數(shù)學(xué)-2025屆湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版）

名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.3.已知向量，滿足，，則（）A.3 B. C.1 D.4.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A. B. C.40 D.805.函數(shù)在（）內(nèi)沒(méi)有最小值，且存在，使得，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6.若為銳角，且，則（）A. B. C. D.7.已知，則（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)，若的圖象上存在兩點(diǎn)，，使得的圖象在，處的切線互相垂直，且過(guò)點(diǎn)只能作1條切線與的圖象相切，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下圖為2024年中國(guó)大學(xué)生使用APP偏好及目的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，下列關(guān)于2024年中國(guó)大學(xué)生使用APP的結(jié)論正確的是（）A.超過(guò)的大學(xué)生更愛(ài)使用購(gòu)物類APPB.超過(guò)半數(shù)的大學(xué)生使用APP是為了學(xué)習(xí)與生活需要C.使用APP偏好情況中7個(gè)占比數(shù)字的極差是D.APP使用目中6個(gè)占比數(shù)字的分位數(shù)是10.已知函數(shù)滿足對(duì)任意，都有，且，則（）A. B.C. D.是偶函數(shù)11.已知數(shù)列滿足對(duì)任意，，都有，且，（）的所有不同的值按照從小到大構(gòu)成數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A B.C.中任意3項(xiàng)不成等差數(shù)列 D.的前15項(xiàng)的和為402三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.命題“，”的否定是__________.13.某傳媒公司針對(duì)“社交電商用戶是否存在性別差異”進(jìn)行調(diào)查，共調(diào)查了個(gè)人，得到如下列聯(lián)表：是社交電商用戶不是社交電商用戶合計(jì)男性女性合計(jì)已知，若根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為“社交電商用戶存在性別差異”，則的最小值為_(kāi)_________.14.已知函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，，（），則取值范圍是______；若存在，使得，則的取值范圍是______.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量學(xué)校附近正在建造中的某建筑物的高度，在學(xué)校操場(chǎng)選擇了同一條直線上的，，三點(diǎn)，其中，點(diǎn)為中點(diǎn)，興趣小組組長(zhǎng)小王在，，三點(diǎn)上方5m處的，，觀察已建建筑物最高點(diǎn)的仰角分別為，，，其中，，，點(diǎn)為點(diǎn)在地面上的正投影，點(diǎn)為上與，，位于同一高度的點(diǎn).（1）求建造中的建筑物已經(jīng)到達(dá)的高度；（2）求的值.16.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且時(shí)，.（1）求時(shí)的解析式；（2）若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，，，求的取值范圍及的取值范圍.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，，且是等差數(shù)列，求證：.18.已知，且，.（1）求的最小值；（2）求證：.（參考數(shù)據(jù)）19.若數(shù)列an（）滿足，則稱數(shù)列an為項(xiàng)數(shù)列，由所有項(xiàng)數(shù)列組成集合.（1）若an是100項(xiàng)數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)（，）時(shí)，，求數(shù)列的所有項(xiàng)的和；（2）從集合中任意取出兩個(gè)數(shù)列an，bn，記.①求分布列，并證明EX>k②若用某軟件產(chǎn)生項(xiàng)數(shù)列，記事件“第一次產(chǎn)生數(shù)字1”，“第二次產(chǎn)生數(shù)字1”，若，比較與的大小.名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件得到，再利用集合的運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，所以，又，所以，故選：C.2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，得到，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，其?duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，故選：C.3.已知向量，滿足，，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由已知得，，進(jìn)而兩式作差并整理即可得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄浚瑵M足，，所以，，即，①，②所以，得：，即，所以.故選：D4.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A. B. C.40 D.80【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)特征即可求解.【詳解】展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為，故選：D5.函數(shù)在（）內(nèi)沒(méi)有最小值，且存在，使得，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通過(guò)取特殊值排除驗(yàn)證即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，不滿足存在，使得，故排除A,D當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，，，，此時(shí)不滿足題意，故排除C綜上所述B正確故選：B6.若為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)化簡(jiǎn)，可求，進(jìn)而求出.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闉殇J角，故.故選：B7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義域及單調(diào)性得出參數(shù)范圍即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)的定義域，得或，又因?yàn)?a2+1?4a=因?yàn)?，所以可?因?yàn)?，可?所以.故選：B.8.