專題15平面解析幾何(選擇填空題)(第一部分)（解析版） - 大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2014-2025）與優(yōu) 質模擬題（新高考卷與全國理科卷）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2015-2024）與優(yōu)質模擬題（新高考卷）專題15平面解析幾何(選擇填空題)(第一部分)1．【2024年新高考2卷第5題】已知曲線C：x2+y2=16（y>0），從C上任意一點P向x軸作垂線段PP'，P'A．x216+y24=1（C．y216+x24=1（【答案】A【詳解】設點M(x,因為M為PP'的中點，所以y0=2又P在圓x2所以x2+4即點M的軌跡方程為x2故選：A2．【2023年新課標全國Ⅱ卷第5題】已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于A，BA．23 B．23 C．?23【答案】C【詳解】將直線y=x+m與橢圓聯(lián)立y=x+mx23+y因為直線與橢圓相交于A,B點，則Δ=36設F1到AB的距離d1,F2到AB則d1=|S△F1ABS故選：C.3．【2023年新課標全國Ⅰ卷第5題】設橢圓C1:x2a2+y2A．233 B．2 C．3 D【答案】A【詳解】由e2=3e1，得e22故選：A4．【2023年新課標全國Ⅰ卷第6題】過點0,?2與圓x2+y2?A．1 B．154 C．104 D【答案】B【詳解】方法一：因為x2+y2?4x?過點P0,?2作圓C因為PC=22可得sin∠APC=則sin∠APB=cos∠APB=即∠APB為鈍角，所以sinα=法二：圓x2+y2?過點P0,?2作圓C的切線，切點為A可得PC=22因為PA且∠ACB=π?∠APB，則即3?cos∠APB=即∠APB為鈍角，則cosα=且α為銳角，所以sinα=方法三：圓x2+y2?若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點的距離d=若切線斜率存在，設切線方程為y=kx?2，即kx?y?則2k?2k2設兩切線斜率分別為k1,k可得k1所以tanα=k1?k則sin且α∈0,π，則sinα>0故選：B.

5．【2021年新課標全國Ⅰ卷第5題】已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29+y24=A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【詳解】由題，a2=9,所以MF1?故選：C．6．【2021年新課標全國Ⅱ卷第3題】拋物線y2=2px(p>0)的焦點到直線y=x+A．1 B．2 C．22 D．【答案】B【詳解】拋物線的焦點坐標為p2其到直線x?y+1=0解得：p=2(p=?6故選：B.7．【2017年新課標Ⅲ卷理科第5題】已知雙曲線C:x2a2?yA．x24?C．x25?【答案】A【詳解】由橢圓的標準方程為x212+y2因為雙曲線C的焦點與橢圓x212+y2又因為雙曲線C:x2a2又由a2+b2=c2所以雙曲線C的方程為x2故選：A．8．【2017年新課標Ⅲ卷理科第10題】已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A．63 B．C．23 D．【答案】A【詳解】以線段A1A2為直徑的圓的圓心為坐標原點0,0，半徑為r=a直線bx?ay+2ab=0整理可得a2=3b2從而e2=c故選A.9．【2017年新課標Ⅱ卷理科第9題】若雙曲線C:x2a2?y2得的弦長為2，則C的離心率為

A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【詳解】由幾何關系可得，雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>即4(c2?a210．【2017年新課標Ⅰ卷理科第10題】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【詳解】設A(x1,y1),B(x2,y2),D(2k12+411．【2016年新課標Ⅲ卷理科第11題】已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點A．13 B．12 C．23【答案】A【詳解】如圖取P與M重合，則由A(?a,0),M(12．【2016年新課標Ⅱ卷理科第4題】圓x2+y2A．?43 B．?34 【答案】A【詳解】由x2+y2?2x?8y+13=0配方得13．【2016年新課標Ⅱ卷理科第11題】已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：x2a2?y2b2=1的左，右焦點，點M在EA．2 B．3C．3 D．2【答案】A【詳解】由已知可得，故選A.14．【2016年新課標Ⅰ卷理科第5題】已知方程x2m2A．(–1,3) B．(–1,3) C．(0,3) D．(0,3)【答案】A【詳解】由題意知：雙曲線的焦點在x軸上，所以m2+n+3m2?n=4，解得m2=1，因為方程15．【2016年新課標Ⅰ卷理科第10題】以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準線于D、E兩點.已知|AB|=42，|DE|=25，則CA．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【詳解】如圖，設拋物線方程為y2=2px，AB,DE交x軸于C,F點，則AC=22，即A點縱坐標為22，則A點橫坐標為4p，即

