專題06權(quán)方和不等式（高階拓展）（教師版）

專題06權(quán)方和不等式（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）【學(xué)習(xí)目的】本節(jié)內(nèi)容為基本不等式的高階版，能快速解決基本不等式中的最值問(wèn)題知識(shí)講解考點(diǎn)解析例1：若正數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)_____________解：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，時(shí)取等號(hào)所以的最小值為例2：若，，，則的最小值為_(kāi)_____________解：即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例3：若，，，則的最小值為_(kāi)_____________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例4：若，，則的最小值為_(kāi)_____________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，所以的最小值為例5：已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為_(kāi)_____________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例6：已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為_(kāi)_____________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例7：已知正數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)_____________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例8：求的最小值為_(kāi)_____________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例9：求的最小值為_(kāi)_____________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例10：已知正數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)_____________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例11：已知，求的最小值為_(kāi)_____________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例12：已知，，，求的最大值為_(kāi)_____________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例13：求的最大值為_(kāi)_____________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例14：已知正數(shù)，，滿足，求的最大值為_(kāi)__________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將拼湊為，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.【詳解】∵，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：.2．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知，，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．9【答案】C【分析】根據(jù)“乘1法”，運(yùn)用基本不等式即可求解.【詳解】依題意，因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故選：C.3．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】解：依題意，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選:A.4．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)，滿足．則的最小值為（

）A．12 B．25 C．27 D．36【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為27．故選：C5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】湊配出積為定值，然后用基本不等式得最小值．【詳解】解：由題意，正數(shù)，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故選：B.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，，則的最小值等于（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】由余弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，且，所以，又由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值等于.故選：D.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，的最小值為.故選：B8．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式求解．【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：D．9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．1【答案】C【分析】由，再由基本不等式即可求出答案.【詳解】因?yàn)?，則則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故選:C．10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，那么的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由題意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.【詳解】因?yàn)?，，，則.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等.故選：C.11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)a，b，x，y>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為（

）A．16 B．25 C．36 D．49【答案】B【分析】將給定函數(shù)式表示成已知不等式的左邊形式，再利用該不等式求解作答.【詳解】因a，b，x，y>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，即，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以函數(shù)的最小值為25.故選：B12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得出，將所求代數(shù)式化為，與代數(shù)式相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，且，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：B.13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用換元法和基本不等式即可求解.【詳解】令，，則，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故選：A.14．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，將所求式子進(jìn)行整理變形，再利用基本不等式即可求解.【詳解】，等式恒成立，，由于，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).，，故的最小值為1.故選：.15．（2023·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知銳角滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算出，再將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】，，、均為銳角，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，故，時(shí)等號(hào)成立.因此，的最小值為.故選：C二、填空題16．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）已知x，，，則的最小值______．【答案】【分析】將展開(kāi)，利用基本不等式即可求解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即，的最小值為，故答案為：17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值為_(kāi)___________.【答案】/【分析】利用1的妙用，由利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)、滿足，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，故答案為：.18．（2023·吉林·長(zhǎng)春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法可得出，與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】設(shè)，可得，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立，則的小值為.故答案為：9.19．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎?，且，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】2【分析】根據(jù)基本不等式湊項(xiàng)法和“1”的巧用即可求得最值.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.20．（2023秋·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【分析】由，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：.21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知（），則的最小值為_(kāi)__________.【答案】4【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故的最小值為4.故答案為：422．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是__________．【答案】【詳解】根據(jù)題意，若，則；又由，則有，則；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值是，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查了基本不等式，關(guān)鍵是根據(jù)分式的運(yùn)算性質(zhì)，配湊基本不等式的條件，基本不等式求最值應(yīng)注意的問(wèn)題(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對(duì)其前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可．(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)，并結(jié)合基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故函數(shù)的最小值為.故答案為：24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)且，則的最小值為_(kāi)________．【答案】【分析】由已知條件可知，且，再展開(kāi)，并利用基本不等式求其最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得最小值．故答案為：.25．（2023秋