,所以乙樣本數據的中位數為82.

（3）由頻率分布直方圖可知從分數在［60,70）和［70,80）的學生中分別抽取2人和4人，

將從分數在［60,70）中抽取的2名學生分別記為4M2，從分數在［70,80）中抽取的4名學生分別記為

々也也也，

則從這6人中隨機抽取2人的基本事件有

（4,。）,（。1'偽）'（。1也）,（4也）’3力4）,（0’4）,（生也），（％也）,（出力4）,

（4也）,（4人）,他也卜他也）,02也），他也）,共15個，

所抽取的兩人分數都在［70,80）中的基本事件有6個，所以所求概率為巳=：.

【變式3?1】（2024.島一.全國.課后作業(yè)）在試驗片,“袋中有白球3個（編號為I,2,3）、黑球2個（編

號為I,2）,這5個球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個，每次摸I個，觀察摸出球的情況”

中,摸到白球的結果分別記為叫，叱，/，摸到黑球的結果分別記為4，4.求:

（1）取到的兩個球都是白球的概率；

（2）取到的兩個球顏色相同的概率：

（3）取到的兩個球至少有一個是白球的概率.

【解析】（1）由前面的分析可知試驗線的樣本空間

M

c=｛叫嗎，M嗎，叫4，A，叫M，叫嗎，嗎々，叱飽，叫叫，嗎嗎，嗎々，M我，b\嗎,4嗎,b\嗎內包,b,w｝,b2叫,b,嗎,她｝,

第9頁共36頁

共有20個樣本點，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同，可用古典概型來計算概率.

設事件A表示“取到的兩個球都是白球“，則A=?嗎，嗎嗎，嗎嗎，嗎嗎，嗎叫，嗎嗎｝，

共含有6個樣本點，所以夕(4)4=得，即取到的兩個球都是白球的概率為得；

(2)設事件B表示“取到的兩個球顏色相同”,則B=｛叱卬2、嗎嗎，W2W\，吸嗎，嗎叫，嗎嗎，她也4｝,

o79

共含有8個樣本點，所以2(8)=^=^,即取到的兩個球顏色相同的概率為:；

2055

(3)設事件C表示“取到的兩個球至少有一個是白球”，

則C=｛嗎嗎，嗎嗎,叫4,w｛b2,w2”,嗎嗎,嗎4,w2b2，嗎嗎，嗎嗎,啊4,w3b2,b\嗎,女嗎嗎,b2叫，打嗎,打嗎｝，

isaci

共含有18個樣本點，所以。(。)=與二而，即取到的兩個球至少有一個是白球的概率為啟.

【變式3?2】(2024.高一.遼寧阜新?階段練習)某中學高三年級某班50名學生期中考試數學成績的頻率

分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間為：[80,90),[90/00),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),

(說明:數學滿分150分，物理滿分100分)

物理成績統(tǒng)計表

分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90.100]

頻數6920105

(1)根據頻率分布直方圖，請估計數學成績的平均分(同一組數據用該區(qū)間的中點值代表):

(2)若數學成績不低于140分的為“優(yōu)”，物理成績不低于90分的為“優(yōu)”，已知本班中至少有一個“優(yōu)”的

同學總數為6人,從數學成績?yōu)椤皟?yōu)”的同學中隨機抽取2人，求兩人恰好均為物理成績?yōu)椤皟?yōu)”的概率.

【解析】(1)依題意，a+/?4-2r=0.1-O.(X)4-0.020-0.024=0.052,a+c=2byC=2a,

解得a=0.008,h=0.012,c=0.016,

所以數學成績的平均分：

J=85x0.04+95x0.12+105x0.16+115x0.2+125x0.24+135x0.16+145x0.08=117.8.

(2)數學成績?yōu)椤皟?yōu)”的同學有50x0.08=4人,物理成績?yōu)閮?yōu)”有5人，

第10頁共36頁

因為至少有一個“優(yōu)”的同學總數為6名同學，則兩科均為“優(yōu)”的人數為3人.