16．【2015年新課標Ⅱ理科第7題】過三點A(1,3)，B(4,2)，CA．2 B．8 C．4 D．10【答案】C【詳解】由已知得kAB=3?21?4=?13，kCB=2+74?117．【2015年新課標Ⅱ理科第11題】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為A．5 B．2 C．3 D．2【答案】D【詳解】設雙曲線方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，如圖所示，AB=BM，，過點M作MN⊥x軸，垂足為N，在RtΔBMN18．【2015年新課標Ⅰ理科第5題】已知M(x0,y0)是雙曲線C：x22?yA．(?33,33) B．【答案】A【詳解】由題知F1(?3,0),F2(3,0)，19．【2024年新高考1卷第11題】設計一條美麗的絲帶,其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標原點O.且C上的點滿足:橫坐標大于?2，到點F(2,0)的距離與到定直線x=a(a<A．a(chǎn)=?2 B．點(22,0)C．C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1 D．當點x0,y0【答案】ABD【詳解】對于A：設曲線上的動點Px,y，則x>?因為曲線過坐標原點，故0?22對于B：又曲線方程為x?22+故x?2當x=22,故22對于C：由曲線的方程可得y2=16則y2=6449?故C在第一象限內點的縱坐標的最大值大于1，故C錯誤.對于D：當點x0,y故?4故選：ABD.20．【2024年新高考2卷第10題】拋物線C：y2=4x的準線為l，P為C上的動點，過P作⊙A:x2+(y?4A．l與?A相切B．當P，A，B三點共線時，|C．當|PB|D．滿足|PA|=【答案】ABD【詳解】A選項，拋物線y2=4?A的圓心(0,4)到直線x=?1故準線l和?A相切，A選項正確；B選項，P,A,B三點共線時，即PA⊥l，則由yP2=4x此時切線長PQ=C選項，當PB=2時，xP=1，此時y當P(1,2)時，A(0,4),B(?不滿足kPA當P(1,?2)時，A(0,4),B不滿足kPA于是PA⊥AB不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉化根據(jù)拋物線的定義，PB=PF，這里于是PA=PB時P點的存在性問題轉化成PA=A(0,4),F(1,0)，AF中點12,2于是AF的中垂線方程為：y=2x+158，與拋物線Δ=16即存在兩個P點，使得PA=方法二：（設點直接求解）設Pt24,t，由PB⊥l可得B根據(jù)兩點間的距離公式，t416+Δ=16即存在兩個這樣的P點，D選項正確.故選：ABD21．【2023年新課標全國Ⅱ卷第10題】設O為坐標原點，直線y=?3x?1過拋物線C:y2=2pxp>0的焦點，且與CA．p=2 B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．△OMN為等腰三角形【答案】AC【詳解】A選項：直線y=?3x?1過點1,0，所以拋物線C所以p2=1,p=2,2p=4B選項：設Mx由y=?3x?1y2解得x1=3,x2=C選項：設MN的中點為A，M,N,A到直線因為d=1即A到直線l的距離等于MN的一半，所以以MN為直徑的圓與直線l相切，C選項正確.D選項：直線y=?3x?1O到直線3x+y?3=所以三角形OMN的面積為12由上述分析可知y1所以OM=所以三角形OMN不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

