上海歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)試題附答案

...wd......wd......wd...上海歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)2001年上海市數(shù)學(xué)中考27．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．〔1〕如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿足∠BPC＝∠A．圖8①求證；△ABP∽△DPC②求AP的長(zhǎng)．〔2〕如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)〔點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合〕，且滿足∠BPE＝∠A，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么①當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；②當(dāng)CE＝1時(shí)，寫出AP的長(zhǎng)〔不必寫出解題過程〕．27．〔1〕①證明：∵∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC＝∠A，∴∠ABP＝∠DPC．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠A＝∠D．∴△ABP∽△DPC．②解：設(shè)AP＝x，則DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得，即，解得x1＝1，x2＝4，則AP的長(zhǎng)為1或4．〔2〕①解：類似〔1〕①，易得△ABP∽△DPQ，∴．即，得，1＜x＜4．②AP＝2或AP＝3－．〔題27是一道涉及動(dòng)量與變量的考題，其中〔1〕可看作〔2〕的特例，故〔2〕的推斷與證明均可借鑒〔1〕的思路．這是一種從模仿到創(chuàng)造的過程，模仿即借鑒、套用，創(chuàng)造即靈活變化，這是中學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)具備的一種基本素質(zhì)，世上的萬事萬物總有著千絲萬縷的聯(lián)系，也有著質(zhì)的區(qū)別，模仿的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，創(chuàng)造的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)區(qū)別，并找到應(yīng)付新問題的途徑．〕上海市2002年中等學(xué)校高中階段招生文化考試27．操作：將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q．圖5圖6圖7探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x．〔1〕當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有若何的大小關(guān)系試證明你觀察得到結(jié)論；〔2〕當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；〔3〕當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否可能成為等腰三角形如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的x的值；如果不可能，試說明理由．〔圖5、圖6、圖7的形狀大小一樣，圖5供操作、實(shí)驗(yàn)用，圖6和圖7備用〕五、〔本大題只有1題，總分值12分，〔1〕、〔2〕、〔3〕題均為4分〕27．圖1圖2圖3〔1〕解：PQ＝PB……〔1分〕證明如下：過點(diǎn)P作MN∥BC，分別交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，那么四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形〔如圖1〕．∴NP＝NC＝MB．……〔1分〕∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°．而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM．……〔1分〕又∵∠QNP＝∠PMB＝90°，∴△QNP≌△PMB．……〔1分〕∴PQ＝PB．〔2〕解法一由〔1〕△QNP≌△PMB．得NQ＝MP．∵AP＝x，∴AM＝MP＝NQ＝DN＝，BM＝PN＝CN＝1－，∴CQ＝CD－DQ＝1－2·＝1－．得S△PBC＝BC·BM＝×1×〔1－〕＝－x．………………〔1分〕S△PCQ＝CQ·PN＝×〔1－〕〔1－〕＝－＋x2〔1分〕S四邊形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－＋1．即y＝x2－＋1〔0≤x＜〕．……〔1分，1分〕解法二作PT⊥BC，T為垂足〔如圖2〕，那么四邊形PTCN為正方形．∴PT＝CB＝PN．又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．S四邊形PBCQ＝S△四邊形PBT＋S四邊形PTCQ＝S四邊形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN…〔2分〕＝CN2＝〔1－〕2＝x2－＋1∴y＝x2－＋1〔0≤x＜〕．……〔1分〕〔3〕△PCQ可能成為等腰三角形①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，這時(shí)PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此時(shí)x＝0……〔1分〕②當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上，且CP＝CQ時(shí)，△PCQ是等腰三角形〔如圖3〕……〔1分〕解法一此時(shí)，QN＝PM＝，CP＝－x，CN＝CP＝1－．∴CQ＝QN－CN＝－〔1－〕＝－1．