江蘇省七年級(jí)開學(xué)分班考專項(xiàng)復(fù)習(xí)06競(jìng)賽知識(shí)（解析版）

江蘇省七年級(jí)開學(xué)分班考專項(xiàng)復(fù)習(xí)06競(jìng)賽知識(shí)（4種題型）題型一：整數(shù)的綜合運(yùn)用一、單選題1．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）從正整數(shù)里取出k個(gè)不同的數(shù)，使得這k個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值是質(zhì)數(shù)，則k的最大值是（

）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】解法一

首先4個(gè)數(shù)1，3，6，8滿足題目要求，故所求k的最大值．若，記第n個(gè)數(shù)為，且，則分下列幾種情形：（1）為奇，為奇，于是為偶數(shù)．又為質(zhì)數(shù)，故，即．若為奇數(shù)，又，故為不等于2的偶數(shù)，即為不小于4的偶數(shù)，即為合數(shù)，矛盾．故為偶數(shù)，也只能為偶數(shù)．那么，若為奇，則為偶數(shù)，即為不小于4的偶數(shù)，從而為合數(shù)，矛盾．若為偶數(shù)，則為偶數(shù)，從而為合數(shù)，矛盾．（2）為奇，為偶，于是為奇數(shù)，即．若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故為合數(shù)，矛盾．所以為偶數(shù)，且．若為奇數(shù)，則為不小于4的偶數(shù)，即為合數(shù)，矛盾．若為偶數(shù)，則為不小于4的偶數(shù)，即為合數(shù)，矛盾．（3）為偶，為奇或偶，都類似于（1），（2）可導(dǎo)致矛盾．綜上得所求k的最大值是4，故選B．解法二

同解法一得．若，則將全體正整數(shù)分為4個(gè)不相交的子集，，，，其中由全體被4除余i的正整數(shù)組成于是任取個(gè)數(shù)，其中必有2個(gè)數(shù)a，b（）屬于同一個(gè)子集，于是被4整除，不是質(zhì)數(shù)，矛盾．故所求k的最大值等于4．二、填空題2．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）下列豎式是1995減去一個(gè)三位數(shù)其差仍為一個(gè)三位數(shù)的算式，每個(gè)“○”內(nèi)蓋住一個(gè)數(shù)字．設(shè)被“○”蓋住的六個(gè)數(shù)字之和為a，六個(gè)數(shù)字之積為b，則的最小值是___________．【答案】【詳解】要減數(shù)及差均為三位數(shù)，數(shù)值結(jié)構(gòu)必如圖所示，其中，，，故，，易知的最大值是，故的最小值為．3．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）一個(gè)十位數(shù)，其數(shù)碼只能是2或3，且沒(méi)有2個(gè)3是相鄰的，則這樣的十位數(shù)共有______個(gè)．【答案】144【詳解】設(shè)滿足題目條件的n位數(shù)有個(gè)，則（2位數(shù)只有3個(gè)數(shù)：）．對(duì)任意，當(dāng)首位數(shù)字是2時(shí)，只要余下的位數(shù)滿足題目條件，這樣的位數(shù)有個(gè)，當(dāng)首位數(shù)字是3時(shí)，前兩位數(shù)只能是32，只要余下的位數(shù)滿足題目條件，這樣的位數(shù)有個(gè)，于是得到，由此遞推得，．即滿足條件的十位數(shù)有144個(gè)．4．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）一本書共有61頁(yè)，順次編號(hào)為1，2，…，61，某人將這些數(shù)相加時(shí)，有兩個(gè)兩位數(shù)的頁(yè)碼都錯(cuò)把個(gè)位數(shù)和十位數(shù)弄反了（形如的兩位數(shù)被當(dāng)成了兩位數(shù)），結(jié)果得到總和是2008，那么書上這兩個(gè)兩位數(shù)頁(yè)碼之和的最大值是_________．【答案】68【詳解】解：注意到，．因?yàn)樾稳绲捻?yè)碼被當(dāng)成后，加得的和將相差，并且a，b只能在1，2，…，9中取值，，．設(shè)弄錯(cuò)的兩數(shù)是和，則，而將117寫成兩個(gè)正整數(shù)之和，其中每個(gè)數(shù)既要不大于72，又要是9的倍數(shù)，只有下列兩種可能：．當(dāng)，時(shí)，，，則只有，而可取16，27，38，49，此時(shí)的最大值是．當(dāng)，，即，，此時(shí)可取18，29，可取17，28，39，則的最大值是．綜上所述，的最大值是68，故應(yīng)填68．5．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）把正整數(shù)1，2，3，…，10分成兩組，其中A組：；B組：．現(xiàn)從A、B兩組中各取出一個(gè)數(shù)，把取出的數(shù)相乘，則所有不同的兩個(gè)數(shù)乘積的和的最大值為_________．【答案】756【詳解】解：設(shè)所有不同的兩個(gè)數(shù)乘積的和為S，并記，則，依題意得．因?yàn)閤為整數(shù)，，所以．當(dāng)，，，，，，，，，，即時(shí)，等號(hào)成立，S取到最大值756，故應(yīng)填756．注