22．【2022年新課標全國Ⅰ卷第11題】已知O為坐標原點，點A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上，過點A．C的準線為y=?1 B．直線AB與CC．OP?OQ>|【答案】BCD【詳解】將點A的代入拋物線方程得1=2p，所以拋物線方程為x2=ykAB=1?(聯(lián)立y=2x?1x2=y，可得設過B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個交點，所以，直線l的斜率存在，設其方程為y=kx?1，P聯(lián)立y=kx?1x2所以Δ=k2?4>0又|OP|=所以|OP|?因為|BP|=所以|BP|?|BQ|故選：BCD23．【2022年新課標全國Ⅱ卷第10題】已知O為坐標原點，過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點F的直線與C交于A，BA．直線AB的斜率為26 B．C．|AB|>4|【答案】ACD【詳解】對于A，易得F(p2,0)，由AF=AM可得點A在代入拋物線可得y2=2p?3p4=3對于B，由斜率為26可得直線AB的方程為x=12設B(x1,y1)，則62p+則OB=p3對于C，由拋物線定義知：AB=3p對于D，OA?OB=又MA?MB=又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°，則∠OAM+∠OBM<18故選：ACD.24．【2021年新課標全國Ⅰ卷第11題】已知點P在圓x?52+y?52=A．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2C．當∠PBA最小時，PBD．當∠PBA最大時，PB【答案】ACD【詳解】圓x?52+y?5直線AB的方程為x4+y圓心M到直線AB的距離為5+所以，點P到直線AB的距離的最小值為1155?4<2，最大值為如下圖所示：當∠PBA最大或最小時，PB與圓M相切，連接MP、BM，可知PM⊥PB，BM=0?52+2?故選：ACD.25．【2021年新課標全國Ⅱ卷第11題】已知直線l:ax+by?r2=0與圓A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【詳解】圓心C0,0到直線l的距離d=若點Aa,b在圓C上，則a則直線l與圓C相切，故A正確；若點Aa,b在圓C內，則a則直線l與圓C相離，故B正確；若點Aa,b在圓C外，則a則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點Aa,b在直線l上，則a所以d=r2a2+b2=故選：ABD.26．【2020年新課標全國Ⅱ卷第10題】已知曲線C:mx2A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為nC．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±D．若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【詳解】對于A，若m>n>0，則mx2因為m>n>0，所以1即曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，若m=n>0，則mx2此時曲線C表示圓心在原點，半徑為nn的圓，故B對于C，若mn<0，則mx2此時曲線C表示雙曲線，由mx2+ny2對于D，若m=0,n>0，則my=±nn，此時曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故故選：ACD.27．【2024年新高考1卷第12題】設雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1【答案】3【詳解】由題可知A,B,F2三點橫坐標相等，設得y=±b2a，即Ac,又AF1?AF2=2a故c2=a2+故答案為：328．【2023年新課標全國Ⅱ卷第15題】已知直線l:x?my+1=0與?C:x?12+y2=4交于【答案】2（2,?【詳解】設點C到直線AB的距離為d，由弦長公式得AB=所以S△ABC=12由d=1+11+m2=2故答案為：2（2,?29．【2023年新課標全國Ⅰ卷第16題】已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為【答案】355【詳解】方法一：依題意，設AF2=在Rt△ABF1中，9m2+(2所以AF1=4a故cos∠所以在△AF1F2中，故e=c方法二:依題意，得F1(?c因為F2A=?23又F1A⊥F1又點A在C上，則259c2a2所以25c2b整理得25c4?50a2c又e>1，所以e=355或故答案為：3530．【2022年新課標全國Ⅰ卷第14題】寫出與圓x2+y2=【答案】y=?34x+5【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設直線方程為x+by+c=0于是|c|故c2=1+b2①，再結合①解得b=0c=1或b=?所以直線方程有三條，分別為x+1=0，(填一條即可)[方法二]：設圓x2+y2=圓(x?3)2+則|OC由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然x+1又由方程(x?3)2+即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為4x?直線OC與直線x+1=0設過該點的直線為y+43=k(x+從而該切線的方程為7x?24[方法三]：圓x2+y2=圓(x?3)2+(y?兩圓圓心距為32如圖，當切線為l時，因為kOO1=O到l的距離d=|t|1+916當切線為m時，設直線方程為kx+y+p=0，其中p>0，由題意p1+k2當切線為n時，易知切線方程為x=故答案為：y=?34x+5431．【2022年新課標全國Ⅰ卷第16題】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為12【答案】13【詳解】∵橢圓的離心率為e=ca=12，∴a=2c，∴b2=a2?c2=3c2，∴橢圓的方程為x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2?12c2=0，不妨設左焦點為F1，右焦點為判別式Δ=∴DE=∴c=138，得a=∵DE為線段AF2的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DF2，AE=EF2，∴△ADE故答案為：13.32．【2022年新課標全國Ⅱ卷第15題】設點A(?2,3),B(0,a)，若直線AB關于y=a【答案】1【詳解】解：A?2,3關于y=a對稱的點的坐標為A'?2,2a?所以A'B所在直線即為直線l，所以直線l為y=a?3?圓C:x+32+依題意圓心到直線l的距離d=?即5?5a2≤故答案為：133．【2022年新課標全國Ⅱ卷第16題】已知直線l與橢圓x26+y23=1在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，【答案】x+【詳解】[方法一]：弦中點問題：點差法令AB的中點為E，設Ax1,y1設直線AB:y=kx+m，k<0，m>0，求出再根據(jù)MN求出k、m，即可得解；解：令AB的中點為E，因為MA=NB，所以設Ax1,y1，B所以x12所以y1+y2y1?y2令x=0得y=m，令y=0得x=?mk，即所以E?即k×m2?m2又MN=23，即MN=m所以直線AB:y=?2故答案為：x+[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點E既為線段AB的中點又是線段MN的中點，設Ax1,y1，Bx2則M?mk,0，N0,m聯(lián)立直線AB與橢圓方程得y=kx+mx26+其中Δ=∴AB中點E的橫坐標xE=?2mk1+∵k<0，m>0，∴k=?22所以直線AB:y=?34．【2021年新課標全國Ⅰ卷第14題】已知O為坐標原點，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP，若FQ【答案】x=?【詳解】拋物線C：y2=2px(p>∵P為C上一點，PF與x軸垂直，所以P的橫坐標為p2，代入拋物線方程求得P的縱坐標為±p不妨設P(因為Q為x軸上一點，且PQ⊥OP，所以Q在F的右側，又∵|∴Q因為PQ⊥OP，所以PQ?∵p>0,所以C的準線方程為x=?故答案為：x=?335．【2021年新課標全國Ⅱ卷第13題】若雙曲線x2a2?y【答案】y=±【詳解】解：由題可知，離心率e=ca=又a2+b2=故此雙曲線的漸近線方程為y=±3故答案為：y=±336．【2020年新課標全國Ⅱ卷第14題】斜率為3的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則AB=．【答案】16【詳解】∵拋物線的方程為y2=4x，∴拋物線的焦點又∵直線AB過焦點F且斜率為3，∴直線AB的方程為：y=代入拋物線方程消去y并化簡得3x解法一：解得x1=1所以|解法二：Δ=設A(x1過A,B分別作準線x=?|故答案為：1637．【2017年新課標Ⅰ卷理科第15題】已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓【答案】2【詳解】如圖所示，