已知函數(shù)，若的圖象上存在兩點(diǎn)，，使得的圖象在，處的切線互相垂直，且過(guò)點(diǎn)只能作1條切線與的圖象相切，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)得到，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及過(guò)兩點(diǎn)直線的斜率得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，求出單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合的圖象與題設(shè)條件，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，所以，由題有有解，又，所以，即，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，則有，整理得到，令，則，由，得到或，由，得到，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，1,+∞，遞減區(qū)間為0,1，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的圖象如圖，又過(guò)點(diǎn)只能作1條切線與的圖象相切，所以或，又，所以或，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于，通過(guò)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，根據(jù)題設(shè)得到，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成只有一解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可解決問(wèn)題.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下圖為2024年中國(guó)大學(xué)生使用APP偏好及目的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，下列關(guān)于2024年中國(guó)大學(xué)生使用APP的結(jié)論正確的是（）A.超過(guò)大學(xué)生更愛(ài)使用購(gòu)物類APPB.超過(guò)半數(shù)的大學(xué)生使用APP是為了學(xué)習(xí)與生活需要C.使用APP偏好情況中7個(gè)占比數(shù)字的極差是D.APP使用目的中6個(gè)占比數(shù)字的分位數(shù)是【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)A和B，根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，即可判斷出正誤；選項(xiàng)C，根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，利用極差的定義，即可求解；選項(xiàng)D，將占比數(shù)字從小到大排列，再利用百分位數(shù)的求法，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)圖表知，大學(xué)生使用購(gòu)物類APP占比為，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)圖表知，大學(xué)生使用APP是為了學(xué)習(xí)與生活需要的占比為，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，根據(jù)圖表知，使用APP偏好情況中7個(gè)占比數(shù)字的極差是，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)圖表知，APP使用目的中6個(gè)占比數(shù)字從小排到大分別為，又，所以分位數(shù)是，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)滿足對(duì)任意，都有，且，則（）A. B.C. D.是偶函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件，令，即可求得，即可判斷選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B，令，可求得，即可判斷選項(xiàng)B的正誤；選項(xiàng)C，利用選項(xiàng)A的結(jié)果，從而可得，即可求解；選項(xiàng)D，用代替，得到與相減，可得，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，令，得到，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，令，得到，由（1）知，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A知，而，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，用代替，得到，即①，又②，由①②得到，，得到，又的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，即選項(xiàng)D正確，故選：AD.11.已知數(shù)列滿足對(duì)任意，，都有，且，（）的所有不同的值按照從小到大構(gòu)成數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.中任意3項(xiàng)不成等差數(shù)列 D.的前15項(xiàng)的和為402【答案】ACD【解析】【分析】令，，據(jù)題意，可知是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，對(duì)于A，代入通項(xiàng)公式即可；對(duì)于BD，列舉數(shù)列的前幾項(xiàng)即可驗(yàn)證；對(duì)于C，假設(shè)成等差數(shù)列，由通項(xiàng)公式可得，方程兩邊同時(shí)除以，得，偶數(shù)=奇數(shù)，出現(xiàn)矛盾，即可判斷.【詳解】由題意，因?yàn)閷?duì)任意，，都有，令，，則，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，對(duì)于A，，，故，A正確；對(duì)于B，由題意，數(shù)列的前5項(xiàng)為：2，4，6，8，12，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假設(shè)成等差數(shù)列，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，即，方程兩邊同時(shí)除以，得，由于方程左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不成立，故C正確；對(duì)于D，由題意，數(shù)列的前15項(xiàng)為：2，4，6，8，12，14，16，24，28，30，32，48，56，60，62，所以的前15項(xiàng)的和為：，故D正確；故選：ACD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.命題“，”的否定是__________.【答案】，.【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定的結(jié)構(gòu)形式可得其否定.【詳解】由“，”可得其否定為：，.故答案為：，.13.