55平面向量中的最值范圍問題（精講）

5.5平面向量中的最值、范圍問題【題型解讀】【知識必備】一、平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題,也是難點問題,此類問題綜合性強(qiáng),體現(xiàn)了知識的交匯組合．其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值,比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等,解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,同時向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份,所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合．二、平面向量范圍與最值問題常用方法：（1）坐標(biāo)法第一步:根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)第二步:將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化第三步:運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解（2）基底法第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論（3）幾何意義法第一步:先確定向量所表達(dá)的點的軌跡第二步:根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式第三步：解得結(jié)果【題型精講】【題型一平面向量數(shù)量積的最值范圍問題】必備技巧數(shù)量積的最值范圍處理方法（1）運(yùn)用平面向量基本定理,將數(shù)量積的兩個向量用基底表示后,再運(yùn)算，（2）建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理，（3）利用極化恒等式來處理.例1（2022·河南高三月考）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為4的等邊三角形．設(shè)點為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，的最大值為A．18 B．24 C．36 D．48【答案】C【解答】據(jù)題意：圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為4的等邊三角形．點為后輪上的一點，故，，故【法二】：如圖建立平面直角坐標(biāo)系：則，，．可設(shè)，所以，．故．故選：．例2（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測）邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，是內(nèi)切圓的一條弦，點為正方形四條邊上的動點，當(dāng)弦的長度最大時，的取值范圍是_________.【答案】【解析】如下圖所示：設(shè)正方形的內(nèi)切圓為圓，當(dāng)弦的長度最大時，為圓的一條直徑，，當(dāng)為正方形的某邊的中點時，，當(dāng)與正方形的頂點重合時，，即，因此，.故答案為：.【跟蹤精練】1.（2022·山東·山師附中模擬預(yù)測）已知圓半徑為2，弦，點為圓上任意一點，則的最大值是【答案】6【解答】解：如圖，取中點，連接，，，則：；；當(dāng)，即同向時取“”；的最大值為6．故答案為：6．2.（2022·云南玉溪·高三月考）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長為6的可移動的線段，，，，則的取值范圍為________________.

【答案】【解析】在上取一點，使得，取的中點，連接，，如圖所示：則，，，，即.，當(dāng)時，取得最小值，此時，所以.當(dāng)與重合時，，，則，當(dāng)與重合時，，，則，所以，即的取值范圍為.故答案為：【題型二平面向量模的最值范圍問題】方法技巧模的最值范圍處理方法設(shè),則,向量的?？梢岳米鴺?biāo)表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向線段的長度,過可結(jié)合平面幾何知識求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以將向量用基底向量表示再求．例3（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知△ABC為等邊三角形，AB=2，△ABC所在平面內(nèi)的點P滿足，的最小值為（） 【答案】C【解析】建系A(chǔ)，B，C,設(shè)P，,，則P到距離為1，則最小值為例4（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，則的最大值為______.【答案】【解析】設(shè)向量的夾角為，，，則，令，則，據(jù)此可得：，即的最大值是故答案為：.【跟蹤精練】1.（2022·全國·高三課時練習(xí)）已知，點在線段上，且的最小值為，則（）的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】當(dāng)時，取得最小值，因為，所以此時點為線段的中點，因為，所以，故，則，因為，故．故選：B.2.（2022·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高三月考）已知平面向量，，滿足，，與的夾角為，則的最大值為___________．【答案】【解析】∵，,∴，如圖所示，設(shè)平面向量，，都是以O(shè)為起點，終點分別是A,B,C，則平面向量+的終點N到O的距離為2，設(shè)AB的中點為M,則|MN|=1,∴N在以M為圓心，半徑為1的圓周上.由與的夾角為，∴點C在以AB為弦的圓周角為的優(yōu)弧上，當(dāng)C,M,N共線，且C,N在直線AB的兩側(cè)，并且CM⊥AB時，|CN|最大，也就是取得最大值,此時,,|CN|=,故答案為：.【題型三平面向量夾角的最值范圍問題】例5（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）非零向量滿足=,,則的夾角的最小值是．【答案】【解析】由題意得,,整理得,即,,夾角的最小值為例6（2022·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考）已知,,且與的夾角為銳角,則的取值范圍是．【解析】由于與的夾角為銳角,,且與不共線同向,由,解得,當(dāng)向量與共線時,得,得,因此的取值范圍是且．【題型精練】1．(2022·福建省漳州市高三一模)已知向量與的夾角為，，，，，在時取最小值，當(dāng)時，的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解析】解：由題意得：，，，由二次函數(shù)知，當(dāng)上式取最小值時，，，，解得．的取值范圍為．故選：．2.(2022·福建省漳州市高三期末)設(shè)向量、滿足：，，的夾角是，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：向量、滿足：，，的夾角是，．若與的夾角為鈍角，則，且與不共線，即，且，即，且．求得，，即，，，故選：．【題型四平面向量中系數(shù)的最值范圍問題】必備技巧系數(shù)的最值范圍處理方法（1）建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理，（2）利用極等和線定理來處理.例7（2022·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，，，分別是，上的動點，且滿足，設(shè)，則的最小值為（

）A．48 B．49 C．50 D．51【答案】B【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，因為，所以，，.因為，所以，，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.故選:B.例8（2022·海南?？凇ざ＃┰O(shè)為單位向量，非零向量，若的夾角為，則的最大值等于．【解析】解：，只考慮，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．則的最大值等于．故答案為：．【題型精練】1.（2022?南通期末）在中，M為BC邊上任意一點，N為線段AM上任意一點，若（，），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由題意，設(shè)，，當(dāng)時，，所以，所以，從而有；當(dāng)