由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=32b∴|OP|=|OA設雙曲線C的一條漸近線y=bax的傾斜角為θ，則tanθ=|又tanθ=ba∴32ba2?34b∴e=1+答案：238．【2017年新課標Ⅱ卷理科第16題】已知F是拋物線C:y2=8x的焦點，Μ是C上一點，F(xiàn)Μ的延長線交y軸于點Ν．若Μ為【答案】6【詳解】如圖所示，不妨設點M位于第一象限，設拋物線的準線與x軸交于點F'，作MB⊥l與點B，NA⊥l與點A，由拋物線的解析式可得準線方程為x=?2，則AN=2,FF'=4，在直角梯形ANFF'中，中位線BM=AN+FF'239．【2016年新課標Ⅲ卷理科第16題】已知直線l：mx+y+3m?3=0與圓x2+y2=12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與【答案】4【詳解】因為AB=23，且圓的半徑為r=23，所以圓心0,0到直線mx+y+3m?3=0的距離為r2?AB22=3故答案為440．【2015年新課標Ⅰ理科第14題】一個圓經(jīng)過橢圓x216+y2【答案】(【詳解】設圓心為（a，0），則半徑為4?a，則(4?a)2=1．（2024·河北石家莊·三模）已知雙曲線C:y2a2?xA．y=±3x B．y=±33x 【答案】B【分析】設雙曲線C:y2a2?x2b【詳解】設雙曲線C:y2雙曲線的漸近線方程為by±ax=0由點到直線的距離公式可得|b×c±a×又雙曲線C:y2a2所以雙曲線C的漸近線方程為3y±3x=故選：B.

2．（2024·湖北武漢·模擬預測）設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，過F的直線l與拋物線在第一象限交于點A，與y軸交于點CA．33 B．223 C．2【答案】C【分析】由題意可求得AA'=p,A的坐標為p【詳解】∵AF=FC，∴F為AC的中點，過點A作AA'垂直于y軸于點則AA'=p,∴A的坐標為p,2p，而故選：C．

3．（2024·內蒙古·三模）已知橢圓y2m2+2+xA．±2 B．±2 C．±2【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的方程，結合離心率的定義和求法，列出方程，即可求解.【詳解】由橢圓y2m2+2+x所以e2=c故選：B.