本題中S取到最大值的情況不唯一．例如，，，，即時(shí)，S也取最大值．6．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）將n個(gè)棋子放于10個(gè)盒子內(nèi)，可以找到一種放法，使每個(gè)盒子內(nèi)都有棋子，且這10個(gè)盒子內(nèi)的棋子數(shù)都不同．若將（）個(gè)棋子放入11個(gè)盒子內(nèi)，都找不到一種放法，能使每個(gè)盒子內(nèi)都有棋子，并且這11個(gè)盒子內(nèi)的棋子數(shù)都不相同，則n的最大值等于_______，最小值等于_________．【答案】6455【詳解】要使10個(gè)盒子內(nèi)每個(gè)都有棋子且各盒子內(nèi)棋子數(shù)互不相同，則需要最少棋子的放法是這10個(gè)盒子內(nèi)分別放了1，2，3，…，10個(gè)棋子，所放棋子總數(shù)為．同理，要使11個(gè)盒子內(nèi)每個(gè)都有棋子且各盒子內(nèi)棋子數(shù)互不相同，則需要最少棋子的放法是這11個(gè)盒子內(nèi)分別放了1，2，3，…，11個(gè)棋子，一共放了，所以只有當(dāng)，即時(shí)，n才滿足題目的條件，其中n的最大值為64，最小值為55．故填最大值等于64，最小值等于55．三、解答題7．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）對(duì)某個(gè)正整數(shù)n進(jìn)行一次操作：如果為偶數(shù)，則將除以2，得到；若為奇數(shù)，則加上1再除以2，求證：對(duì)任意正整數(shù)，經(jīng)過(guò)有限次操作后必變?yōu)?【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明

對(duì)任意正整數(shù)，令．如果，經(jīng)過(guò)一次操作后得到的數(shù)為，則，故只要，每次操作后，至少減小1，但正整數(shù)不可能無(wú)限次減少下去．所以，經(jīng)過(guò)有限步操作后，得到的數(shù)必是1.8．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）在黑板上寫上三個(gè)整數(shù)，然后將其中一個(gè)擦去，換上其他兩個(gè)數(shù)之和與1的差．將這個(gè)過(guò)程重復(fù)若干次后得到．問(wèn)一開始黑板上寫出的三個(gè)數(shù)是否可能是或？【答案】有可能，是【詳解】解

由于三個(gè)數(shù)在題述過(guò)程中的奇偶性變化關(guān)系為：（偶，偶，偶）→（偶，偶，奇）→（偶，偶，奇）（奇偶性不變量），所以無(wú)法經(jīng)過(guò)若干次操作達(dá)到．由于（奇，奇，奇）→（奇，奇，奇），故可能是操作過(guò)程中的初始狀態(tài)．先考慮經(jīng)過(guò)若干次操作達(dá)到，于是，顯然，固定17，選擇盡可能小的，使經(jīng)過(guò)若干次操作能達(dá)到．對(duì)于，擦去，經(jīng)過(guò)操作后得到（不分順序），再擦去，操作后得，…，經(jīng)過(guò)次操作得．由于，故取，于是經(jīng)過(guò)125次操作可達(dá)到．又因?yàn)橛腥缦碌哪嫱疲?，故，可由，?jīng)過(guò)5次操作得到．可見(jiàn)可由的，經(jīng)過(guò)次操作而得到．9．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）在格子紙的每一個(gè)方格中放上一個(gè)正整數(shù)，我們每次可進(jìn)行如下的操作：在格子紙上任取一個(gè)或的子棋盤，并將這個(gè)子棋盤內(nèi)每個(gè)數(shù)都加上1，問(wèn)是否能經(jīng)過(guò)有限次這樣的操作，使得這個(gè)格子紙上的64個(gè)方格中的數(shù)均為10的倍數(shù)？【答案】不是任何數(shù)表都能經(jīng)過(guò)有限次操作使表中64個(gè)數(shù)都是10的倍數(shù)【詳解】解

（不變量方法）如圖（a）將格子紙上20個(gè)小方格染成黑色，則任意一個(gè)或的子棋盤恰會(huì)有偶數(shù)個(gè)黑格（2、4或6個(gè)）．因此我們可取一個(gè)數(shù)表，使得這20個(gè)黑格內(nèi)的數(shù)字之和為奇數(shù)，那么，一次操作不會(huì)改變黑格內(nèi)數(shù)字之和的奇偶性．即操作過(guò)程中，這20個(gè)黑格內(nèi)的數(shù)字和永遠(yuǎn)是奇數(shù)，從而不能是10的倍數(shù)．這表明不是任何數(shù)表都能經(jīng)過(guò)有限次操作使表中64個(gè)數(shù)都是10的倍數(shù)．注

