2024年中考數(shù)學考點知識13 銳角三角函數(shù)及其應用（解析版）

知識必備13銳角三角函數(shù)及其應用

'易籍常

易錯點1.涉及銳角三角函數(shù)的概念時，是否明確“對邊”“鄰邊”“斜邊”都是在“直角三角形”中.

一.選擇題（共3小題）

1.（2023?青島三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均是1,AABC的頂點均在小正方形的頂點上,

則sinNZMC的值為（

【分析】過點。作CQJ■人4，垂足為。，用勾股定理得，AC=5,再根據(jù)三角函數(shù)定義求出sin/AAC的值.

【解答】解：過點。作CD_L/W，垂足為。，

在RIAADC中，根據(jù)勾股定理得，AC=5,

4

sinZ.BAC=—,

5

【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握勾股定理、三角函數(shù)定義的應用是解題關鍵.

2.（2023?泉港區(qū)模擬）已知NA是銳角AABC的內(nèi)角，sinA=1,則cosA的值是（）

7345

A.-B.-C.-D.-

5553

【分析】根據(jù)si/A+cos2A=1,進行計算即可解答.

a

【解答】解：?.sin，A+cos2A=1,sinA=—，

5

（1）2+cos2A=1,

，416

/.cos-A=—，

25

4、4

「.cos4=—或cosA=——（舍去）,

55

故選：c.

【點評】本題考宣了同角三角函數(shù)的關系，熟練掌握sm2a+cos%=l是解題的關鍵.

3.（2023?宿城區(qū)校級模擬）如圖，點A、B、C均在4x4的正方形網(wǎng)格的格點上，貝han/84C=（）

c?

【分析】過點8作比）_LAC,垂足為D.根據(jù)格點和勾股定理先求出48、AC,利用三角形的面積求出3。、AD,

最后求出NK4C的正切.

【解答】解：如圖，過點A作40_1,力C,垂足為O.

由格點三角形可知：4C=V42+42=472,

AB=>j42+22=2x/5.

S&BC=1X4X4--X4X2

22

=8-4

=4,

S/vutoC*-=—2AC-BD

=-x4x/2xBD

2

=2y/2BD.

7.2&BD=4,

BD=近.

AD=yjAB--BD2

V20-2

=3>/2.

nr\

tanZBAC=—

AD

二正

一3&

I

=—.

3

故選：A.

【點評】本題考查了解宜角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的邊角間關系是解決本題的關鍵.

二.填空題（共5小題）

4.（2023?茂南區(qū)校級模擬）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點A、B、O都在格點上，則NOA6的正弦

值是好.

-5-

【分析】過點O作OC_LA6的延長線于點C,構(gòu)建直角三角形ACO,利用勾股定理求出斜邊04的長，即可解答.

【解答】解：如圖，過點O作OCJ_/IA的延長線于點C,

則AC=4,OC=2,

在RtAACO中，AO=y]AC-+OC2=742+22=x/56=2N/5,

.._OC_2_V5

.?sinZ/-nOAABn==—產(chǎn)=—?

OA2>f55

故答案為：手.

【點評】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，作出輔助線并利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解

題的關罹.

5.（2023?西城區(qū)校級模擬）在正方形網(wǎng)格中，AABC的位置如圖所示，則sinNABC為—.

-10一

B

【分析】在RtAABD中，先利用勾股定理求出A8的長，然后利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答.

【解答】解：如圖:

在RtAABD中，AD=],BD=3,

AB=\lAD1+BD~=A/12+32=M,

,s"4仁四=七=我,

AB回10

故答案為：巫.

10

【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.

6.（2023?廣陵區(qū)校級一模）如圖，在A4AC中，sin?=-,tanC=-,AB=4,則AC的長為非

42

【分析】過點A作AO_L8C,垂足為。，先在RlAABD中，利用銳用三角函數(shù)的定義求出的長，再在RlAADC

中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CZ）的長，然后根據(jù)勾股定理求出AC的長即可解答.

4

AD=A8.sin8=4x'=1,

4

在RtAADC中，tanC=—?

2

/.DC=^-=y=2,

tanC1

2

:.AC=jAD2+CD2=Vl2+22=N/5,

故答案為：xfs.

【點評】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題FI的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵.

7.（2023?鼓樓區(qū)校級二模）我們給出定義：如果兩個銳角的和為45。，那么稱這兩個角互為半余角,如圖，在AABC

中，ZA,4互為半余角，且生=述，則tanA=-.