當(dāng)－x＝－1時(shí)，得x＝1．……〔1分〕解法二此時(shí)∠CPQ＝∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°，∠ABP＝180°－〔45°＋67.5°〕＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB＝1，∴x＝1．……〔1分〕上海市2003年初中畢業(yè)高中招生統(tǒng)一考試27.如圖，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)〔點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合〕，過E作弧AC所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)：〔1〕當(dāng)∠DEF＝45o時(shí)，求證：點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)；〔2〕設(shè)AE＝x，F(xiàn)C＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；〔3〕將△DEF沿直線EF翻折后得△DEF，如圖，當(dāng)EF＝時(shí)，討論△ADD與△EDF是否相似，如果相似，請(qǐng)加以證明；如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由。2004年上海市中考數(shù)學(xué)試卷27、〔2004?上海〕數(shù)學(xué)課上，教師提出：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1，0〕，點(diǎn)B在x軸上，且在點(diǎn)A的右側(cè)，AB=OA，過點(diǎn)A和B作x軸的垂線，分別交二次函數(shù)y=x2的圖象于點(diǎn)C和D，直線OC交BD于點(diǎn)M，直線CD交y軸于點(diǎn)H，記點(diǎn)C、D的的橫坐標(biāo)分別為xC、xD，點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為yH．同學(xué)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)論：①S△CMD：S梯形ABMC=2：3②數(shù)值相等關(guān)系：xC?xD=﹣yH〔1〕請(qǐng)你驗(yàn)證結(jié)論①和結(jié)論②成立；〔2〕請(qǐng)你研究：如果上述框中的條件“A的坐標(biāo)〔1，0〕〞改為“A的坐標(biāo)〔t，0〕〔t＞0〕〞，其他條件不變，結(jié)論①是否仍成立〔請(qǐng)說明理由〕；〔3〕進(jìn)一步研究：如果上述框中的條件“A的坐標(biāo)〔1，0〕〞改為“A的坐標(biāo)〔t，0〕〔t＞0〕〞，又將條件“y=x2”改為“y=ax2〔a＞0〕〞，其他條件不變，那么xC、xD與yH考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。專題：壓軸題。分析：〔1〕可先根據(jù)AB=OA得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的解析式和A，B的坐標(biāo)得出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再依據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線OC的解析式．進(jìn)而可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線CD的解析式進(jìn)而求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可根據(jù)這些點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)展求解即可；〔2〕〔3〕的解法同〔1〕完全一樣．解答：解：〔1〕由可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔2，0〕，點(diǎn)C坐標(biāo)為〔1，1〕，點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔2，4〕，由點(diǎn)C坐標(biāo)為〔1，1〕易得直線OC的函數(shù)解析式為y=x，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔2，2〕，所以S△CMD=1，S梯形ABMC=3所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，即結(jié)論①成立．設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b，則&k+b=1&2k+b=4解得&k=3所以直線CD的函數(shù)解析式為y=3x﹣2．由上述可得，點(diǎn)H的坐標(biāo)為〔0，﹣2〕，yH=﹣2因?yàn)閤C?xD=2，所以xC?xD=﹣yH，即結(jié)論②成立；〔2〕〔1〕的結(jié)論仍然成立．理由：當(dāng)A的坐標(biāo)〔t，0〕〔t＞0〕時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔2t，0〕，點(diǎn)C坐標(biāo)為〔t，t2〕，點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔2t，4t2〕，由點(diǎn)C坐標(biāo)為〔t，t2〕易得直線OC的函數(shù)解析式為y=tx，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔2t，2t2〕，所以S△CMD=t3，S梯形ABMC=32所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，即結(jié)論①成立．