4．（2024·廣東汕頭·三模）已知橢圓C：x216+y212=1的兩個焦點分別為F1A．C的離心率為12 B．PC．PF1?PF2【答案】D【分析】求出橢圓C的長短半軸長及半焦距，再結合橢圓的性質逐項分析計算即可.【詳解】橢圓C：x216+y212=對于A，C的離心率e=c對于B，由PF1+PF對于C，|PF1對于D，當P不在x軸上時，cos∠=24|P當P在x軸上時，cos∠F1PF故選：D

5．（2024·山東菏澤·二模）已知e1,e2分別為橢圓x2a2+yA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質，求出e2e1=a【詳解】由橢圓x2a2雙曲線x2a2?y令k=ba，因為雙曲線的漸近線的斜率不超過25則0<k2≤4則e2e1故選：B.

6．（2024·河北衡水·模擬預測）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，過點F作直線l與漸近線A．65 B．54 C．43【答案】B【分析】設E的左焦點為F',QF=t，由雙曲線的定義，得QF'=t+2a，又PF=b，cos∠OFP=b【詳解】設Fc,0,O為坐標原點，則設E的左焦點為F',QF=t，連接QF'在△QF'F中，由余弦定理，得(t+2a由FQ=3PF，得b所以e=c故選：B.

7．（2024·山東濟寧·三模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，根據(jù)雙曲線的光學性質可知，過雙曲線C上任意一點Px0,y0的切線l:x0A．32 B．233 C．53【答案】C【分析】利用切線長定理求得直線I1I2【詳解】令圓I1切AF1,A|F1T|?因此x0?(?c)?(c?x0)=2即直線I1I2的方程為x=a，設A(x1xa2?y1整理得x=a2(y2于是x=a2(y2因此S△II1I2故選：C8．（2024·山東·模擬預測）已知雙曲線C:y2?x2=1的上焦點為F，圓A的圓心位于x軸上，半徑為2，且與A．23?2 B．2 C．6【答案】B【分析】設出圓的方程與雙曲線方程聯(lián)立，可得x1+x2,【詳解】由題可知F0,2．設圓A:(x?a)聯(lián)立y2?x2=因此x12+因為y12?x1故BF+又y12+y22=3，且所以BF===≥==2當a=1時，有B0,1，D1,所以BF+DF的最小值是故選：B.9．（2024·山西太原·三模）已知曲線C:x2A．曲線C可能是直線 B．曲線C可能是圓C．曲線C可能是橢圓 D．曲線C可能是雙曲線【答案】ACD【分析】因為α∈(0,π)【詳解】因為α∈(0,π)對于A，當cosα=0時，曲線C：x=±對于B，如果曲線C是圓，則cosα=1，矛盾，故曲線對于C，當cosα∈(0,1)時，曲線C可化為x2+y對于D，當cosα∈(?1,0)時，曲線故選：ACD.

10．（2024·廣東茂名·一模）已知圓C:x2A．圓C的圓心坐標為?B．圓C的周長為2C．圓M:x+3D．圓C截y軸所得的弦長為3【答案】BC【分析】根據(jù)圓C和圓M的方程得它們的圓心和半徑即可求解判斷ABC，對于D求出圓C上橫坐標為0的點的縱坐標即可判斷.【詳解】對于AB，圓C的方程可化為x?1可得圓心的坐標為1,1，半徑為5，則周長為25π，可知A錯誤，對于C，由M?3,?1，對于D，令x=0，可得y2?可得圓C截y軸所得的弦長為4，可知D錯誤.故選：BC.

11．（2024·山西呂梁·三模）已知橢圓x2a12+y2b12=1aA．a(chǎn)B．1C．bD．若e2∈3【答案】BCD【分析】根據(jù)焦距相等可判斷A；根據(jù)橢圓和雙曲線定義，結合余弦定理整理可判斷B；根據(jù)B中4c2=【詳解】根據(jù)題意，設F1對于A中，因為橢圓與雙曲線有公共焦點，可得a12?即a1對于B中，不妨設點P在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義，可得PF所以PF又由余弦定理得F1可得4c所以14對于C中，由a12?對于D中，因為e2∈3由14e12+故選：BCD.