設兩科均為“優(yōu)''的同學為44,4，物理成績不是“優(yōu)”的同學為B,

則從4人中隨機抽取2人的所有情況有：A4,A4,44,a氏A2B,4B,

符合題意的情況有：A4,A&,&A,

故兩人恰好均為物理成績“優(yōu)”的概率P===：.

62

【變式3?3】(2024?高一?陜西咸陽?階段練習)從一批柚子中隨機抽取100個，獲得其質量(單位：g)

數據，按照區(qū)間［900,950),［950,1000),［1000』050),［10504100］進行分組，得到頻率分布直方圖，如圖所示.

⑴用分層抽樣的方法從質量在［950,1000)和［1050,1100］內的柚子中抽取5個，求抽取的質量在

［1050,1100］內的柚子數;

(2)從(1)中抽出的5個柚子中任取2個，求最多有I個柚子的質量在［1050,1100］內的概率.

【解析】(1)由頻率分布直方圖知,質量在［950,1000)內的柚子數為4=(1000-950)x0.004x100=20,

質量在［1050,1100］內的柚子數為〃2=(1100-1050)x0.006x100=30,

從質僦在［950,1000)和［1050,1100］內的柚子中抽取5個，其中質審在U050,1100］內的柚子數為

55°八°

n=-----x〃2=——x3()=3.

%+%50

(2)由(1)知，質量在口050,1100］內的柚子數為3,記為。，瓦%質量在［950,1000)內的柚子數為2,

記為d,e,

則從這5個柚子中任取2個的所有基本事件為(。⑼,(a,c)，3d),(a,e),(b,c),

(瓦d),(ae),(c,d),(c,e),(d,e),共10個，

其中最多有1個柚子的質量在U050,1100］內所包含的基本事件有?d),(a,e),(b,d),

,共7個，

所以最多有1個柚子的質量在U050,1100］內的概率P=5.

【變式3?4】(2024.高一.河南焦作.期末)某校組織《反間諜法》知識競賽，將所有學生的成績(單位:

分)按照［45,55),［55,65),…，［105,115］分成七組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

第11頁共36頁

（1）求這次競賽成績平均數的估計值；（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）

（2）從競賽成績不低于85分的學生中用分層隨機抽樣的方法抽取12人，再從第六組和第七組被抽到的

學生中任選2人做主題演講，求至少有1名第七組的學生做主題演講的概率.

【解析】（1）3+0.008+%+0.012+0.015+44+0.03）x10=704+065=1,解得“=0.005,

這次競賽成績平均數的估計值為

x=50x0.05+60x0.08+70x0.12+80x0.15+90x0.3+100x0.2+110x0.1=85.7.

（2）不低于X5分的二組頻率之比為3:2:1,用分層隨機抽樣的方法抽取12人，應從第六組和第七組

分別抽取4人和2人，

設第六組的4人為A,B,C,D，第七組的2人為甲、乙，

「是從這6人中任選2人的所有情況為：甲乙，甲A,甲8,甲C,甲。，乙A,乙B,乙C,乙D,

AB,AC,AD，BC,BD,CD,共15種，

其中甲、乙至少有1人被選中的有9種，

所以至少有1名第七組的學生做主題演講的概率為/9=3

【方法技巧與總結】在求概率時，若事件可以表示成有序數對的形式，則可以把全體樣本點用平面直

角坐標系中的點表示，即采用圖表的形式可以準確地找出樣本點的個數.故采用數形結合法求概率可以使

解決問題的過程變得形象、直觀，更方便.

