2024年北京四中高一（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京四中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷分為兩卷，卷（I）100分，卷（II）50分，滿分150分，考試時間120分鐘卷（I）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分1.已知集合A，=B=，則集合C.AB.D.2.函數(shù)f(x)=x[?2+x?2的定義域是B.(?,2]?x+10+C.(?,2)[?+)3.命題“xR，x32”的否定是A.xR，x3??x210+B.D.xRx，3?x2+10C.xR，x3x210xRx，3?x2+104.如果b0a，那么下列不等式中正確的是．?abbB．?abC．a(chǎn)b11222．a(chǎn)b5.下列函數(shù)中，在區(qū)間(+)上為減函數(shù)的是x+3x+1．y=x2?2xB.y=xC.y=y=2x+16.函數(shù)f(x)|x+1|?|x?1|的圖像關(guān)于．原點對稱B．x軸對稱C．y軸對稱．點0)對稱ab7.已知ab0，則“c0”是“A.充分不必要條件”的a+cb+cB.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件C.充要條件18.函數(shù)fx)=x3??2在區(qū)間(0,+)內(nèi)的零點個數(shù)是x．0B．1C．2．39.下列函數(shù)中，滿足f(2x)=2f(x)的是4．f(x)=(x+2)B．f(x)=x+12C．f(x)=．f(x)=x?xx10.兩個不同的函數(shù)f(x)，g(x)滿足xR，f(x)g(x)0，則可能的情況是．f(x)是一次函數(shù)，g(x)是二次函數(shù)B．f(x)在R上遞增，g(x)在R上遞減．f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)C．f(x)，g(x)都是奇函數(shù)二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．若xx?，則實數(shù)x的值為.1==12.不等式ax2+bx?10的解集為(?,，則a，b.413.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)=x2?3x，則f(f=．3x+0x214.函數(shù)f(x)=2x，則f(x)的減區(qū)間為，f(x)的值域是.2+x,?2x02x+a15.已知函數(shù)f(x)=(aR,a4).x?2①當(dāng)a1時，=f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；②當(dāng)a?4時，一定有ff(4)f；③若存在實數(shù)k，使得函數(shù)y=f(x)?x+k沒有零點，則一定有a?4；?④若存在實數(shù)k，使得函數(shù)y=f(x)?2+1恰有三個零點，則一定有a4；以上結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是.三、解答題：本大題共3小題，共35分x+42x?316.（12分）設(shè)集合A={x||x?，B={x|，C{x|2k1x2k.=?+II）求A；III）若CA，求實數(shù)k的取值范圍.（I）求(17.（分）某學(xué)校課外活動小組根據(jù)預(yù)報的當(dāng)?shù)啬程欤?~24時）空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)繪制成at+0t8散點圖，并選擇函數(shù)y=來近似刻畫空氣質(zhì)量指數(shù)y隨時間t變化的規(guī)t?64t+b,8t242（I）求a,b的值；（II）當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)大于150時，有關(guān)部門建議市民外出活動應(yīng)戴防霧霾口罩，并禁止特殊行業(yè)施工.請結(jié)合上面選擇的函數(shù)模型，回答以下問題，并說明理由：①某同學(xué)該天7:00出發(fā)上學(xué)，是否應(yīng)戴防霧霾口罩？②當(dāng)天特殊行業(yè)可以連續(xù)施工的最長時間為多少小時？118.（12分）已知函數(shù)f(x)=.x(x?2)（I）判斷f(x)在2)上的單調(diào)性，并用定義證明；（II）若g(x)=f(x+a)是偶函數(shù)，求a的值.卷（Ⅱ）一、選擇題：本大題共3小題，每小題5分，共15分1.已知集合A=，B={z|z=x+y,x,y}，C={z|z=x?y,x,y}，則．B=CB．BC．B．B12.當(dāng)x2時，4x+a恒成立，則a的最大值為x?2B．103.設(shè)集合A的最大元素為，最小元素為m，記的特征值為X=M?m，若集合中只有一．6C．12．13MAA個元素，規(guī)定其特征值為0.已知A，A，A，，n是集合*的元素個數(shù)均不相同的非空123真子集，且X+X+X+=120，則n的最大值為C．16．18A123．14B．15二、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分1317344.+(?)?2??2?=________.1()=()()()5.