某傳媒公司針對(duì)“社交電商用戶是否存在性別差異”進(jìn)行調(diào)查，共調(diào)查了個(gè)人，得到如下列聯(lián)表：是社交電商用戶不社交電商用戶合計(jì)男性女性合計(jì)已知，若根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為“社交電商用戶存在性別差異”，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】3【解析】【分析】先根據(jù)已知計(jì)算，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的性質(zhì)列不等式計(jì)算即可.【詳解】，所以根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為是不是社交電商用戶與性別有關(guān)，則的最小值為3.故答案為：3.14.已知函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，，（），則的取值范圍是______；若存在，使得，則的取值范圍是______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，分和求導(dǎo)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合即可求得的取值范圍；再結(jié)合以上討論即可得到，的取值范圍即為的取值范圍，進(jìn)而令，并根據(jù)極值點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化得，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，，令得，所以，當(dāng)時(shí)，，，令得所以，令，則所以，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，，（），所以，函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)gx>0，當(dāng)時(shí)gx>0，作出函數(shù)與圖象如圖，由圖可知，函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，則滿足且，所以，當(dāng)存在，使得，只需滿足，所以，的取值范圍即為的取值范圍.令，則，因?yàn)?，為函?shù)的極值點(diǎn)，所以，，即，，所以，，所以，即，所以，，故令，所以，，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，，即，所以，，即函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，，即的取值范圍為.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于分類討論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，數(shù)形結(jié)合求解問(wèn)題.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量學(xué)校附近正在建造中的某建筑物的高度，在學(xué)校操場(chǎng)選擇了同一條直線上的，，三點(diǎn)，其中，點(diǎn)為中點(diǎn)，興趣小組組長(zhǎng)小王在，，三點(diǎn)上方5m處的，，觀察已建建筑物最高點(diǎn)的仰角分別為，，，其中，，，點(diǎn)為點(diǎn)在地面上的正投影，點(diǎn)為上與，，位于同一高度的點(diǎn).（1）求建造中的建筑物已經(jīng)到達(dá)的高度；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)條件得到，在和，利用余弦定理得到，即可求解；（2）利用正弦定理得到，由（1）知，即可求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，設(shè)，因?yàn)樵?，，處觀察已建建筑物最高點(diǎn)的仰角分別為，，，且，，，所以，又，是的中點(diǎn)，在中，由余弦定理得到，在中，由余弦定理得到，又，所以，整理得到，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】在中，由正弦定理知①，在中，由正弦定理知②，由（1）知，由②①得到.16.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且時(shí)，.（1）求時(shí)的解析式；（2）若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，，，求的取值范圍及的取值范圍.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)條件，代入，再利用，即可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出圖象，結(jié)合圖象，即可求出的取值范圍；再分，和三種情況討論，通過(guò)換元和函數(shù)的對(duì)稱性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成和的根來(lái)求解，即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，得到，即時(shí)的解析式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，其圖象如圖，又方程有3個(gè)不同的實(shí)根，由圖知.不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，則有，又當(dāng)時(shí)，，令，得到，其圖象如圖，此時(shí)，其中是的兩根，則，又由對(duì)稱性知，是的根，所以是的根，如下取端點(diǎn)，取，得到，解得或（舍），取，得到，解得或，則，，當(dāng)，易得，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽的奇函數(shù)，由對(duì)稱性可知，，綜上所述，.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，，且是等差數(shù)列，求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差，應(yīng)用遞推公式結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；（2）根據(jù)是等差數(shù)列得出，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和即可證明.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,則,所以,故為定值，所以是等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以為定值，所以,即得或,又因?yàn)?，所?所以，結(jié)合知，.18.已知，且，.（1）求的最小值；（2）求證：.（參考數(shù)據(jù)）【答案】（1）（2）證明見(jiàn)詳解.【解析】【分析】（1）由于在上單調(diào)遞增，由得，可確定的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值；（2）由（1）知，要證，即證，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，命題即可證.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋x域?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，由得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值.【小問(wèn)2詳解】由（1）知的最小值，所以