AC3-5-

C

AB

【分析】要求tanA的值，想到構(gòu)造直角三角形，根據(jù)己知可得NAC3的補角為45。，所以過點3作4。_LAC,交

AC的延長線于點。，分別在RtACDB和RtAABD中利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答.

【解答】解：過點B作AO_LAC,交入C的延長線于點。，

.?.設8c=2夜a,AC=3a,

Z4,4互為半余角，

,-.ZA+ZB=45°,

ZDC4=ZA+N4=45。，

在RtACDB中，BD=BCsin45°=2y/la-=2a,

2

CD=ECcos45。=142a-=2a,

2

?.?AC=%，

AD=AC+CD=3a+2a=5a,

在RtAABD中，tan/\=—

AD5a5

故答案為：

5

【點評】本題考查了余角和補角，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵.

8.（2023?富錦市校級一模）等邊A45C中，點。在射線C4上，且AB=2AD,則tanNOBC的值為且或3G.

-3——

【分析】分兩種情況討論，并畫出圖形，①當。在AC之間，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求出A3=AC=3C,ZC=60°,

再根據(jù)4?=2A￡>,得出Na9C=90°，從而求出心〃ND4c的值；②當。在C4延長線上時，過點。作Q￡_L3C于

E,設人力=x,則八4=AC=AC=2r,在RSDEC中用三角函數(shù)表示兩條直角邊，從而求出tan/OAC的值.

【解答】解：如圖①，當。在AC之間

在等邊MBC中，

AB=AC=BC,NC=60。，

*.AB=2AD,

AD=CD，

：.BD1AC,

"DC=90。，

ZDBC=30°,

/.tamZDBC=—；

3

如圖②，當。在C4延長線上時，過點。作7)E_L8c于石,

，?在等邊A/WC中，

AB=AC=BC,ZC=60°,

AB=2AD,

.?.設AO=x,則AB=AC=8C=2x,

\-DElBC,

/DEC=90。,

NSE=30°,

I4同

:.EC=-DC=\.5x,ED=—x,BE=U5x,

22

DFr-

tanZD^C=—=3V3,

BE

故答案為：36或也.

3

【點評】本題.主要考查了銳角三角函數(shù)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)的應用，分情況討論，作出相

應的圖形是解題關鍵.

易錯點2.實際問題中對坡角、俯角、仰角與方位角等找不準無法準確理解題意易出錯.

一.選擇題（共3小題）

1.（2023?石獅市模擬）如圖，線段AB、C。分別表示甲、乙建筑物的高，AB1MN于點、B，CD1.MN于點、D,

兩座建筑物間的距離3。為40加.若甲建筑物的高45為20〃?，在點A處測得點C的仰角a為25。，則乙建筑物的高

CD約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin25°?0.42,cos25。比0.91,tan25°?0.47）

C.40.8/7?D.56.4〃?

【分析】過點A作A￡_LCD,垂足為石，根據(jù)題意可得：AB=ED=20m,AE=BD=40m,然后在RtAAEC中,

利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE的長，從而利用線段的和差關系在行計算，即可解答.

【解答】解：過點A作A￡_LS,垂足為E,

在RtAAEC中，ZC4E=25°,

CE=AEtan25°?40x0.47=18.8（"。，

:.CD=CE+DE=\8.8+20=38.8（〃?）,

故選：B.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解

題的關跡.

2.（2023?龍崗區(qū)二模）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，被譽為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級工程，它是我國

從橋梁大國走向橋梁強國的里程碑之作.港珠澳大橋主橋為三座大跨度鋼結(jié)構(gòu)斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取

自“風帆”，寓意“揚帆起航”，某校九年級學生為了測量該主塔的高度，站在4處看塔頂A,仰角為60。，然后向

后走160米（BC=160米），到達。處，此時看塔頂A卬角為30。，則該主塔的高度是（）

A

A.80米B.80G米C.160米D.80夜米

【分析】過點A作AOJLC8,垂足為。，先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得Nfi4C=ZACD=30°,從而可得

A3=8C=160米，然后在RtAABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出A3的長，即可解答.

【解答】解：過點4作AO_LC3,垂足為。，

NABD是MAC的一個外角，NABD=60。，Z4CD=30°,

-."AC=ZABD-ZACD=30°，

.?.NB4C=NACD=30。，

/.48=8C=160米，

在RtAABD中，AD=A8sin60o=l60x@=804（米），

2

.??該主港的高度是806米，

故選：B.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解

題的關源.

