數(shù)學(xué)（文科）總復(fù)習(xí)演練提升同步測(cè)評(píng)橢圓

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間:40分鐘）1．(2017·遼寧沈陽一模）△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A（－4,0），B(4，0），△ABC的周長為18，則C點(diǎn)的軌跡方程為（）A.eq\f(x2,16)＋eq\f（y2，9)＝1（y≠0)B.eq\f(y2，25)＋eq\f（x2,9)＝1(y≠0）C.eq\f(y2，16）＋eq\f（x2，9)＝1（y≠0）D。eq\f(x2，25）＋eq\f（y2，9）＝1（y≠0）【解析】∵△ABC的兩頂點(diǎn)為A(－4，0）,B(4，0），周長為18，∴AB＝8，BC＋AC＝10.∵10＞8，∴點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之和等于定值，且滿足橢圓的定義，∴點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，2a＝10，2c＝8,∴b＝3?！鄼E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2，25）＋eq\f(y2，9)＝1(y≠0）．故選D?！敬鸢浮緿2．(2017·山西忻州模擬）設(shè)橢圓eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2,b2)＝1(a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2,點(diǎn)P(a，b）滿足｜F1F2｜＝|PF2｜,設(shè)直線PF2與橢圓交于M，N兩點(diǎn)．若｜MN|＝16，則橢圓的方程為()A.eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,108）＝1B.eq\f（x2，100)＋eq\f（y2,75)＝1C。eq\f(x2,36)＋eq\f（y2,27）＝1D。eq\f（x2，16)＋eq\f(y2，12）＝1【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P(a，b)滿足|F1F2｜＝｜PF2｜，所以eq\r(（a－c)2＋b2）＝2c.整理得2e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(1，2）。所以a＝2c，b＝eq\r(3)c，橢圓的方程為3x2＋4y2＝12c2。直線PF2的方程為y＝eq\r(3）（x－c），將直線方程代入橢圓方程，整理得5x2－8cx＝0,解得x＝0或eq\f（8,5）c，所以M(0，－eq\r（3)c)，Neq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(8，5)c，\f(3\r(3)，5）c）），因此|MN｜＝eq\f(16，5)c＝16，所以c＝5，所以橢圓的方程為eq\f（x2,100)＋eq\f（y2,75)＝1，故選B。【答案】B3．（2017·江西南昌模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，焦距為4。若P為橢圓C上一點(diǎn),且△PF1F2的周長為14，則橢圓C的離心率e為（)A.eq\f（1，5）B.eq\f（2,5）C.eq\f(4,5）D。eq\f(\r（21），5)【解析】∵焦距為4，∴c＝2.∵P為橢圓C上一點(diǎn)，且△PF1F2的周長為14，∴2a＋2c＝14,∴a＝5，∴橢圓C的離心率e＝eq\f（c，a）＝eq\f(2，5）。故選B.【答案】B4．(2017·河南鄭州一模）已知橢圓eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則離心率為（）A。eq\f(\r(2）,2)B．2－eq\r(3)C.eq\r（5)－2D.eq\r(6）－eq\r（3)【解析】如圖，設(shè)｜F1F2|＝2c,|AF1｜＝m。若△ABF1構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則｜AB|＝|AF1｜＝m，|BF1｜＝eq\r（2）m.由橢圓的定義，得△ABF1的周長為4a，即4a＝2m＋eq\r(2）m，∴m＝2（2－eq\r(2)）a?！啵麬F2|＝2a－m＝2(eq\r（2)－1)a.在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1｜2＋|AF2｜2，即4c2＝4(2－eq\r（2）)2a2＋4(eq\r(2)－1）2a2，∴c2＝3(eq\r(2)－1)2a2，e＝eq\r（6)－eq\r（3），故選D?！敬鸢浮緿5．（2016·長沙模擬）設(shè)橢圓eq\f(x2,4）＋eq\f（y2,3）＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn),若△PF1F2是直角三角形，則△PF1F2的面積為(）A．3B．3或eq\f(3,2）C.eq\f（3,2）D．6或3【解析】由題意可得該橢圓短軸頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連線的夾角是60°，所以該點(diǎn)P不可能是直角頂點(diǎn)，則只能是焦點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，此時(shí)△PF1F2的面積為eq\f(1，2）×2c×eq\f（b2,a）＝eq\f（3,2）.【答案】C6．(2017·安徽黃山一模)已知圓(x－2)2＋y2＝1經(jīng)過橢圓eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率e＝________．【解析】圓（x－2）2＋y2＝1經(jīng)過橢圓eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2，b2)＝1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，故橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1，0），一個(gè)頂點(diǎn)為A(3，0），所以c＝1，a＝3，因此橢圓的離心率為eq\f(1,3)?！敬鸢浮縠q\f（1,3）7．(2017·海南?？谀M）橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2，b2）＝1(a＞b＞0)的焦距為2eq\r（3），左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面積為2eq\r(3），則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【解析】由題意，得c＝eq\r（3)，∴a2－b2＝c2＝3?！摺螰1PF2＝60°,△PF1F2的面積為2eq\r（3),∴eq\f(1,2)｜PF1|·｜PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(\r(3）,4)|PF1｜·|PF2｜＝2eq\r（3），∴|PF1|·｜PF2｜＝8.