專(zhuān)項(xiàng)28反比例圖像與一次函數(shù)綜合應(yīng)用（三大類(lèi)型）（解析卷）

專(zhuān)項(xiàng)28反比例圖像與一次函數(shù)綜合應(yīng)用（三大類(lèi)型）考點(diǎn)反比例與一次函數(shù)的綜合方法1：分類(lèi)討論的符號(hào)；方法2：四個(gè)圖逐個(gè)分析判斷；方法3：運(yùn)用特殊點(diǎn)（值）去排除（此種方法作參考，不能完全排三選一）【類(lèi)型一：反比例圖形與一次函數(shù)圖形】【典例1】反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝ax+b在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，則a＞0，與y軸交于負(fù)半軸，則b＜0，所以ab＜0，則反比例y＝經(jīng)過(guò)第二、四象限，不符合題意；B、一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，則a＜0，與y軸交于負(fù)半軸，則b＜0，所以ab＞0，則反比例y＝經(jīng)過(guò)第一、三象限，不符合題意；C、一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，則a＜0，與y軸交于正半軸，則b＞0，所以ab＜0，則反比例y＝經(jīng)過(guò)第二、四象限，不符合題意；D、一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，則a＞0，與y軸交于負(fù)半軸，則b＜0，所以ab＜0，則反比例y＝經(jīng)過(guò)第二、四象限，符合題意；故選：D．【變式11】在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝x和y＝﹣的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵y＝x中的1＞0，∴直線(xiàn)y＝1x經(jīng)過(guò)第一、三象限．∵y＝﹣中的﹣2＜0，∴雙曲線(xiàn)y＝﹣經(jīng)過(guò)第二、四象限，綜上所述，只有B選項(xiàng)符合題意．故選：B．【變式12】在同一平面直角坐標(biāo)系中反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝x+3的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝中，3＞0，∴反比例函數(shù)過(guò)第一、三象限，∵y＝x+3中，k＝1＞0，b＝3＞0，∴一次函數(shù)過(guò)第一、二、三象限；故選：A．故選：D．【類(lèi)型二：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的大小比較】【典例2】（2022?普陀區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A（，4）和點(diǎn)B（3，n）．若y1＜y2，則x的取值范圍是（）A．x＜0或＜x＜3 B．x＜或x＞3 C．0＜x＜或x＞3 D．x＜0或x＞3【答案】C【解答】解：根據(jù)圖象得：當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是0＜x＜或x＞3，故選：C．【變式21】（2022?東營(yíng)）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b與反比例函數(shù)y2＝的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣1，則不等式k1x+b＜的解集是（）A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2【答案】A【解答】解：觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)﹣1＜x＜0或x＞2時(shí)，一次函數(shù)y1＝k1x+b的圖象在反比例函數(shù)y2＝的圖象的下方，∴不等式k1x+b＜的解集為：﹣1＜x＜0或x＞2，故選：A．【變式22】（2022?朝陽(yáng)）如圖，正比例函數(shù)y＝ax（a為常數(shù)，且a≠0）和反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象相交于A（﹣2，m）和B兩點(diǎn)，則不等式ax＞的解集為（）A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2【答案】D【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝ax（a為常數(shù)，且a≠0）和反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象相交于A（﹣2，m）和B兩點(diǎn)，∴B（2，﹣m），∴不等式ax＞的解集為x＜﹣2或0＜x＜2，故選：D．【變式23】（2022?渠縣一模）如圖，直線(xiàn)y＝ax+b與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A（1，m）、B（n，1）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，且，則不等式ax+b＞的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，則AD∥BE，∴＝＝，∵A（1，m）、B（n，1），∴AD＝m，BE＝1，∴m＝3，∴A（1，3），∵函數(shù)y＝（x＞0）的圖象國(guó)過(guò)點(diǎn)A（1，3）、B（n，1）兩點(diǎn)，∴k＝1×3＝n?1，∴n＝3，∴B（3，1），觀察圖象，不等式ax+b＞的解集為1＜x＜3，故選：D．【類(lèi)型三：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用】【典例3】（2022?大足區(qū)模擬）如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b（k1≠0）與反比例函數(shù)（k2≠0）的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，3），B（n，﹣1），與x軸交于點(diǎn)C．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P在x軸上，且滿(mǎn)足S△APB＝8，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，3）代入（k2≠0）中，得k2＝﹣3，∴反比例函數(shù)的解析式為．