圖（a）也可用下列圖（b）或（c）代替只要各黑格內(nèi)的數(shù)之和為奇數(shù)即可．

（a）

（b）

（c）10．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）黑板上寫著從1到1988的正整數(shù)，對(duì)這些數(shù)交替進(jìn)行操作和操作，即先后，再，再，并這樣繼續(xù)下去．操作為將黑板上寫的每一個(gè)數(shù)都減去同一個(gè)正整數(shù)（在不同次的操作中，減去的數(shù)可以不同）；操作為擦去某兩個(gè)數(shù)，然后寫上該兩數(shù)的和，操作過(guò)程一直進(jìn)行到某次之后，黑板上僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí)為止．已知該數(shù)非負(fù)，求這個(gè)數(shù)．【答案】1【詳解】解

因?yàn)椴僮鞑粶p少黑板上數(shù)的個(gè)數(shù)，操作每次使數(shù)的個(gè)數(shù)減少1，故當(dāng)和各進(jìn)行1987次后，黑板上僅剩下一個(gè)數(shù)．設(shè)第次操作時(shí)減去的正整數(shù)是．由于第次操作時(shí)黑板上僅剩下個(gè)數(shù)，故進(jìn)行第次操作后，黑板上各數(shù)之和應(yīng)減少，而操作不改變各數(shù)之和的值．所以交替進(jìn)行1987次操作和后，黑板上所寫的數(shù)應(yīng)為．而為正整數(shù)，，又，所以，從而．即黑板上最后剩下的一個(gè)數(shù)是1．11．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）有一堆火柴共有1千萬(wàn)根，甲、乙兩人進(jìn)行如下游戲：甲先取并且兩人輪流取火柴，在每一步中游戲者可從堆中取走根火柴，其中為質(zhì)數(shù)，．誰(shuí)取到最后根火柴，誰(shuí)就獲勝．問(wèn)甲、乙兩人誰(shuí)有必勝策略？怎樣獲勝？【答案】甲，甲取根火柴，使余下的火柴數(shù)又是6的倍數(shù)，甲每次都按此方法辦事，最后必然獲勝【詳解】解

注意到游戲者每步可取1，2，3，4，5根火柴，但不能取火柴，所以甲第1次只要取4根火柴，余下的火柴數(shù)必是6的倍數(shù)．無(wú)論乙怎么取，他取的余下的火柴數(shù)一定不是6的倍數(shù)，設(shè)它除以6的余數(shù)為，則甲取根火柴，使余下的火柴數(shù)又是6的倍數(shù)，甲每次都按此方法辦事，最后必然獲勝．注

本題中敗局由所有6的正整數(shù)倍組成，勝局則由所有不是6的倍數(shù)的正整數(shù)組成．12．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）桌上有3堆火柴，根數(shù)分別是100，200，300，甲、乙兩人進(jìn)行游戲．甲先開始并輪流進(jìn)行如下操作：每次取走一堆火柴，再把余下的兩堆火柴中的一堆分成非空的兩堆，輪到誰(shuí)不能進(jìn)行操作，就算誰(shuí)輸．問(wèn)在兩人都能確操作的前提下，誰(shuí)有必勝策略？說(shuō)明理由．【答案】甲有必勝策略，見(jiàn)解析【詳解】解

注意，3堆火柴的根數(shù)可寫成，，．我們就3堆火柴為，，（，，為整數(shù)，，，均為奇數(shù)）（*）的一般情形進(jìn)行討論．甲可先取走根數(shù)為的那堆火柴，并將根數(shù)為的那堆火柴分為兩堆，兩堆的根數(shù)分別為和，于是甲操作以后，3堆火柴的根數(shù)可寫成，，（，，均為奇數(shù)）（**），接下來(lái)輪到乙操作，不妨設(shè)他取走了根數(shù)為的那一堆．而將根數(shù)為的分成兩堆，根數(shù)分別為，，其中，均為奇數(shù)且．因?yàn)?，所以或者有，或者有，，無(wú)論哪種情形3堆的火柴數(shù)又化為（*）式所示的情形．于是，甲又可以按上述方式操作并使過(guò)程進(jìn)行到某次乙無(wú)法操作為止，所以甲有必勝策略．注

本題中的勝局就是3堆中的火柴數(shù)能寫成（*）式所示的情形，敗局則是3堆中的火柴數(shù)能寫成（**）式所示的情形．13．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）甲、乙兩人進(jìn)行數(shù)學(xué)游戲，先寫出數(shù)0，1，2，…，1024．甲先從中勾掉512個(gè)數(shù)，然后乙從余下的數(shù)中勾去256個(gè)數(shù)，然后甲再勾掉128個(gè)．如此繼續(xù)下去，在第10步乙勾掉一個(gè)數(shù)后還剩下兩個(gè)數(shù)，此時(shí)乙應(yīng)付給甲分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)之值等于余下兩個(gè)數(shù)之差，試問(wèn)怎樣勾數(shù)對(duì)甲有利，怎樣勾數(shù)對(duì)乙有利？如果兩人都以最佳的方式執(zhí)步，乙將付給甲多少分？【答案】甲每次勾掉數(shù)時(shí)，應(yīng)使所余的數(shù)中兩數(shù)之差的最小值越大越好；乙勾數(shù)時(shí)，應(yīng)使所余的數(shù)中兩數(shù)之差的最大值越小越好；乙應(yīng)付給甲的分?jǐn)?shù)為32【詳解】解