設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b，則&tk+b=t解得&k=3t所以直線CD的函數(shù)解析式為y=3tx﹣2t2；由上述可得，點(diǎn)H的坐標(biāo)為〔0，﹣2t2〕，yH=﹣2t2因?yàn)閤C?xD=2t2，所以xC?xD=﹣yH，即結(jié)論②成立；〔3〕由題意，當(dāng)二次函數(shù)的解析式為y=ax2〔a＞0〕，且點(diǎn)A坐標(biāo)為〔t，0〕〔t＞0〕時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)為〔t，at2〕，點(diǎn)D坐標(biāo)為〔2t，4at2〕，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，則：&tk+b=at解得&k=3at所以直線CD的函數(shù)解析式為y=3atx﹣2at2，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為〔0，﹣2at2〕，yH=﹣2at2．因?yàn)閤C?xD=2t2，所以xC?xD=﹣1ayH點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)解析式確實(shí)定、圖形面積的求法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)．2005年上海市初中畢業(yè)生統(tǒng)一學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷〔此題總分值12分，每題總分值各為4分〕在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心作半圓，與邊AB相切于點(diǎn)D，交線段OC于點(diǎn)E，作EP⊥ED，交射線AB于點(diǎn)P，交射線CB于點(diǎn)F。如圖8，求證：△ADE∽△AEP；設(shè)OA＝x，AP＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；當(dāng)BF＝1時(shí)，求線段AP的長(zhǎng).JJ年上海市初中畢業(yè)生統(tǒng)一學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷25〔此題總分值14分，第〔1〕小題總分值4分，第〔2〕小題總分值7分，第〔3〕小題總分值3分〕點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)O在線段AB的延長(zhǎng)線上。以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作圓，點(diǎn)C是圓O上的一點(diǎn)。如圖9，如果AP=2PB，PB=BO。求證：△CAO∽△BCO；如果AP=m〔m是常數(shù)，且m〉1〕，BP=1，OP是OA、OB的比例中項(xiàng)。當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AC：BC的值〔結(jié)果用含m的式子表示〕；在〔2〕的條件下，討論以BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關(guān)系，并寫出相應(yīng)m的取值范圍。圖圖9APBOC25．〔1〕證明：，．．〔2分〕，〔1分〕．，．〔1分〕〔2〕解：設(shè)，則，，是，的比例中項(xiàng)，，〔1分〕得，即．〔1分〕．〔1分〕是，的比例中項(xiàng)，即，，．〔1分〕設(shè)圓與線段的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合時(shí)，，．〔1分〕．〔1分〕；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，可得，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，；〔1分〕〔3〕解：由〔2〕得，，且，，圓和圓的圓心距，顯然，圓和圓的位置關(guān)系只可能相交、內(nèi)切或內(nèi)含．當(dāng)圓與圓相交時(shí)，，得，，；〔1分〕當(dāng)圓與圓內(nèi)切時(shí)，，得；〔1分〕當(dāng)圓與圓內(nèi)含時(shí)，，得．〔1分〕2007年上海市初中畢業(yè)生統(tǒng)一學(xué)業(yè)考試25．〔此題總分值14分，第〔1〕小題總分值4分，第〔2〕，〔3〕小題總分值各5分〕：，點(diǎn)在射線上，〔如圖10〕．為直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊三角形〔點(diǎn)按順時(shí)針排列〕，是的外心．〔1〕當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：點(diǎn)在的平分線上；〔2〕當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)〔點(diǎn)與點(diǎn)不重合〕時(shí)，與交于點(diǎn)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；〔3〕假設(shè)點(diǎn)在射線上，，圓為的內(nèi)切圓．當(dāng)?shù)倪吇蚺c圓相切時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)與點(diǎn)的距離．圖圖10備用圖25．〔1〕證明：如圖4，連結(jié)，是等邊三角形的外心，， 1分圓心角．當(dāng)不垂直于時(shí)，作，，垂足分別為．由，且，，．． 1分． 1分．點(diǎn)在的平分線上． 1分當(dāng)時(shí)，．即，點(diǎn)在的平分線上．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在的平分線上．圖圖4圖5〔2〕解：如圖5，平分，且，． 1分由〔1〕知，，，，．，． 1分．．．． 1分定義域?yàn)椋海?1分〔3〕解：①如圖6，當(dāng)與圓相切時(shí)，； 2分②如圖7，當(dāng)與圓相切時(shí)，； 1分③如圖8，當(dāng)與圓相切時(shí)，． 2分圖圖6圖7圖82008年上海市中考數(shù)學(xué)試卷25．〔此題總分值14分，第〔1〕小題總分值5分，第〔2〕小題總分值4分，第〔3〕小題總分值5分〕，，〔如圖13〕．