將點(diǎn)B（n，﹣1）代入中，得n＝3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，﹣1），將A（﹣1，3），B（3，﹣1）代入y＝k1x+b（k1≠0）中，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+2．（2）對(duì)于一次函數(shù)y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，0），∵S△APB＝S△ACP+S△BCP＝8，即|2﹣a|×3+|2﹣a|×1＝8，∴|a﹣2|＝4，解得a＝﹣2或a＝6．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（6，0）．【變式31】（2022?咸豐縣模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)的圖象上A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n）．（1）求反比例函數(shù)和直線(xiàn)AB的解析式；（2）連接AO、BO，求△AOB的面積．【解答】解：（1）∵A、B兩點(diǎn)在的圖象上，而A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n），∴n（n+1）＝（n﹣5）（﹣2n），即n2+n＝﹣2n2+10n3n2﹣9n＝0，解得n1＝0，n2＝3∵的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，∴n1＝0舍去，∴n＝3，∴A（3，4），B（﹣2，﹣6），∴k＝3×4＝12，設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為：y＝ax+b，則，解得：∴直線(xiàn)AB的解析式為：y＝2x﹣2，反比例函數(shù)解析式為：；（2）設(shè)直線(xiàn)AB交x軸于點(diǎn)D，則當(dāng)y＝0時(shí)，2x﹣2＝0，∴x＝1，∴D（1，0），∴∴△AOB的面積為5．【變式32】（2021秋?金水區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC為矩形，且點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，6），M為BC中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝（k是常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接OM、ON．（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式．（2）求△MON的面積．【解答】解：（1）由四邊形AOBC為矩形，且點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，6），M為BC中點(diǎn)，得AC＝OB＝8，OA＝BC＝6，M（8，3），N點(diǎn)的縱坐標(biāo)是6，∴BM＝3，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得k＝8×3＝24，反比例函數(shù)的解析是為y＝；（2）當(dāng)y＝6時(shí)，＝6，解得x＝4，∴N（4，6），∴AN＝4，∴NC＝8﹣4＝4，CM＝6﹣3＝3，∴S△MON＝S矩形AOBC﹣S△AON﹣S△BOM﹣S△MCN＝AC?BC﹣OA?AN﹣OB?BM﹣NC?NM＝6×8﹣×6×4﹣×8×3﹣×4×3＝18，即△MON的面積為18．1.函數(shù)y＝x﹣a與y＝（a≠0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、由函數(shù)y＝x﹣a的圖象可知a＞0，由函數(shù)y＝（a≠0）的圖象可知a＜0，相矛盾，故選項(xiàng)不可以；B、由函數(shù)y＝x﹣a的圖象可知a＜0，由函數(shù)y＝（a≠0）的圖象可知a＞0，相矛盾，故選項(xiàng)不可以；C、函數(shù)y＝x﹣a的圖象錯(cuò)誤，故選項(xiàng)不可以；D、由函數(shù)y＝x﹣a的圖象可知a＞0，由函數(shù)y＝（a≠0）的圖象可知a＞0，一致，故故選項(xiàng)可以；2．（2014?無(wú)錫一模）如圖，A是反比例函數(shù)y＝圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在x軸上，△ABP的面積為2，則k的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可得，S△ABP＝＝2，又∵函數(shù)圖象在第一象限，∴k＝4．故選：D．3．（2021?長(zhǎng)沙模擬）雙曲線(xiàn)與在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，則△AOB的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：設(shè)直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)C．∵AB∥y軸，∴AC⊥x軸，BC⊥x軸．∵點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)y＝的圖象上，∴△AOC的面積＝×10＝5．∵點(diǎn)B在雙曲線(xiàn)y＝的圖象上，∴△COB的面積＝×6＝3．∴△AOB的面積＝△AOC的面積﹣△COB的面積＝5﹣3＝2．故選：B．4．（2022?江漢區(qū)校級(jí)模擬）若一次函數(shù)y＝kx+b和反比例函數(shù)y＝（m＜0）的圖象交于點(diǎn)A（﹣3，y1），B（1，y2），則不等式kx2+bx﹣m＜0的解集是（）A．x＞1或x＜﹣3 B．0＜x＜1或x＜﹣3 C．﹣3＜x＜0或x＞1 D．﹣3＜x＜0或0＜x＜1【答案】A【解答】解：∵m＜0，∴反比例函數(shù)y＝（m＜0）的圖象在第二、四象限，如圖，當(dāng)x＞0時(shí)，∵kx2+bx﹣m＜0，∴kx+b＜，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）圖象在反比例函數(shù)y＝（m＜0）的圖象下方時(shí)，x的取值范圍是：x＞1，當(dāng)x＜0時(shí)，∵kx2+bx﹣m＜0，∴kx+b＞，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）圖象在反比例函數(shù)y＝（m＜0）的圖象上方時(shí)，x的取值范圍是：x＜﹣3，∴等式kx2+bx﹣m＜0的解集是：x＞1或x＜﹣3，故選：A．