由于最后兩數(shù)之差越大對(duì)甲越有利，因此，甲每次勾掉數(shù)時(shí)，應(yīng)使所余的數(shù)中兩數(shù)之差的最小值越大越好．乙勾數(shù)時(shí)，應(yīng)使所余的數(shù)中兩數(shù)之差的最大值越小越好．甲第一次把所有奇數(shù)勾掉，然后不論乙怎樣勾數(shù)，甲第二次將所有4的倍數(shù)勾掉，若不夠，再任意勾掉一些數(shù)，直到夠數(shù)為止，直到第5次，甲把所有32的倍數(shù)都勾掉，于是所余的數(shù)中任何兩數(shù)之差都不小于32，所以甲最后至少要得32分．第一次輪到乙時(shí)，甲已勾掉512個(gè)數(shù)，乙必須認(rèn)清0~512及513~1024中哪一組余下的數(shù)多，然后乙只須將其中數(shù)少的一部分全勾掉，不夠時(shí)再接著在另一組勾下去，只到夠數(shù)為止，于是所余的數(shù)中兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)512．以后每次輪到乙時(shí)，都按此方法辦事，每次總可以把兩數(shù)差的最大值縮小到未來(lái)的一半，直到第10步勾掉1個(gè)數(shù)后，余下的兩數(shù)之差不超過(guò)32．可見(jiàn)，兩人都正確執(zhí)步時(shí)，乙應(yīng)付給甲的分?jǐn)?shù)為32．14．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）2006個(gè)都不等于119的正整數(shù)排列成一行數(shù)，其中任意連續(xù)若干項(xiàng)的和都不等于119，求的最小值．【答案】3910【詳解】解：首先我們證明119個(gè)正整數(shù)中必有連續(xù)若干項(xiàng)（至少一項(xiàng)，至多119項(xiàng)）之和是119的倍數(shù)．事實(shí)上考察下列119個(gè)和：，，，…，．其中若有一個(gè)數(shù)是119的倍數(shù)，則結(jié)論成立，否則它們除以119的余數(shù)只能是1，2，3，…，118，這118個(gè)數(shù)之一．由抽屜原理知中必有個(gè)數(shù)除以119的余數(shù)相同，設(shè)這兩個(gè)數(shù)是和（），于是是119的倍數(shù)．對(duì)于中任意連續(xù)119個(gè)數(shù)，由上述結(jié)論可知，其中一定有若干連續(xù)項(xiàng)之和是119的倍數(shù)．又由題設(shè)知它不等于119，所以它大于或等于．又，所以．

①取，其他數(shù)都等于1，①中等號(hào)成立，所以的最小值為3910．注

①中等號(hào)成立的條件不唯一，例如取，，也使①中等號(hào)成立．15．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）某學(xué)生在黑板上寫出了17個(gè)自然數(shù)，每個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)碼只能是這5個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，求證：從這17個(gè)數(shù)中可以選出5個(gè)數(shù)，它們的和能被5整除．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：如果17個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字都有，那么可選5個(gè)數(shù)，它們的個(gè)位數(shù)字恰好是，則這5個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字為零，故這5個(gè)數(shù)之和被5整除．如果17個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字最多只有4種不同數(shù)字，那么由抽屜原理，至少有個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同，這5個(gè)數(shù)字之和能被5整除．16．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）從1，2，…，205共205個(gè)正整數(shù)中，最多能取出多少個(gè)數(shù)，使得對(duì)于取出來(lái)的數(shù)中的任意三個(gè)數(shù)a，b，c（）都有．【答案】193個(gè)【詳解】解：若取出的數(shù)為1，x，，，…，205，則只要，即，就可使取出的數(shù)具有題設(shè)的性質(zhì)．當(dāng)時(shí)，取出的數(shù)為1，14，15，…，205，它們一共有個(gè)，并且對(duì)其中任意3個(gè)數(shù)a，b，c（）．若，則；若，則，故取出的數(shù)滿足題目條件．另一方面，考慮下列12個(gè)三數(shù)組：，，，…，，，它們是互不相等的39個(gè)數(shù)，最小的是2，最大的是，所以每組中至少有一個(gè)數(shù)不能取出，即至少有12個(gè)數(shù)不能取出，故至多只能取出個(gè)數(shù)．綜上所述，在1，2，3，…，205中，最多能取出193個(gè)數(shù)，滿足題設(shè)條件．17．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）如果兩個(gè)整數(shù)x，y的和、差、積、商的和等于100，那么這樣的整數(shù)有幾對(duì)？并求x與y的和的最小值，及x與y的積的最大值．【答案】7對(duì)，，【詳解】解：依題意①即．因?yàn)閤，y是整數(shù)，所以，，為整數(shù)，由①知也為整數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，，所以或；（2）當(dāng)，時(shí)，，所以或；（3）當(dāng)，時(shí)，，所以或；（4）當(dāng)，時(shí)，，所以（舍去）或．由上可知，滿足題意的整數(shù)x，y共7對(duì)，其中，．18．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）設(shè)a，b，c，，，，是七個(gè)兩兩不同的質(zhì)數(shù)，且a，b，c中兩數(shù)之和是800．設(shè)d是這七個(gè)實(shí)數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差，求d的最大可能值．【答案】1594【詳解】解：不妨設(shè)，于是七個(gè)數(shù)中，最小，最大，從而有．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求c的最大值．因，所以．又因?yàn)椋?，中有一個(gè)數(shù)為800，所以．由于和798都不是質(zhì)數(shù)，而797為質(zhì)數(shù)，故有，．另一方面，當(dāng)時(shí)，若，則．又，所以，此時(shí)為合數(shù)，不符合題意．若，則，由于，．又，而795，796皆為合數(shù)，故此時(shí)也不符合題意．所以，注意到，，并且，；，，，都不全是質(zhì)數(shù)，從而不能滿足題目要求．而，都是質(zhì)數(shù)，是質(zhì)數(shù)，是質(zhì)數(shù)，也是質(zhì)數(shù)，容易驗(yàn)證和也都是質(zhì)數(shù)．綜上所述知，d的最大可能值為1594．19．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，在方格內(nèi)已填有16個(gè)數(shù)字，可以對(duì)問(wèn)題格中數(shù)字進(jìn)行如下的操作：將一行或一列或一條對(duì)角線上的4個(gè)數(shù)同時(shí)加上或減去同一個(gè)正整數(shù)．問(wèn)能否經(jīng)過(guò)有限次操作使16個(gè)數(shù)都相等？1876201032455689【答案】不能【詳解】解