題型四：對概率概念的理解

【典例4?1】（2024.高二.新疆和皿期中）拋擲一枚質地均勻的硬幣，設事件A=”正面向上”，則下列說

法正確的是（）

A.拋擲硬幣10次，事件A必發(fā)生5次

B.拋擲硬幣100次，事件A不可能發(fā)生50次

C.拋擲硬幣1000次，事件A發(fā)生的頻率一定等于0.5

D.隨著拋擲硬幣次數的增多，事件A發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在0.5附近

【答案】D

【解析】不管拋擲硬幣多少次，事件A發(fā)生的次數是隨機事件，故ABC錯誤：

隨著拋擲硬幣次數的增多，事件A發(fā)生的頻率在0.5附近波動的幅度較大的可能性?。?/p>

第12頁共36頁

故選：D

【典例4?2】（2024.高一.新疆喀什.期末）下列說法正確的是（）

A.隨著試驗次數的增大，隨機事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于該隨機事件發(fā)生的概率

B.某種福利彩票的中獎概率為盛，買1000張這種彩票一定能中獎

C.連續(xù)100次擲一枚硬幣，結果出現(xiàn)了49次反面，則擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為篙

D.某市氣象臺預報“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺專家中，有70%認為明天會

降水，30%認為明天不會降水

【答案】A

【解析】對于A,隨著試驗次數的增大，隨機事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于該隨機事件發(fā)生的概率，概

率是頻率的穩(wěn)定值，故A正確，

對于B,某種福利彩票的中獎概率為焉，買1000張這種彩票不一定中獎，故B錯誤，

對于C連續(xù)100次擲一枚硬幣，結果出現(xiàn)了49次反面，則在100此拋硬幣的實驗中擲一枚硬幣出現(xiàn)

49?

反面的頻率為W而擲?枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為故C錯誤,

100/

對于D,某市氣象臺預報“明天本市降水概率為70%”，指的明天會降水的可能性為70%.故D錯誤,

故選：A

【變式4-1］（2024?高一.天津河東?期末）用木塊制作的一個四面體，四個面上分別標記1,2,3,4,

卜.列說法正確的是（）

A.該四面體一定不是均勻的B.再拋擲一次，估計標記2的面落地概率0.72

C.再拋擲一次，標記4的面落地D.再拋擲一次，估計標記3的面落地概率0.2

【答案】D

【解析】A選項，就算四面體是均勻的，理論上每個面落地的次數仍舊可能不一樣，在均勻的條件下,

隨著試驗次數的增多，每個面落地的次數將會變得越來越接近，換句話說，即使是均勻的四面體，僅僅在

2M次試驗下，得到落地的面的統(tǒng)計結果也可能不一樣，A選項錯誤:

BCD選項，由于這200次實&2,3,4落在底面的頻率分別為急即0.18,0.21,0.39,

200200200

B選項中所估計的概率0.72和頻率0.18差別過大，

C選項認為標記4的面必定落地，是必然事件，概率為1，但頻率只有0.39,因此不能認為必然發(fā)生,

BC選項錯誤；

D選項，標記3的面落地概率估計是。.2,和實驗頻率。.21羊常接近.D選項正確.

第13頁共36頁

故選：D

【變式4?2】（2024?高一?山西，期末）某同學做立定投籃訓練，共做3組，每組投籃次數和命中的次數如

F表:

第一組第二組第三組合計

投籃次數100200300600

命中的次數68124174366

命中的頻率0.680.620.580.61

根據表中的數據信息，用頻率估計一次投籃命中的概率，則使誤差較小、可能性大的估計值是（）

A.0.58B,0.61C,0.62D.0.68

【答案】B

【解析】由題可知，試驗次數越多，頻率越接近概率，對可能性的估計誤差越小，可能性越大，

所以合il,列對應的頻率最為合適.

故選：B.

【變式4.3】（2024.高一.全國?課時練習）下列說法中正確的個數是（）

（1）概率反映隨機事件發(fā)生的可能性大小；

（2）做〃次隨機試驗，事件A發(fā)生加次，則事件A發(fā)生的頻率絲就是事件A發(fā)生的概率：

n

（3）頻率是不能脫離〃次試驗的試驗值，而概率是具有確定性的不依瀚于試驗次數的理論值；

（4）在大量的重復試驗中，頻率是概率的近似值，而概率是頻率的穩(wěn)定值.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】概率反映隨機事件發(fā)生的可能性大小，故（I）正確；

做〃次隨機試驗，事件A發(fā)生機次，則事件A發(fā)生的頻率二是事件A發(fā)生的概率的近似值，故（2）不

n

正確；

頻率是不能脫離〃次試驗的試驗值，而概率是具有確定性的不依'獺于試驗次數的理論值，故（3）正確；

在大量的重復試驗中，頻率是概率的近似值，而概率是頻率的穩(wěn)定值，故（4）正確.