5．（2022春?安溪縣期末）如圖，反比例函數(shù)y1＝和正比例函數(shù)y2＝kx的圖象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）兩點(diǎn)，若＜k2x，則x的取值范圍是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣1或0＜x＜1【答案】C【解答】解：根據(jù)反比例函數(shù)y1＝和正比例函數(shù)y2＝k2x的圖象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）兩點(diǎn)，利用圖象得：y1＞y2時(shí)x的取值范圍是﹣1＜x＜0或x＞1．故選：C．6．（2022?沈陽(yáng)模擬）如圖，點(diǎn)A，B分別是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C，D分別是反比例函數(shù)y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）圖象上的兩點(diǎn)，且四邊形ABCD是平行四邊形，則平行四邊形ABCD的面積為．【答案】8【解答】解：解法一：如圖，連接OC、OD，CD交y軸于E，∵點(diǎn)C，D分別是反比例函數(shù)y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）圖象上的兩點(diǎn)，∴S△DOE＝×|﹣3|＝，S△COE＝×5＝，∴S△DOC＝+＝4＝S平行四邊形ABCD，∴S平行四邊形ABCD＝8，故答案為：8．解法二：設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為b，∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)也為b，∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，∴CD＝﹣＝，∴平行四邊形ABCD的面積為×b＝8，故答案為：8．7.（2022?市南區(qū)二模）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)y＝和y＝﹣的圖象分別是l1和l2．設(shè)點(diǎn)P在l1上，PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點(diǎn)A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點(diǎn)B，則△PAB的面積為．【答案】【解答】解：∵點(diǎn)P在y＝上，∴|xp|×|yp|＝|k|＝1，∴設(shè)P的坐標(biāo)是（a，）（a為正數(shù)），∵PA⊥x軸，∴A的橫坐標(biāo)是a，∵A在y＝﹣上，∴A的坐標(biāo)是（a，﹣），∵PB⊥y軸，∴B的縱坐標(biāo)是，∵B在y＝﹣上，∴代入得：＝﹣，解得：x＝﹣2a，∴B的坐標(biāo)是（﹣2a，），∴PA＝|﹣（﹣）|＝，PB＝|a﹣（﹣2a）|＝3a，∵PA⊥x軸，PB⊥y軸，x軸⊥y軸，∴PA⊥PB，∴△PAB的面積是：PA×PB＝××3a＝故答案為：．8．（2022秋?雙牌縣校級(jí)月考）如圖，直線(xiàn)y1＝k1x+b與雙曲線(xiàn)相交于A（1，2）、B（m，﹣1）兩點(diǎn)．（1）求直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）觀察圖象，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍．【解答】解：（1）把A（1，2）代入得，2＝，∴k2＝2，∴雙曲線(xiàn)的解析式為y2＝，∵點(diǎn)B（m，﹣1）在雙曲線(xiàn)y2＝上，∴﹣1＝，∴m＝﹣2，∴B（﹣2，﹣1），把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y1＝k1x+b，得，解得：，∴直線(xiàn)的解析式為y1＝x+1；（2）設(shè)直線(xiàn)y1＝x+1與y軸交于點(diǎn)M，則M（0，1），∴S△AOB＝S△AOM+S△BOM＝×1×1+×1×2＝；（3）由圖象可知：當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍為x＜﹣2或0＜x＜1．9．（2022秋?寧遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，一次函數(shù)交x軸于點(diǎn)C．（1）試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△AOB的面積；（3）直接寫(xiě)出使反比例函數(shù)大于一次函數(shù)的x的取值范圍．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣2，1）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴m＝﹣2×1＝﹣2，∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝﹣；將點(diǎn)A代入y＝﹣x+b得：﹣1+b＝﹣2，解得：b＝﹣1，∴一次函數(shù)的解析式的解析式為：y＝﹣x﹣1；（2）由直線(xiàn)AB的解析式可知C（﹣1，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝1.5；（3）觀察圖象，反比例函數(shù)大于一次函數(shù)的x的取值范圍是x＞1或﹣2＜x＜0．10．（2022?南充）如圖，直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)交于A（1，6），B（m，﹣2）兩點(diǎn)，直線(xiàn)BO與雙曲線(xiàn)在第一象限交于點(diǎn)C，連接AC．（1）求直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)的解析式．（2）求△ABC的面積．【解答】解：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的解析式為y＝，∵點(diǎn)A（1，6）在該雙曲線(xiàn)上，∴6＝，解得k＝6，∴y＝，∵B（m，﹣2）在雙曲線(xiàn)y＝上，∴﹣2＝，解得m＝﹣3，設(shè)直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為y＝ax+b，，解得，即直線(xiàn)AB的解析式為y＝2x+4；（2）作BG∥x軸，F(xiàn)G∥y軸，F(xiàn)G和BG交于點(diǎn)G，作BE∥y軸，F(xiàn)A∥