任何一次操作中，4個(gè)數(shù)加上或減去同一個(gè)正整數(shù)，所以這16個(gè)數(shù)之和除以4的余數(shù)不變（同余不變量）．如果16個(gè)數(shù)相等，那么這16個(gè)數(shù)之和除以4的余數(shù)等于0，而一開始16個(gè)數(shù)之和為67，它除以4的余數(shù)為．因此，無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次操作，不可能使16個(gè)數(shù)都相等．20．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）已知三個(gè)正整數(shù)倒數(shù)之和等于，求這三個(gè)數(shù)．【答案】符合題意的三個(gè)正整數(shù)有6組：；；；；；【詳解】解：設(shè)三個(gè)正整數(shù)為，則，由平均值原理知，中必有一個(gè)不小于，所以其中較大者．又，且x是正整數(shù)，故只可能是或或，即或3或4．當(dāng)時(shí)，①，，故中必有一個(gè)不小于，所以其中較大的，，代入①驗(yàn)證知時(shí)z不為正整數(shù)，舍去．當(dāng)時(shí)，z分別等于．當(dāng)時(shí)，②，故中較大的不小于，從而．又，所以y只可能為，分別代入②得．當(dāng)時(shí)，③，故中較大的不小于，從而．又，所以，代入③得．綜上所述，得滿足題意的三個(gè)正整數(shù)有下列6組：．21．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）從1，2，3，…，50這50個(gè)正整數(shù)中任取n個(gè)數(shù)，在這n個(gè)數(shù)中總能找到3個(gè)數(shù)，它們兩兩互質(zhì)．求n的最小值．【答案】n的最小值等于34．【詳解】記，是S中能被i整除的正整數(shù)組成的集合，，分別，中數(shù)的個(gè)數(shù)，由容斥原理有．從中任取3個(gè)數(shù)，其中至少有2個(gè)數(shù)屬于或中同一個(gè)集合，它們不互質(zhì)．故所求n的最小值．其次，設(shè)，，，則，，中共有個(gè)數(shù)，于是從S內(nèi)任取34個(gè)數(shù)，其中至少有個(gè)數(shù)屬于．由抽屜原理知，這7個(gè)數(shù)中至少有個(gè)數(shù)屬于，，中同一個(gè)子集，它們兩兩互質(zhì)．綜上所述，所求n的最小值等于34．22．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）設(shè)正整數(shù)n有如下性質(zhì)：1，2，…，n中任取99個(gè)不同的數(shù)，這99個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)的差等于7，求n的最大值．【答案】196【詳解】我們從1，2，…，197中取出如下99個(gè)數(shù)：1~7，15~21，29~35，43~49，57~63，71~77，85~91，99~105，113~119，127~133，141~147，155~161，169~175，183~189，197，它們中任何兩數(shù)之差不等于7，故所求n的最大值．另一方面，從1，2，…，196中任取99個(gè)數(shù)，由抽屜原理知其中至少有個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)相同．設(shè)這個(gè)余數(shù)為r，而在1，2，…，196中恰有個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)為r，故取出的15個(gè)被7除余數(shù)為r的數(shù)中一定有2個(gè)數(shù)之差等于7．綜上可知，所求n的最大值為196．23．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）從1，2，3，…，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多能取出多少個(gè)數(shù)，使得對(duì)于任意取出的一個(gè)數(shù)x，都有不在取出的數(shù)中？【答案】最多能取出1884個(gè)數(shù)．【詳解】因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)x，要使不在取出的數(shù)中，只要，即，故135，136，137，…，2010都可以在取出的數(shù)中，并且要使，只要，故1，2，…，8也可在選取的數(shù)中，于是當(dāng)我們選取的數(shù)為1，2，…，8和135，136，…，2010時(shí)，對(duì)上述任何一個(gè)數(shù)x，都不在其中，滿足題目的要求，這時(shí)一共取出了個(gè)數(shù)．另一方面，對(duì)9，10，…，134中任意一個(gè)數(shù)x，x與中至少有一個(gè)數(shù)不能取出，即至少有個(gè)數(shù)不能取出，即取出的數(shù)至多為個(gè)．綜上所述，最多能取出1884個(gè)數(shù)．24．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）已知n個(gè)（）正整數(shù)，把它們從小到大排列為．若這n個(gè)正整數(shù)的和等于這n個(gè)正整數(shù)的積，求的最大值．【答案】所求的最大值等于n．【詳解】考察下面的一些特殊情形：，，，，…我們猜出，并且我們可構(gòu)造一個(gè)的實(shí)例如下：，，，則．故所求的最大值不小于n．另一方面，若，則，，矛盾，故．其次，若，則由得，導(dǎo)致矛盾，從而．綜上所述知，所求的最大值等于n．25．（2021·全國(guó)·競(jìng)賽）（1）證明：在任意連續(xù)13個(gè)正整數(shù)中，必存在一個(gè)數(shù)，它的各位數(shù)字之和被7整除；（2）在任意連續(xù)12個(gè)正整數(shù)中，是否一定存在一個(gè)數(shù)，它的各位數(shù)字之和被7整除？如果一定存在，請(qǐng)給出證明；如果不一定存在，請(qǐng)舉出實(shí)例說(shuō)明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）不一定，下列12個(gè)連續(xù)正整數(shù)：的各位數(shù)字之和分別是，它們都不被7整除【詳解】（1）對(duì)任意非負(fù)整數(shù)a，我們?cè)O(shè)下列10個(gè)數(shù)為從開始的基本段．于是，任意連續(xù)13個(gè)正整數(shù)或者包含在2個(gè)相鄰的基本段中，或者包含在3個(gè)相鄰的基本段中．在前一情形下，至少有7個(gè)數(shù)包含在同一個(gè)基本段中，在后一情形，有10個(gè)數(shù)包含在同一個(gè)基本段中，總之，至少有7個(gè)數(shù)包含在同一個(gè)基本段中．設(shè)這7個(gè)數(shù)是（a為某個(gè)非負(fù)整數(shù)，或3），記a的各位數(shù)字之和為，則上述7個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和分別是，它們除以7的余數(shù)兩兩互不相同，故其中必有一個(gè)數(shù)被7整除．（2）下列12個(gè)連續(xù)正整數(shù)：的各位數(shù)字之和分別是，它們都不被7整除，故任意連續(xù)12個(gè)正整數(shù)中不保證存在一個(gè)數(shù)，它的各位數(shù)字之和被7整除．題型二：十進(jìn)制整數(shù)及表示法一、填空題1．軍訓(xùn)基地購(gòu)買蘋果慰問(wèn)學(xué)員．已知蘋果總數(shù)用八進(jìn)位制表示為，七進(jìn)位制表示為．那么，蘋果的總數(shù)用十進(jìn)位制表示為________．【答案】220【詳解】填220.理由：因，b，，，即，即，所以，，3，6.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．故，，．則．二、解答題2．把化為十進(jìn)制小數(shù)．【答案】【詳解】.，所以．3．將十進(jìn)制數(shù)2002化成二進(jìn)制數(shù)．【答案】【詳解】將化成二進(jìn)制數(shù)為．4．有一個(gè)寫成七進(jìn)制的三位數(shù)，如果把各位數(shù)碼按相反順序?qū)懗?，并把它看成是九進(jìn)制的三位數(shù)，且這兩數(shù)相等，求這個(gè)數(shù)．【答案】248【詳解】設(shè)所求的數(shù)為A．在七進(jìn)制中，A可寫為，這里，．?dāng)?shù)A在九進(jìn)制中可表示為．于是由題意得方程，即．于是b是8的倍數(shù)，又，則只能有．再由，及，，可得，．于是數(shù)A在七進(jìn)制中為，在九進(jìn)制中為，在十進(jìn)制中為．5．在哪種進(jìn)位制中，16324是125的平方？【答案】在七進(jìn)制中，16324是125的平方【詳解】.設(shè)進(jìn)位制的基數(shù)為b．由題設(shè)，顯然．此時(shí)可得方程，經(jīng)整理可得，即，此方程僅有唯一的實(shí)根．于是在七進(jìn)制中，16324是125的平方．6．N是整數(shù)，它的b進(jìn)制表示是777，求最小的正整數(shù)b，使得N是十進(jìn)制整數(shù)的4次方．【答案】18【詳解】本題等價(jià)于求最小的正整數(shù)b，使得方程