故選：C

【變式4?4】（2024?高一?全國?單元測試）將一枚硬幣擲10次，正面向上出現(xiàn)了6次，若月A表示正面

向上這一事件，則人（）

A.發(fā)生的概率為］3B.發(fā)生的概率接近13

JJ

C.在這十次試驗中發(fā)生的頻率為］D.在這十次試驗中發(fā)生的頻率為6

第14頁共36頁

【答案】c

【解析】概率是頻率的穩(wěn)定值，A發(fā)生的概率等于故AB錯誤；

A在這十次試驗中發(fā)生的頻率為4故C正確，D錯誤.

故選：C

【方法技巧與總結】概率是描述隨機事件發(fā)生的可能性大小的量，概率大，只能說明這人隨機事件發(fā)

生的可能性大，而不是必然發(fā)生或必然不發(fā)生.

題型五：利用頻率估計概率

【典例5?1】（2024.高三?云南.階段練習）在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了200位某種疾病患者

的年齡，得到了如圖的樣本數據的頻率分布直方圖，根據圖中信息估計該地區(qū)這種疾病患者的年齡位于

【解析】由題知:fl=0.1-（0.001+0.002x2+0.006+0.017x2+0.020+0.023）=0.012,

故該地I乂這種疾病患者的年齡位于的【1。，30）概率為（0.0124-0.002）xl0=0.14.

故答案為：0.14

【典例5?2】（2024.高一.甘肅武威?開學考試）一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球

除顏色外均相同.經多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則盒子中紅球的個數約為.

【答案】15

【解析】設盒子中紅球的個數為〃，

由摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.25左右知，摸到黑球的概率為0.25,

則三=0.25,

解得〃=15,

即盒子中紅球個數大約15個.

故答案為：15

【變式54]（2024.高一.福建寧德?開學考試）在一個不透明的紙盒中裝有2個自球和若干個紅球，這些

球除顏色外都相同.每次從袋子中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，通過多次重復試驗發(fā)現(xiàn)摸出紅

球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，則袋子小紅球約有個.

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【答案】8

【解析】因為摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，

估計袋中紅球個數是乂0.8=-^-,x=8.

x+2

故答案為：8.

【變式5-2］（2024.高一.全國?課時練習）某制造商今年3月份生產了一批乒乓球，隨機抽取100個進行

檢查，測得每個乒乓球的直徑（單位：mm）,將數據分組如下：

分組頻數頻率

[39.95,39.97)100.10

[39.97,39.99)200.20

[39.99,40.01)500.50

[40.01,40.03]200.20

合計1001.00

若用上述頻率近似概率，已知標準乒乓球的直徑為40.00mm,則這批乒乓球的直徑誤差不超過0.03mm

的概率是.

【答案】0.90

【解析】標準尺寸是40.00mn,并且誤差不超過0.03mni,即直徑需落在［39.97,40.03卜范圍內.

由頻率分布表知，頻率為0.20+0.50+0.20=0.90,

所以直徑誤差不超過0.03mm的概率約為0.90.

故答案為：0.90

【變式5?3】（2024?高一?全國?課時練習）投擲硬幣的結果如下表：

投擲硬幣的次數200500c

正面向上的次數102b404

正面向上的頻率a0.4820.505

則。=,b=

據此可估計若擲硬幣一次，正面向上的概率為

【答案】0.51/包2418000.5/-

1002

102

【解析】ci------=0.51,0=500x0.482=241,

200

第16頁共36頁

三組試驗正面向上的頻率都在0.5附近，

由頻率的穩(wěn)定性，估計若擲硬幣一次，正面向上的概率應為05

故答案為：0.51；241；800；0.5.

