專題26特殊與一般思想中的三種題型（三角函數(shù)與解三角形數(shù)列不等式）-2022年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案

2022年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）（三角函數(shù)與解三角形、數(shù)列、不等式）題型一：三角函數(shù)與解三角形1．（2021·上海青浦·一模）若數(shù)列：中的每一項都為負(fù)數(shù)，則實數(shù)的所有取值組成的集合為__________.【答案】【分析】根據(jù)題意，可知當(dāng)時，不符合題意；所以，則均成立，從而得出，通過類比推理得出對一切正整數(shù)恒成立，進(jìn)而可得出，即可得出實數(shù)的所有取值.【詳解】解：當(dāng)時，，，不符合題意，又因為，所以，則均成立，則，即，，以此類推，對一切正整數(shù)恒成立，因為當(dāng)時，，則，所以，解得：，經(jīng)檢驗，符合題意，綜上所述，實數(shù)的所有取值組成的集合為.故答案為：.題型二：數(shù)列1．（2021·上海徐匯·一模）已知，記表示中的最大值，表示中的最小值，若，數(shù)列和滿足，則下列說法中正確的是（

）A．若，則存在正整數(shù)，使得 B．若，則C．若，則 D．若，則存在正整數(shù)，使得【答案】B【分析】根據(jù)時，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得即可判斷A，當(dāng)時，分類討論可判斷數(shù)列極限確定B，時判斷數(shù)列的增減性判斷C，由題意可得即可判斷D.【詳解】設(shè)的解為t，當(dāng)時，,因為，所以，依次類推，，故A錯誤；當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以B正確；當(dāng)時，，所以是遞增數(shù)列，所以無極限，故C錯誤；因為，所以，故D錯誤.故選：B2．（2022·上海市松江二中高三開學(xué)考試）若實數(shù)數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列.(1)請寫出一個5項的數(shù)列，滿足，且各項和大于零；(2)如果一個數(shù)列滿足：存在正整數(shù)使得組成首項為1，公比為的等比數(shù)列，求的最小值；(3)已知為數(shù)列，求證：為數(shù)列且為數(shù)列”的充要條件是“是單調(diào)數(shù)列”.【答案】(1)(答案不唯一)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義寫出一個滿足條件的數(shù)列即可.（2）由數(shù)列的定義，只需讓正整數(shù)且間的間隔盡量小，結(jié)合題設(shè)找到后續(xù)各項數(shù)字出現(xiàn)規(guī)律，找到對應(yīng)的最小位置，即可得的最小值.（3）由數(shù)列的定義，分別從充分性、必要性兩方面證明結(jié)論，注意反證法的應(yīng)用.(1)由題設(shè)，，又，所以，存在滿足條件，又，則，綜上，滿足題設(shè)的數(shù)列有.(2)由題設(shè)，為，所以數(shù)列從開始依次往后各項可能出現(xiàn)的數(shù)字如下：，，，，，，，，…，要使的最小即正整數(shù)且間的間隔盡量小，又，則，綜上，的最小值為.(3)由為數(shù)列，則，由為數(shù)列，則，又為數(shù)列，即，若不是單調(diào)數(shù)列，則存在，即，顯然與矛盾；或存在，即，顯然與矛盾；綜上，是單調(diào)數(shù)列，充分性得證；由是單調(diào)數(shù)列且為數(shù)列，所以，則，則，即，所以、均為數(shù)列，必要性得證；綜上，為數(shù)列且為數(shù)列”的充要條件是“是單調(diào)數(shù)列”.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，根據(jù)等比數(shù)列寫出的各項，結(jié)合及數(shù)列的定義，有必是最靠前的項，再依次項判斷后續(xù)各項數(shù)字出現(xiàn)規(guī)律，找到對應(yīng)的最小位置.題型三：不等式1．（2020·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三期中）在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，具有以下三條性質(zhì)：（1）對任意；（2）對任意；（3）對任意．給出下列四個結(jié)論：①；②；③對任意；④存在．其中，所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】②③④【解析】根據(jù)給定的新運算得到的計算方法，再逐項計算并判斷相應(yīng)的結(jié)論是否成立，從而得到正確的序號.【詳解】由題設(shè)有，對于①，，故①錯誤.對于②，，由①中結(jié)果可知，故②正確.對于③，對任意，而，故，故③正確.對于④，取，則，而，故，故④正確.故答案為：②③④.【點睛】本題考查新定義背景下命題真假的判斷，此題的關(guān)鍵是根據(jù)給出的運算規(guī)則得到的運算方法，本題屬于較難題.2．（2022·上?！じ呷_學(xué)考試）有限集的全部元素的積稱為該數(shù)集的“積數(shù)”，例如的“積數(shù)”為2，的“積數(shù)”為6，的“積數(shù)”為，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為___________.【答案】1010【分析】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個結(jié)論：對于有限非空數(shù)集，積數(shù)和，由此即可計算得到答案.【詳解】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個結(jié)論：對于有限非空數(shù)集，積數(shù)和當(dāng)時，，成立；假設(shè)時，當(dāng)時，綜上可得，，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為：故答案為：1010.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查新定義“積數(shù)”的理解和運用，以及“積數(shù)”的和的求法，求證對于有限非空數(shù)集，積數(shù)和是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理與運算求解能力，屬于難題.3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：，雙曲余弦函數(shù)：，（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）解方程：；（2）寫出雙曲正弦與兩角和的正弦公式類似的展開式：________，并證明；（3）無窮數(shù)列，，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）存在，.【分析】（1）由題意得，結(jié)合一元二次方程的解法及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）類比兩角和正弦公式有，結(jié)合已知雙曲正余弦函數(shù)分別化簡等式左右邊的式子，判斷是否相等即可.（3）若，假設(shè)，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明通項公式在上成立，則有，此時不成立；若，則，結(jié)合雙曲余弦函數(shù)的值域為，求證，并應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明在上成立，令求m值，即可確定值的存在性.【詳解】（1）由題意得：，即，解得：；（2）左邊，右邊，∴左邊等于右邊，即成立（3）當(dāng)時，存在，使得，由數(shù)學(xué)歸納法證明：，證明如下：?。┊?dāng)時，成立，ⅱ）假設(shè)時，，則成立.綜上：.∴，有，即.當(dāng)時，由，函數(shù)的值域為，對于任意大于1的實數(shù)，存在不為0的實數(shù)，使得，類比余弦二倍角公式，猜