①對(duì)x有整數(shù)解．因?yàn)?是素?cái)?shù)，所以由方程①，7是x的約數(shù)，為此設(shè)，則方程①化為．最小的b出現(xiàn)在k最小的時(shí)候．取，此時(shí)有，即，此時(shí)有，解得正整數(shù)．我們用表示k進(jìn)制的數(shù)，則有．7．在哪種進(jìn)位制中，？【答案】六進(jìn)制【詳解】設(shè)進(jìn)位制的基數(shù)為b．由題設(shè)，顯然．此時(shí)可得方程從而有，解得，（舍去）．于是題設(shè)中的等式是在六進(jìn)制中．8．化為二進(jìn)制數(shù)．【答案】【詳解】二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)有著特殊的關(guān)系，這是因?yàn)椋?，一位八進(jìn)制數(shù)相當(dāng)于三位二進(jìn)制數(shù)，如：，，，，，，．所以，．9．求證：對(duì)于任意進(jìn)位制的數(shù)，10201都是合數(shù)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】假設(shè)10201是x進(jìn)位制數(shù)，因?yàn)槠渲谐霈F(xiàn)了0，1，2，所以它至少是三進(jìn)制數(shù)，即．，由，得．因此它一定是合數(shù)．10．將化為下列進(jìn)位制的數(shù)：（1）二進(jìn)位制的數(shù)；（2）八進(jìn)位制的數(shù)．【答案】（1）；（2）【詳解】解