又∵｜PF1｜＋|PF2｜＝2a，由余弦定理得4c2＝12＝|PF1|2＋｜PF2|2－2｜PF1｜·|PF2|·cos60°＝（｜PF1｜＋｜PF2|）2－3｜PF1|·|PF2|＝4a2－3×8，解得a2＝9，故b2＝6,因此橢圓的方程為eq\f(x2，9）＋eq\f（y2,6)＝1.【答案】eq\f（x2,9）＋eq\f(y2,6)＝18．(2016·北京東城模擬）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F(－2,0），且長軸長與短軸長的比是2∶eq\r(3），則橢圓C的方程是____________．【解析】設(shè)橢圓C的方程為eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1(a＞b＞0)．由題意知eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a2＝b2＋c2,,a∶b＝2∶\r(3),，c＝2，）)解得a2＝16，b2＝12.所以橢圓C的方程為eq\f(x2，16)＋eq\f（y2,12)＝1。【答案】eq\f（x2,16）＋eq\f(y2,12)＝19．(2016·天津)設(shè)橢圓eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,3)＝1（a＞eq\r（3)）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A。已知eq\f（1，｜OF｜）＋eq\f(1，|OA|）＝eq\f(3e，｜FA｜)，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；(2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B（B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直線l的斜率．【解析】(1)設(shè)F（c,0)，由eq\f(1,｜OF|)＋eq\f(1，|OA｜)＝eq\f（3e,｜FA｜),即eq\f（1,c）＋eq\f(1，a)＝eq\f(3c，a（a－c）)，可得a2－c2＝3c2，又a2－c2＝b2＝3,所以c2＝1，因此a2＝4，所以，橢圓的方程為eq\f（x2，4)＋eq\f(y2，3）＝1。(2）設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），則直線l的方程為y＝k（x－2）．設(shè)B（xB,yB），由方程組eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（\f（x2,4）＋\f（y2，3）＝1，,y＝k（x－2）))消去y,整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0。解得x＝2或x＝eq\f（8k2－6，4k2＋3），由題意得xB＝eq\f（8k2－6,4k2＋3)，從而yB＝eq\f(－12k，4k2＋3）。由(1)知，F(xiàn)(1，0),設(shè)H（0，yH），有eq\o（FH,\s\up6(→))＝（－1，yH），eq\o（BF,\s\up6（→))＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（9－4k2，4k2＋3),\f（12k,4k2＋3)）)。由BF⊥HF，得eq\o（BF,\s\up6（→））·eq\o(FH，\s\up6（→）)＝0,所以eq\f(4k2－9,4k2＋3）＋eq\f（12kyH,4k2＋3）＝0，解得yH＝eq\f（9－4k2,12k）。因此直線MH的方程為y＝－eq\f(1，k)x＋eq\f(9－4k2,12k）.設(shè)M（xM，yM)，由方程組eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（y＝k（x－2），,y＝－\f(1，k)x＋\f(9－4k2，12k)））消去y,解得xM＝eq\f（20k2＋9,12（k2＋1）)。在△MAO中，∠MOA＝∠MAO?｜MA|＝|MO|，即（xM－2)2＋yeq\o\al（2,M)＝xeq\o\al(2,M)＋yeq\o\al（2，M)，化簡得xM＝1，即eq\f（20k2＋9，12（k2＋1）)＝1,解得k＝－eq\f(\r（6)，4），或k＝eq\f（\r(6）,4)。所以，直線l的斜率為－eq\f（\r(6),4）或eq\f(\r（6)，4）。10．(2016·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)）如圖，已知橢圓eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2，b2）＝1（a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F2(1，0）,點(diǎn)Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2，\f(2\r（10)，3))）在橢圓上．（1）求橢圓的方程;(2)點(diǎn)M在圓x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，過M作圓x2＋y2＝b2的切線交橢圓于P，Q兩點(diǎn),求證：△PF2Q的周長是定值．【解析】（1)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，根據(jù)已知,橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1(－1，0），F(xiàn)2（1，0），c＝1，∵Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2，\f（2\r（10）,3))）在橢圓上，∴2a＝|HF1|＋｜HF2|＝eq\r（（2＋1）2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2\r(10）,3)))\s\up12（2））＋eq\r(（2－1）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2\r(10),3)））\s\up12(2））＝6，∴a＝3，b＝2eq\r（2)，故橢圓的方程是eq\f（x2，9)＋eq\f(y2,8)＝1。(2）證明設(shè)P（x1，y1),Q(x2,y2），則eq\f（xeq\o\al(2，1）,9）＋eq\f（yeq\o\al(2，1）,8）＝1，|PF2｜＝eq\r((x1－1)2＋yeq\o\al（2,1）)＝eq\r(（x1－1）2＋8\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（xeq\o\al（2，1），9）））)＝eq\r(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（x1,3）－3）)\s\up12（2）)，∵0＜x1＜3，∴|PF2｜＝3－eq\f(1，3)x1，在圓中，M是切點(diǎn),∴｜PM｜＝eq\r(｜OP｜2－｜OM|2）＝eq\r（xeq\o\al（2,1）＋yeq\o\al(2，1）－8)＝eq\r(xeq\o\al（2，1)＋8\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（xeq\o\al(2,1）,9）））－8）＝eq\f(1，3）x1,∴|PF2｜＋|PM|＝3－eq\f（1，3)x1＋eq\f(1，3）x1＝3，同理：｜QF2|＋|QM｜＝3，∴|F2P|＋|F2Q｜＋｜PQ|＝3＋3＝6，因此△PF2Q的周長是定值6。