3.（2023?任丘市模擬）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55。方向，距離燈塔2海里的點4處，如果海輪沿正南

方向航行到燈塔的正東方向，海輪航吁的距離的長是（）

?1A

?

?Z

A.海里B.2sin55。海里C.海里D.2cos55。海里

sin550cos550

【分析】根據(jù)題意可得：ABLBP,NP//AB,ZNPA=55°,從而可得N2VR4=N4=55。，然后在RtAAPR中，利

用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答.

【解答】解：由題意得：ABLBP,NP//AB,ZNPA=550,

/.Z7VE4=ZA=55°,

在RtAAPB中，”=2海里，

/.AB=AP-cos55°=2cos55°（海里），

.?.海輪航行的距離AB的長是2cos55。海里，

故選：。.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的美鍵.

二.填空題（共4小題）

4.（2（）23?香洲區(qū)校級三模）如圖，無人機4的探測器顯示，從無人機看樹頂8的仰角為30。，看柄底部C的俯角為

600,無人機與樹的水平距離為6M，則樹高8C為_8百_/〃（結(jié)果保留根號）.

【分析】過點A作AO_L8C,垂足為。，然后分別在RiAABD和RIAADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出發(fā)）,

8的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答.

【解答】解：過點A作AD_L3C,垂足為。，

在RtAABD中，Z^4D=30°,4)=6〃?,

/.BD=ADlixn30°=6x—=2瓜m),

3

在RtAADC中，ZmC=60°,

CD=ADtan600=，

BC=BD+CD=8?m),

.??樹高3C為8屈,

故答案為：86.

【點評】本題考杳了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解

題的關健.

5.（2023?江漢區(qū)校級模擬）如圖載人飛船從地面O處成功發(fā)射，當飛船到這點地面。處的雷達站測得

AD=4000米，仰角為30。，3秒后，飛船直線上升到達點8處，此時地面C處的雷達站測得8處的仰角為45。.點

O,C,。在同一直線上，已知C,。兩處相距460米，則飛船從A到8處的平均速度為米/秒.（結(jié)果

精確到I米；參考數(shù)據(jù)：6=1.732,1.414）

【分析】根據(jù)題意可得；BOLOD,然后在RlAAOD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AO和8的長，

從而求出OC的長，再在RIABOC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出08的長，從而求出的長，最后進行計算即

可解答.

【解答】解：由題意得：BOLOD,

在RtAAOD中，49=4000米，ZAZX>=30°,

:.AO=-AD=2（m（米），描A=2000百（米），

2

8=460米，

OC=OD-CD=（2000x/3-460）米，

在RtABOC中，400=45。，

BO=OCian45°=（200（）6-460）米,

/.AB=BO-AO=20006-460-2000?1（X）4（米），

.??飛船從A到B處的平均速度=四史。335（米/秒），

3

故答案為：335.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.

6.（2023?石峰區(qū)二模）如圖，為了測量河寬CO,先在A處測得對岸C點在其北偏東30。方向，然后沿河岸更行到

點B，在A點測得對岸C點在其北偏西45。方向，經(jīng)過計算河寬CO是30米，則從A點到4點的距離為

（10x/5+30）_米.（結(jié)果保留根號）

北

四十東

南

B

D

A

和比＞

出AD

定義求

函數(shù)的

角三角

利用銳

中，

2DB

和RW

ACD

在RtA

分別

然后

Ab,

O_L

得：C

題意可

】根據(jù)

【分析

解答.

，即可

行計算

關系進

的和差

用線段

從而利

的長，

A/3,

CD±

意得：

：由題

】解

【解答

，

30米

6=

6J°?

30°=

0°-

D=9

ZC4

W，

ACD

在RtA

CD

），

（米

10x/3

^=

=j

=

/.AD

°G

tan60

°,

°=45

0°-45

D=9

ZC^

中，

CDB

在RtA

CD

），

（米

=30

=

:.BD

°

tan45

）米,

+30

（10G

BD=

AD+

AB=

）米,

+30

（IOG

離為

的距

B點

點到

.??從A

30）.

百+

：（10

案為

故答

鍵.

的關

解題

義是

的定

函數(shù)

三角

銳角

掌握

熟練