（1）用2作除數(shù)，除2010商為1005，余數(shù)為0；再用2除1005商502，余數(shù)為1，繼續(xù)下去直到商是0時(shí)為止．所得的各次余數(shù)排列出的數(shù)，就是所化出的二進(jìn)位制的數(shù)．各次商數(shù)被除數(shù)除數(shù)013715316212525150210052010211111011010各次余數(shù)顯然，．故．（2）由0331251201083332知．11．設(shè)在三進(jìn)位制中，數(shù)N的表示是20位數(shù)：12112211122211112222，求N在九進(jìn)位制中表示最左邊的一位數(shù)字．【答案】5【詳解】解

把N的三進(jìn)位制表示的數(shù)字一對(duì)一地組合，得到．故所求數(shù)字為5.12．設(shè)1987可以在b進(jìn)位制中寫成三位數(shù)，且，試確定出所有可能的x，y，z和b．【答案】，，，【詳解】解

由題設(shè)由①②得．所以是的因數(shù)．又，，所以．從而，即．又，故，，．13．計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）0【詳解】利用二進(jìn)制數(shù)間的加減運(yùn)算．（1）所以．（2）所以．（3）

所以．題型三：整除性一、填空題1．大約1500年前，我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之，計(jì)算出的值在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個(gè)把的值精確到7位小數(shù)的人，現(xiàn)代入利用計(jì)算機(jī)已經(jīng)將的值計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后515億位以上．這些數(shù)排列既無(wú)序又無(wú)規(guī)律，但是細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：由左起的第一位3是質(zhì)數(shù)，31也是質(zhì)數(shù)，但314不是質(zhì)數(shù)，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，質(zhì)數(shù)是______．【答案】314159【詳解】3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除．所以314159是質(zhì)數(shù)．2．在0，1，2，…，49，50這51個(gè)數(shù)中，能同時(shí)被2，3整除的數(shù)共有______個(gè)．【答案】9【詳解】被2，3整除，即被6整除．從1到50共有8個(gè)被6整除，加上0共9個(gè)．3．已知p，q均為質(zhì)數(shù)，其中有一個(gè)是一位數(shù)，，如果今天是星期一，且天后的那一天不是星期一，那么是星期_________．【答案】天【詳解】填天．理由：當(dāng)時(shí)，，但，1991不是質(zhì)數(shù)．當(dāng)時(shí)，，但，1989也不是質(zhì)數(shù)．當(dāng)時(shí)，．反過(guò)來(lái)，時(shí)，．當(dāng)時(shí)，被7整除，則天后是星期一，不合題意；當(dāng)時(shí)，．所以天后的那一天是星期天．二、解答題4．已知，a，b為正整數(shù)，求a的最小值．【答案】2646．【詳解】因，則，即．又因3是質(zhì)數(shù)，則．同理，．令（t是正整數(shù)），則，即．要求a的最小值，t應(yīng)盡可能地?。r(shí)，a有最小值．5．任給5個(gè)整數(shù)，證明必能從中選出3個(gè)，使得它們的和被3整除．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明