12．（2024·河北唐山·二模）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，過點4,0的直線與C交于Ax1A．x1x2=16 C．以AB為直徑的圓過坐標原點 D．△ABF【答案】AC【分析】設過點4,0的直線為x=ty+4，聯(lián)立直線和拋物線的方程求出x1x2=16可判斷A；以AB為直徑的圓的圓心為2t2+4,2t【詳解】設過點4,0的直線為x=ty+4對于A，聯(lián)立y2=4Δ=16t2所以x1對于B，因為x=184所以，AB的中點為2t2+4,2t又AB=設圓的半徑為r，則r=2所以r2又圓心2t2+4,2t而d12=4t所以以AB為直徑的圓與l相離，故B錯誤；對于C，圓心到坐標原點的距離為d2d2所以r2=d所以以AB為直徑的圓過坐標原點，故C正確；對于D，因為聯(lián)立y2=4若t=32，則上述方程為y2?6取y1=?2，則x取y2=8，則x又拋物線過焦點F1,0，所以FA=0,FA?所以△ABF故選：AC.

13．（2024·山西太原·二模）已知兩定點A?2,0，B1,0，動點M滿足條件MA=2MB，其軌跡是曲線C，過B作直線l交曲線A．PQ取值范圍是2B．當點A，B，P，Q不共線時，△APQ面積的最大值為6C．當直線l斜率k≠0時，AB平分D．tan∠PAQ最大值為【答案】ACD【分析】分析可知曲線C是以D2,0為圓心，半徑r=2的圓.對于A：根據(jù)圓的性質分析求解；對于B：設l:x=my+1,Px1,【詳解】設Mx,y因為MA=2MB，即x+可知曲線C是以D2,0為圓心，半徑r=對于選項A：因為1?22+02=1<且BD=1，則PQ的最大值為2r=所以PQ取值范圍是23設l:聯(lián)立方程x=my+1x?22+則y1對于選項B：可得y1令t=4m2可得y1因為ft=t+1t在3,即t+1t≥可得△APQ的面積S△APQ所以△APQ面積的最大值為33對于選項C：因為kPA又因為y1則2m即kPA+kAQ=0，可知對于選項D：因為AB平分∠PAQ，則∠PAQ=2可知當PA與曲線C相切時，∠PAB取到最大值，此時sin∠PAB=DAAD=2即∠PAB的最大值為π6，則∠PAQ的最大值為π所以tan∠PAQ最大值為tan故選：ACD.14．（2024·廣東·二模）拋物線τ：x2=2pyp>0焦點為F，且過點A4,4，斜率互為相反數(shù)的直線AC，AD分別交τ于另一點C和A．直線CD過定點B．τ在C，D兩點處的切線斜率和為?C．τ上存在無窮多個點到點F和直線y=5D．當C，D都在A點左側時，△ACD面積的最大值為256【答案】BCD【分析】對于A，代入已知點求得拋物線τ：x2=4y，不妨設AC:y=kx?4+4,k>0，AD:y=?kx?4+4，【詳解】對于A，因為拋物線τ：x2=2pyp>0過點所以拋物線τ：x2=4y，設點A關于拋物線對稱軸即y軸的對稱點為點因為AD,AC斜率互為相反數(shù)，不妨設則AD:聯(lián)立AC:y=kx?4+4與拋物線Δ=設Ax則x1所以x2=4直線CD的方程為：y?y整理得y==?即直線CD的方程為：y=?2隨著k的變化，這條可能直線會平行移動，不妨取k=1,0，此時CD的方程依次是y=?顯然這兩條直線是平行的，它們不會有交點，這就說明直線CD過定點是錯誤的，故A錯誤；對于B，對y=x24求導，可得y'=x2，從而τ對于C，設τ上存在點Px0,y0由拋物線定義可知，PF+d=y0+1+y注意到當?1<y這意味著τ上存在無窮多個點到點F和直線y=5對于D，設CD與AB交與點G，聯(lián)立直線CD的方程：y=?2x+4k2解得x=2k2?4,設△ACD面積為S，則S=1注意到C，D都在A點左側時，意味著2k2?4<0，且從而S=16設fk=64所以當0<k<