【變式5?4】（2024?高一?新疆烏魯木齊?期末）某同學做立定投籃訓練，共做3組，每組投籃次數和命中

的次數如下表所示.

第一組第二組第三組合計

投籃次數100200300600

命中的次數68125176369

命中的頻率0.680.6250.5870.615

根據表中的數據信息，用頻率估計一次投籃命中的概率，那么使誤差較小的可能性大的估計值是一.

【答案】0.615

【解析】由題意知，試驗次數越多，頻率越接近概率，對可能性的估計誤差就越小.

所以使誤差較小的可能性大的估計值是0.615.

故答案為：（）.615.

【方法技巧與總結】（1）頻率是事件A發(fā)生的次數，〃與試驗總次數〃的比值，利用此公式可求出它們

的頻率.頻率本身是隨機變量，當〃很大時，頻率總是在一個穩(wěn)定值附近擺動，這個穩(wěn)定值就是概率.

（2）解此類題目的步驟：先利用頻率的計算公式依次計算潁率，然后用頻率估計概率.

題型六：概率的應用

【典例6?1】（2024?高一?河南商丘?期末）某班同學利用春節(jié)進行社會實踐，對本地［25,551歲的人群隨

機抽取〃人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，將生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則

稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數頻率分布直方圖.

序號分組（歲）本組中“低碳族”人數“低碳族”人數在本組所占的比例

1[25,30)1200.6

2[30,35)195P

3[35,40)1000.5

4[40.45)a0.4

5[45,50)300.3

6[55,60)150.3

第17頁共36頁

頻率

（一）人數統(tǒng)計表（二）各年齡段人數頻率分布直方圖

（I）在答題卡給定的坐標系中補全頻率分布直方圖，并求出”、〃、。的值；

⑵從［40,50）歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動.若將這6個人通

過拄簽分成甲、乙兩組，每組的人數相同，求［45,50）歲中被抽取的人恰好又分在同一組的概率.

【解析】（1）結合頻率分布直方圖可知，第二組的頻率為1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.0l）x5=0.3,

所以第二組高為（=0.06.故補全頻率分布直方圖如下:

200,頻率為0.04x5=0.2,所以

200

n---=1000：

0.2

因為第二組的頻率為0.3,所以第二組的人數為1000x0.3=300,所以〃=訴=0.65；

因為第四組的頻率為003x5=0.15,所以第四組的人數為1000x0.15=150,所以a=150x0.4=60.

（2）因為［40,45）歲年齡段的“低碳族”與［45,50）歲年齡段的“低碳族”的比為60:30=2:1,

所以采用分層抽樣法抽取6人，則在［40,45）歲中抽取4人，在［45,50）歲中抽取2人.

第18頁共36頁

設年齡在［40,45）中被抽取的4個人分別為：&演4，4：

年齡在［45,50）歲中被抽取的2個人分別為：跖％

則總的基本事件有：A4A-444,A4A—AR區(qū),A.A.B-A3Al4,44員—4A4,

A4A4-44A,....A/'B?-,共20個;

記“［45,50）歲中被抽取的人恰好有分在同一組”為事件C而事件C包含的基本事件有8個;

Q7

所以P(G=^=M

【典例6?2】（2024?高一?北京延慶?期末）為了了解某校高一學生一次體育健康測試的得分情況，一位老

師采用分層抽樣的方法選取了20名學生的成績作為樣本，來估計本校高?學生的得分情況，并以［75,80）,

，規(guī)定成績不低于90分為“優(yōu)

（1）從該學校高一學生中隨機選取一名學生，估計這名學生本次體育健康測試成績“優(yōu)秀”的概率；

⑵從樣本成績優(yōu)秀的［90,95）,［95,100］兩組學生中任意選取2人，記為｛q也｝,［90,95）中的學生為

%@=12?）,［95,100］中的學生為N（j=L2）,求