考慮的同余類．如果這5個(gè)數(shù)中，有3個(gè)數(shù)在同一類，那么它們的和被3整除．如果沒(méi)有3個(gè)數(shù)在同一類，那么每一類中至多有2個(gè)數(shù)，兩個(gè)類中至多4個(gè)數(shù)．因此，三個(gè)剩余類中，每一個(gè)都至少含一個(gè)所給的數(shù)，這樣的3個(gè)數(shù)的和，即被3整除．6．從1，2，3，…，2010中最多能挑出多少數(shù)，使其中的任何兩個(gè)數(shù)之和不被其差整除？【答案】670個(gè)【詳解】解：從給定數(shù)中挑出1，4，7，10，…，2008這些數(shù)來(lái)，這些數(shù)中任意兩數(shù)的差為3的倍數(shù)，而任意兩數(shù)之和除以3余2，故挑出的數(shù)中任意兩數(shù)之和不被其差整除．設(shè)上述挑選出來(lái)的數(shù)有n個(gè)，則，，故挑出的數(shù)的個(gè)數(shù)不小于670．我們證明，挑出的數(shù)的個(gè)數(shù)不能多于670個(gè)．事實(shí)上，挑出的數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值不等于1（1顯然整除兩數(shù)之和），也不能為2（否則，當(dāng)這兩數(shù)同奇偶時(shí)，其和被2整除），所以任意兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值不小于3，若挑出數(shù)的個(gè)數(shù)大于670，則其中最大數(shù)不小于，矛盾．綜上所述知，最多挑出670個(gè)數(shù)．7．（1）求出所有的正整數(shù)n，使被7整除．（2）求證：沒(méi)有正整數(shù)n能使2被7整除．【答案】（1）當(dāng)且僅當(dāng)n是3的倍數(shù)時(shí)，被7整除；（2）見(jiàn)解析【詳解】（1），所以，．因此，當(dāng)且僅當(dāng)n是3的倍數(shù)時(shí)，被7整除．（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，不被7整除．8．能同時(shí)被6，7，8，9整除的五位數(shù)有多少個(gè)?【答案】179個(gè)【詳解】6，7，8，9的最小公倍數(shù)是．504個(gè)連續(xù)的數(shù)中，恰有一個(gè)被504整除．從10000到9999，共90000個(gè)五位數(shù)，因?yàn)椤?，所以其中?04整除的數(shù)，每?jī)蓚€(gè)相差504，在數(shù)軸上共形成178個(gè)區(qū)間，即被504整除的數(shù)（區(qū)間的端點(diǎn)）有179個(gè)．因此，能同時(shí)被6，7，8，9整除的五位數(shù)有179個(gè)．9．p是質(zhì)數(shù)，設(shè)也是質(zhì)數(shù)，試確定q的值．【答案】149【詳解】解：因?yàn)?被3除余1，所以被3除余1，因此，被3除余2．如果，則質(zhì)數(shù)p不被3整除，被3除余1，推知被3除余1．所以被3整除．而，所以此時(shí)q為合數(shù)，與q是質(zhì)數(shù)的條件不符，因此，只能．當(dāng)加時(shí)，．經(jīng)檢驗(yàn)，149確是質(zhì)數(shù)，合乎要求．10．已知p為大于3的質(zhì)數(shù)．證明：p的平方被24除的余數(shù)為1．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證法1只需證能被24整除．因p為大于3的質(zhì)數(shù)，則p為奇數(shù)，所以，與為兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，且其中之一為4的倍數(shù)．故能被8整除．又因?yàn)樵谌齻€(gè)連續(xù)的整數(shù)中必有一個(gè)是3的倍數(shù)，且p為大于3的質(zhì)數(shù)，所以，為3的倍數(shù)．而，故能被24整除．證法2因?yàn)榇笥?的質(zhì)數(shù)均可以表示成的形式，所以，．又因?yàn)閗與的奇偶性不同，則它們的積為偶數(shù)，所以，能被24整除．題型四：素?cái)?shù)、合數(shù)、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)一、單選題1．滿足個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之和是十位數(shù)字的5倍的三位數(shù)共有（

）A．8個(gè) B．9個(gè) C．18個(gè) D．29個(gè)【答案】C【詳解】設(shè)百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字分別為a，b，c，則當(dāng)時(shí)，，有5組．當(dāng)時(shí)，，有9組．當(dāng)時(shí)，．有4組．所以滿足條件的三位數(shù)共有18個(gè)二、填空題2．已知a是質(zhì)數(shù)，b是奇數(shù)，且，則_________．【答案】1999．【詳解】．3．若a，b，c是1998的三個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，且，則______．【答案】1600．【詳解】，所以．4．已知都是質(zhì)數(shù)，且，那么滿足上述條件的最小質(zhì)數(shù)______，______．【答案】432．【詳解】，再考慮．逐一嘗試．5．立方體的每一個(gè)面都寫著一個(gè)自然數(shù)，并且相對(duì)兩個(gè)面所寫兩個(gè)數(shù)之和相等，10，12，15是相鄰三面上的數(shù)，若10的對(duì)面寫的是質(zhì)數(shù)a，12的對(duì)面寫的是質(zhì)數(shù)b，15的對(duì)面寫的是質(zhì)數(shù)c，則的值等于_________．【答案】19．【詳解】易知．6．在算式中，A，B，C是三個(gè)互不相等的質(zhì)數(shù)，那么_____．【答案】2【詳解】如果A，B，C都是奇數(shù)，那么是偶數(shù)，從而是偶數(shù)，而是奇數(shù)，矛盾，所以A，B，C中有偶數(shù)．質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)，如果或，那么等號(hào)兩邊奇偶性不同，矛盾，所以只有．7．已知，其中a，b均為小于1000的質(zhì)數(shù)，x是偶數(shù)，那么x的最大值是_______．【答案】2000【詳解】填2000.理由：因?yàn)?，x是偶數(shù)，由偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)，可知的積一定是偶數(shù)．