2024年高考數(shù)學(xué)的知識點歸納

2024年高考數(shù)學(xué)的知識點歸納

高考數(shù)學(xué)的知識點歸納1

一、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

1.用聯(lián)結(jié)詞且聯(lián)結(jié)命題p和命題q,記作pq，讀作p且q.

2.用聯(lián)結(jié)詞或聯(lián)結(jié)命題p和命題q,記作pq，讀作p或q.

3.對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作^p,讀作非p或p的否定.

4.命題pq,pq,p的真假判斷：

pq中p、q有一假為假，pq有一真為真，p與非p必定是一真T戰(zhàn)

二、全稱量詞與存在量詞

1.全稱量詞與全稱命題

Q)短語所有的任意一個在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示.

(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.

⑶全稱命題對M中任意一個x,有p(x)成立可用符號簡記為xM,p(x),讀作對任意x屬

于M,有p(x)成立.

2.存在量詞與特稱命題

(1)短語存在一個至少有一個在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示.

(2)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.

⑶特稱命題存在M中的一個x0,使p(xO)成立可用符號簡記為xOM,P(xO),讀作存在M

中的元素x0，使p(xO)成立

三、含有一個量詞的命題的否定

命題命題的否定xM,p(x):<OM,p(xO)xOM,p(xO)xM,p(x)四、解題思路

1.邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系

或、且、非三個邏輯聯(lián)結(jié)詞，對應(yīng)著集合運算中的并、交、補，因此，常常借助集合的并、

交、補的意義來解答由或、且、非三個聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題.

2.正確區(qū)別命題的否定與否命題

否命題是對原命題若p,則q的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件,

又否定其結(jié)論;命題的否定即非p只是否定命題p的結(jié)論.命題的否定與原命題的真假總是對立

的，即兩者中有且只有一個為真，而原命題與否命題的真假無必然聯(lián)系.

3.全稱命題真假的判斷方法

Q)要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x,證明p(x)成立;

⑵要判斷一個全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的f特殊值x=xO，使p(xO)不成

立即可.

4.特稱命題真假的判斷方法

要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x=xO,使p(xO)成立即

可，否則這一特稱命題就是假命題.

高考數(shù)學(xué)的知識點歸納2

一、求動點的軌跡方程的基本步驟

1.建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，設(shè)出動點M的坐標；

2.寫出點M的集合；

3.列出方程=0;

4.化簡方程為最簡形式；

5.檢驗。

二、求動點的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、

相關(guān)點法、參數(shù)法和交軌法等。

L直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方

法通常叫做直譯法。

2.定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方

程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

3.相關(guān)點法：用動點Q的坐標x,y表示相關(guān)點P的坐標xO、yO，然后代入點P的坐標(xO,

yO)所滿足的曲線方程整理化簡便得到動點Q軌跡方程這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點法。

4.參數(shù)法：當(dāng)動點坐標x、y之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數(shù)t

的關(guān)系，得再消去參變數(shù)t,得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)

法。

5.交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡

方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

直譯法：求動點軌跡方程的一般步驟

①建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担?/p>

②設(shè)點設(shè)軌跡上的任一點P(x,y);

③列式列出動點p所滿足的關(guān)系式；

④代換依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X,Y的方程式,并化簡;

⑤證明證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。

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一、間斷點求極限

1、連續(xù)、間斷點以及間斷點的分類：判斷間斷點類型的基礎(chǔ)是求函數(shù)在間斷點處的左右極

限；

2、可導(dǎo)和可微，分段函數(shù)在分段點處的導(dǎo)數(shù)或可導(dǎo)性，一律通過導(dǎo)數(shù)定義直接計算或檢驗

若可以找到這個級數(shù)所對應(yīng)的昂級數(shù)則可以利用基麒函數(shù)的方法把它所對應(yīng)的和函數(shù)求

出，再根據(jù)這個極限的形式代入相應(yīng)的變量求出函數(shù)值。

C、利用定積分定義求吸限

若數(shù)列每一項都可以提出一個因子，剩余的項可用一個通項表示，則可以考慮用定積分定

義求解數(shù)列極限。

d、利用夾逼定理求極限

若數(shù)列每一項都可以提出一個因子，剩余的項不能用一個通項表示，但是其余項是按遞增或

遞減排列的，則可以考慮用夾逼定理求解。

e、求項數(shù)列的積的極限

一般先取對數(shù)化為項和的形式，然后利用求解項和數(shù)列極限的方法進行計算。

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動點的軌跡方程動點的軌跡方程：在直角坐標系中，動點所經(jīng)過的軌跡用一個二元方程

f(x,y)=O表示出來。

求動點的軌跡方程的基本方法：直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法、交軌法等。

1、直接法：

如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧,

易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法；

用直接法求動點軌跡一般有建系，設(shè)點，列式，化簡，證明五個步驟，最后的證明可以省略，

但要注意"挖"與"補"。求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要

說明軌跡是什么。

2、定義法：

利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的

軌跡方程，高考生物，這種方法叫做定義法.這種方法要求題設(shè)中有定點與定直線及兩定點距離

之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件。定義法的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化??