若二次函數(shù)fx的圖像關(guān)于x2對稱，且faf0f1，則實數(shù)a的取值范圍是.(xa),x0?216.設(shè)函數(shù)f(x)=.當(dāng)a=時，f(x)的最小值是________；若f(0)是f(x)的最1x+,x02x小值，則a的取值范圍是________.三、解答題：本大題共2小題，共20分7.（10分）已知函數(shù)f(x)=(x?2)x+1.y=f(x)（I）求方程組的解集；2x?y=0（II）在答題紙的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)f(x)的圖像；（III）若f(x)在(a,a上具有單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍.+a=8.（10分）如果正整數(shù)集的子集Aa,a,*N,2)滿足：12①1=aa；12(≤≤)，a,aAn)，使得a=a+a，②kA2knijkij則稱A為集.（I）分別判斷A=5與B=2,3,6是否為（II）當(dāng)n=5時，對于集A=a,a,a,a,a，設(shè)S=1+，求證：；25S+112345（III）當(dāng)7時，若n=36，求集A中所有元素的和的最小值.參考答案I卷一、單項選擇題（每題4分，共40分）題號答案1C2B3B45C678B910BDAAD二、填空題（每題5分，共25分）1或512.4，31113.214.?，?715.②③48注：12、14題第一空3分，第二空2分；15題少選3分，錯選漏選0分.三、解答題（共35分）3216.由題意A=(??)，，=3，B=，3(I)；232(II)A；(III)顯然2k?12k+C，312k+1或2k?13，解得k或k2，2414因此k的取值范圍是?，，.8a+118=20617.(I)a=11，解得264?648+b=206(II)①是.711+=.b590=②0t8時，11t+118150，解得0t；8t24時，t2?t+590150，解得t；3222?10=12,11所以可以連續(xù)施工的最長時間為12小時.()18.(I)f(x)在1,2上單調(diào)遞減.()定義域為0，，()xx任取1,21,2且，1211()?()=?fxfx12(?)(?)xx222xx211(?2x?x?211)x222=2(?)(?)xxx221221(2?)(+?)xx22=11(?)(?)xxx2221210()所以f(x)在1,2上單調(diào)遞減.1()=(II)gx，(+)+?xa(xa2)()?+?==gx是偶函數(shù)，則定義域關(guān)于原點對稱，(a)(2a)0，則a1，1()=此時gx(??)，1，定義域，，(+)x1(x?11g(?x)==gx，符合題意，=()(?+)??x1(x(+)?x1(xa=1.所以II卷一、單項選擇題（每題5分，共15分）1.A2.C3.C二、填空題（每題5分，共15分）1(),04.155.6.，24注：6題第一空3分，第二空2分.三、解答題（共20分）(?)(+)?x2x1,x1()=7.fx，(?)(??)?x1,xx21y=f(x)(I)2x?f(x)=0，2x?y=0y=2x當(dāng)x?1，2xx2x10，?(?)(+)=即x?3x?2=0，23?3+x=x=解得2或2；y=3?y=3+當(dāng)x?1，2xx2?(?)(??)=x10，即2x+x?2=0，x=?2x=1解得或y=?4y2=3?173+17(??)綜上，方程組的解集是,317,?,317,4.+22(II)（作圖過程略）1212(??)，1，，+?(III)f(x)在遞增，在，遞減，a112所以a+1?1或a或，12a+11122(??，2因此實數(shù)a的取值范圍是，，.8.(I)注意到：31+1，因此數(shù)集1,3,5不是集.注意到：2=1+1,312,633，因此數(shù)集=+=+2,3,6是集.(II)由于集合Aa,a,=是集，12n，存在i,j1ijn)即對任意的2ka=a+a成立。kij，使得并且1a2=，故aa,aa.從而aa,aaik1jk1.1ikjk于是a=a+a2a，對任意的k(2kn)均成立。kijk1因此a2a,a2a,1，將這些不等式同向累加，有：5443a2+故a2a+a+..512從而aa+(S?a)=1+(S?a).5155于是25S+1.(III)數(shù)集A中所有元素的和的最小值為.首先，注意到1=1，根據(jù)集的定義，有a=a+a=2.211考慮集合A=36，A=36，此時A是集.下面，我們證明數(shù)集A中所有元素的和的最小值為.滿足S=a+a+75的集合A只有有限多個，這是因為：1=aa,aaaa3，因此an.n12122323n(+)nn1故S=a+a+，當(dāng)n12時，S7875.nn122因此滿足S=a+a+75的集合A只有有限多個。75的集。n12設(shè)集合A為滿足S=a+a+n12下面我們從最大和次大的元素兩個角度分析集合A的構(gòu)成：n1=n?2=9.a=18a=36=18+18若18A，設(shè)，注意到，tn為了使得S=a+a+最小，不存在元素a，使得18a36.n12kk從而an1=18.若18A，由于集合是集，Aa=36n，存在i,j，使得36=a=a+a.nij由于18A，故aai，由于集合A中至少有7個元素，j因此集合A中至少還有4個異于a,a,a的元素，但此時，ijnSa+a+a+4a=36+36+4=7675.矛盾！nijn1因此18A一定成立，此時a=18.同理可證：9=i+aa=9.n?2n1由于集合A是集，故存在i,j，使.不妨設(shè)ij，則aa.分四類：