是射線上的動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)與點(diǎn)不重合〕，是線段的中點(diǎn)．〔1〕設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；〔2〕如果以線段為直徑的圓與以線段為直徑的圓外切，求線段的長(zhǎng)；〔3〕聯(lián)結(jié)，交線段于點(diǎn)，如果以為頂點(diǎn)的三角形與相似，求線段的長(zhǎng)．BBADMEC圖13BADC備用圖25．解：〔1〕取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，為的中點(diǎn)，，． 〔1分〕又，． 〔1分〕，得； 〔2分〕〔1分〕〔2〕由得． 〔1分〕以線段為直徑的圓與以線段為直徑的圓外切，，即． 〔2分〕解得，即線段的長(zhǎng)為； 〔1分〕〔3〕由，以為頂點(diǎn)的三角形與相似，又易證得． 〔1分〕由此可知，另一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等有兩種情況：①；②．①當(dāng)時(shí)，，．．，易得．得； 〔2分〕②當(dāng)時(shí)，，．．又，．，即，得．解得，〔舍去〕．即線段的長(zhǎng)為2． 〔2分〕綜上所述，所求線段的長(zhǎng)為8或2．2009年上海市初中畢業(yè)統(tǒng)一學(xué)業(yè)考試25．〔此題總分值14分，第〔1〕小題總分值4分，第〔2〕小題總分值5分，第〔3〕小題總分值5分〕為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且滿足〔如圖8所示〕．〔1〕當(dāng)，且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)〔如圖9所示〕，求線段的長(zhǎng)；〔2〕在圖8中，聯(lián)結(jié)．當(dāng)，且點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)點(diǎn)之間的距離為，，其中表示的面積，表示的面積，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；ADPCBQ圖8DAPCB〔ADPCBQ圖8DAPCB〔Q〕〕圖9圖10CADPBQ〔2009年上海25題解析〕解：〔1〕AD=2，且Q點(diǎn)與B點(diǎn)重合，根據(jù)題意，∠PBC=∠PDA，因?yàn)椤螦=90。PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC為等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3/2,〔2〕如圖：添加輔助線，根據(jù)題意，兩個(gè)三角形的面積可以分別表示成S1，S2，高分別是H，h，則：S1=〔2-x〕H/2=〔2*3/2〕/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2S2=3*h/2因?yàn)閮蒘1/S2=y，消去H,h,得：Y=-(1/4)*x+(1/2),定義域：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與D點(diǎn)重合時(shí)，X的取值就是最大值，當(dāng)PC垂直BD時(shí)，這時(shí)X=0，連接DC,作QD垂直DC，由條件得：B、Q、D、C四點(diǎn)共圓，則由圓周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABDQD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,則：QC=5t，由勾股定理得：直角三角形AQD中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2直角三角形QBC中：3^2+x^2=(5t)^2整理得：64x^2-400x+301=0(8x-7)(8x-43)=0得x1=7/8x2=(43/8)>2(舍去)所以函數(shù):Y=-(1/4)*x+1/2的定義域?yàn)閇0，7/8](3)因?yàn)椋篜Q/PC=AD/AB,假設(shè)PQ不垂直PC，則可以作一條直線PQ′垂直于PC，與AB交于Q′點(diǎn)，則：B，Q′，P，C四點(diǎn)共圓，由圓周角定理，以及相似三角形的性質(zhì)得：PQ′/PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB所以，點(diǎn)Q′與點(diǎn)Q重合，所以角∠QPC=90。ADADPCBQ圖8DAPCB〔Q〕〕圖9圖10CADPBQ2010年上海市初中畢業(yè)統(tǒng)一學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)卷25．如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半徑為1的圓A與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長(zhǎng)，與線段BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.〔1〕當(dāng)∠B＝30°時(shí)，連結(jié)AP，假設(shè)△AEP與△BDP相似，求CE的長(zhǎng)；〔2〕假設(shè)CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；〔3〕假設(shè)，設(shè)CE=x，△ABC的周長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.圖9圖10(備用)圖11(備用)2011年上海市初中畢業(yè)統(tǒng)一學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)卷2011年上海市初中畢業(yè)統(tǒng)一學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)卷25．〔此題總分值14分，第〔1〕小題總分值4分，第〔2〕、