B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘）11．（2017·江西新余模擬）橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1,F2，若C上的點(diǎn)P滿足｜PF1｜＝eq\f（3,2）|F1F2|，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A．e≤eq\f（1，2）B．e≥eq\f（1，4）C。eq\f(1,4)≤e≤eq\f(1,2）D．0＜e≤eq\f（1,4)或eq\f（1，2）≤e＜1【解析】∵橢圓C上的點(diǎn)P滿足|PF1|＝eq\f(3,2）｜F1F2|,∴|PF1|＝eq\f(3,2）×2c＝3c。由a－c≤|PF1｜≤a＋c，解得eq\f（1,4）≤eq\f（c,a）≤eq\f(1，2).【答案】C12．(2017·重慶巴蜀中學(xué)模擬）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2，9）＋eq\f(y2，8)＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)E是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),eq\o(EF1,\s\up6(→))·eq\o（EF2,\s\up6（→))的最大值、最小值分別為()A．9,7B．8,7C．9,8D．17，8【解析】由題意可知橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè)E(x,y)，則eq\o(EF1，\s\up6（→））＝(－1－x，－y)，eq\o（EF2,\s\up6(→)）＝(1－x，－y），eq\o（EF1，\s\up6(→)）·eq\o(EF2,\s\up6（→)）＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－eq\f(8，9)x2＝eq\f（1,9)x2＋7（－3≤x≤3）,所以當(dāng)x＝0時(shí)，eq\o（EF1,\s\up6(→)）·eq\o(EF2，\s\up6（→))有最小值7，當(dāng)x＝±3時(shí)，eq\o（EF1，\s\up6（→))·eq\o(EF2，\s\up6(→））有最大值8,故選B.【答案】B13．（2016·江蘇)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2，b2）＝1(a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，直線y＝eq\f（b，2）與橢圓交于B,C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90°,則該橢圓的離心率是________．【解析】由題意可得Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(\r（3），2）a,\f(b，2)）），Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)，2）a,\f（b,2）)），F(xiàn)(c,0)，則由∠BFC＝90°，得eq\o（BF，\s\up6（→))·eq\o（CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（c＋\f(\r(3）,2)a，－\f(b，2)））·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(\r(3）,2)a，－\f（b，2)）)＝c2－eq\f(3,4）a2＋eq\f（1,4）b2＝0,化簡得eq\r(3)c＝eq\r(2）a，則離心率e＝eq\f(c，a)＝eq\f（\r(2），\r(3)）＝eq\f(\r（6）,3）?！敬鸢浮縠q\f(\r（6)，3)14．(2016·四川）已知橢圓E:eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r(3)，\f（1,2)))在橢圓E上．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為eq\f（1,2）的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B,線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：|MA|·|MB｜＝|MC|·|MD|?！窘馕觥?1)由已知，a＝2b.又橢圓eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2)＝1(a＞b＞0）過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r（3）,\f(1，2））)，故eq\f(3，4b2）＋eq\f(\f（1,4）,b2)＝1，解得b2＝1。所以橢圓E的方程是eq\f(x2,4）＋y2＝1.（2）證明設(shè)直線l的方程為y＝eq\f(1，2）x＋m（m≠0)，A（x1，y1），B（x2，y2），由方程組eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（\f（x2，4)＋y2＝1，,y＝\f（1，2）x＋m，))得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①方程①的判別式為Δ＝4（2－m2），由Δ＞0，即2－m2＞0，解得－eq\r（2)＜m＜eq\r(2）.由①得x1＋x2＝－2m,x1x2＝2m2－2。所以M點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－m，\f（m，2）))，直線OM方程為y＝－eq\f（1，2）x，由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f（x2，4）＋y2＝1,，y＝－\f(1，2)x，）)得Ceq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\r（2),\f(\r（2),2)）），Deq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\r(2)，－\f（\r(2)，2)）)。所以｜MC｜·｜MD|＝eq\f（\r（5),2)（－m＋eq\r(2）)·eq\f（\r（5），2)(eq\r(2）＋m）＝eq\f（5，4）(2－m2）．又｜MA｜·｜MB|＝eq\f（1，4）｜AB｜2＝eq\f(1，4)[（x1－x2)2＋（y1－y2）2］＝eq\f(5,16）[（x1＋x2）2－4x1x2］＝eq\f（5，16）［4m2－4(2m2－2)］＝eq\f(5,4)(2－m2），所以｜MA｜·｜MB|＝