三角形和全等三角形經(jīng)典習題和答案

...wd......wd......wd...全等三角形綜合復(fù)習切記：“有三個角對應(yīng)相等〞和“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等〞的兩個三角形不一定全等。例1.如圖，四點共線，，，，。求證：。例2.如圖，在中，是∠ABC的平分線，，垂足為。求證：。例3.如圖，在中，，。為延長線上一點，點在上，，連接和。求證：。例4.如圖，//，//，求證：。例5.如圖，分別是外角和的平分線，它們交于點。求證：為的平分線。例6.如圖，是的邊上的點，且，，是的中線。求證：。例7.如圖，在中，，，為上任意一點。求證：。全等三角形綜合復(fù)習7月22日作業(yè)一、選擇題：1.能使兩個直角三角形全等的條件是() A.兩直角邊對應(yīng)相等 B.一銳角對應(yīng)相等 C.兩銳角對應(yīng)相等 D.斜邊相等2.根據(jù)以下條件，能畫出唯一的是() A.，， B.，， C.，， D.，3.如圖，，，增加以下條件：①；②；③；④。其中能使的條件有() A.4個 B.3個 C.2個 D.1個4.如圖，，，交于點，以下不正確的選項是() A. B. C.不全等于 D.是等腰三角形5.如圖，，，，則等于() A. B. C. D.無法確定二、填空題：6.如圖，在中，，的平分線交于點，且，，則點到的距離等于__________；7.如圖，，，是上的兩點，且，假設(shè)，，則____________；8.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為_________；9.如圖，在等腰中，，，平分交于，于，假設(shè)，則的周長等于____________；10.如圖，點在同一條直線上，//，//，且，假設(shè)，，則___________；三、解答題：11.如圖，為等邊三角形，點分別在上，且，與交于點。求的度數(shù)。12.如圖，，，為上一點，，，交延長線于點。求證：。答案例1.思路分析：從結(jié)論入手，全等條件只有；由兩邊同時減去得到，又得到一個全等條件。還缺少一個全等條件，可以是，也可以是。由條件，可得，再加上，，可以證明，從而得到。解答過程：，在與中∴(HL)，即在與中(SAS)解題后的思考：此題的分析方法實際上是“兩頭湊〞的思想方法：一方面從問題或結(jié)論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結(jié)論。再比照“所需條件〞和“得出結(jié)論〞之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)：此題不僅告訴我們?nèi)艉稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我們?nèi)艉稳シ治鲆粋€題目，得出解題思路。例2.思路分析：直接證明對比困難，我們可以間接證明，即找到，證明且。也可以看成將“轉(zhuǎn)移〞到。那么在哪里呢角的對稱性提示我們將延長交于，則構(gòu)造了△FBD，可以通過證明三角形全等來證明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。解答過程：延長交于在與中(ASA又。解題后的思考：由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3.思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等，關(guān)鍵是要找到這兩個三角形。以線段為邊的繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，而線段正好是的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯?。解答過程：，為延長線上一點在與中(SAS)。解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對應(yīng)邊和對應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時不容易找到需證明的三角形。這時我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例4.思路分析：關(guān)于四邊形我們知之甚少，通過連接四邊形的對角線，可以把原問題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問題。解答過程：連接//，//，在與中(ASA)。解題后的思考：連接四邊形的對角線，是構(gòu)造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要證明“為的平分線〞，可以利用點到的距離相等來證明，故應(yīng)過點向作垂線；另一方面，為了利用條件“分別是和的平分線〞，也需要作出點到兩外角兩邊的距離。解答過程：過作于，于，于平分，于，于平分，于，于，，且于，于為的平分線。解題后的思考：題目中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結(jié)論時，常過角平分線上的一點向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定來解答問題。例6.思路分析：要證明“〞，不妨構(gòu)造出一條等于的線段，然后證其等于。因此，延長至，使。解答過程：延長至點，使，連接在與中(SAS)，又，在與中(SAS)又。解題后的思考：三角形中倍長中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。例7.思路分析：欲證，不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來證明。由于結(jié)論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來證明，從而想到構(gòu)造線段。而構(gòu)造可以采用“截長〞和“補短〞兩種方法。解答過程：法一：在上截取，連接在與中(SAS)在中，，即AB－AC>PB－PC。法二：延長至，使，連接在與中(SAS)在中，。解題后的思考：當或求證中涉及線段的和或差時，一般采用“截長補短〞法。具體作法是：在較長的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設(shè)法證明較長線段的剩余線段等于另外的較短線段，稱為“截長〞；或者將一條較短線段延長，使其等于另外的較短線段，然后證明這兩條線段之和等于較長線段，稱為“補短〞。小結(jié)：此題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學習的深入還要繼續(xù)總結(jié)。我們不光要總結(jié)輔助線的作法，還要知