轉(zhuǎn)化成某一基本軌跡的定義條件；

3、相關(guān)點法：

動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q(x\y')

的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x\y'表示為x,y的式

子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點法。一般地：定比分

點問題，對稱問題或能轉(zhuǎn)化為這兩類的軌跡問題，都可用相關(guān)點法。

4、參數(shù)法:

求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標、縱坐標之間的關(guān)系則可借助中間變氯參數(shù)),

使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程。用什么變量為

參數(shù)，要看動點隨什么量的變化而變化，常見的參數(shù)有：斜率、截距、定比、角、點的坐標等。

要特別注意消參前后保持范圍的等價性。多參問題中，根據(jù)方程的觀點，引入n個參數(shù)，需建

立n+1個方程，才能消參(特殊情況下，能整體處理時,方程個數(shù)可減少)。

5、交軌法:

求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點時常用此法，也可

以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。

用交軌法求交點的軌跡方程時，不一定非要求出交點坐標，只要能消去參數(shù)，得到交點的兩個坐

標間的關(guān)系即可。交軌法實際上是參數(shù)法中的一種特殊情況。

求軌跡方程的步驟：

Q)建系，設(shè)點建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担O(shè)曲線上任意一點的坐標為M(x,y);

(2)寫集合寫出符合條件P的點M的集合P(M);

⑶列式用坐標表示P(M),列出方程f(x,y)=0;

(4)化簡化方程f(x,y)=0為最簡形式；

(5)證明證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。

高考數(shù)學(xué)的知識點歸納5

一、充分條件和必要條件

當(dāng)命題"若A則B"為真時，A稱為B的充分條件，B稱為A的必要條件。

二、充分條件、必要條件的常用判斷法

1.定義法：判斷B是A的條件，實際上就是判斷B=>A或者A=>B是否成立，只要

把題目中所給的條件按邏輯關(guān)系畫出箭頭示意圖，再利用定義判斷即可

2.轉(zhuǎn)換法：當(dāng)所給命題的充要條件不易判斷時，可對命題進行等價裝換，例如改用其逆否命

題進行判斷。

3.集合法

在命題的條件和結(jié)論間的關(guān)系判斷有困難時，可從集合的角度考慮，記條件p、q對應(yīng)的集

合分別為A、B,則：

若A?B，則p是q的充分條件。

若A?B,則p是q的必要條件。

若A:B,則p是q的充要條件。

若A?B,且B?A,則p是q的既不充分也不必要條件.

三、知識擴展

1.四種命題反映出命題之間的內(nèi)在聯(lián)系，要注意結(jié)合實際問題，理解其關(guān)系(尤其是兩種等

價關(guān)系)的產(chǎn)生過程，關(guān)于逆命題、否命題與逆否命題，也可以敘述為：

(1)交換命題的條件和結(jié)論，所得的新命題就是原來命題的逆命題;

(2)同時否定命題的條件和結(jié)論，所得的新命題就是原來的否命題；

(3)交換命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的新命題就是原命題的逆否命題。

2.由于"充分條件與必要條件"是四種命題的關(guān)系的深化，他們之間存在這密切的聯(lián)系，故

在判斷命題的條件的充要性時，可考慮"正難則反"的.原則，即在正面判斷較難時，可轉(zhuǎn)化為

應(yīng)用該命題的逆否命題進行判斷。一個結(jié)論成立的充分條件可以不止一個，必要條1牛也可以不止

f

高考數(shù)學(xué)的知識點歸納6

1.等差數(shù)列的定義

如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫

做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.

2.等差數(shù)列的通項公式

若等差數(shù)列｛an｝的首項是al,公差是d,則其通項公式為an=al+(n-l)d.

3.等差中項

如果A=(a+b)/2,那么A叫做a與b的等差中項.

4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

Q)通項公式的推廣：an=am+(n-m)d(n,meN.).

(2)若｛an｝為等差數(shù)列，且m+n=p+q,

貝Uam+an=ap+aq(m,n,p,q(=N.).

⑶若｛an提等差數(shù)列，公差為d,貝③k,ak+m,ak+2m，…(k,mwN.)是公差為md的

等差數(shù)列.

(4)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m，…也是等差數(shù)歹I」.

(5)S2n-l=(2n-l)an.

⑹若n為偶數(shù)，則S偶-S奇=向/2;

若n為奇數(shù)，則S奇-S偶二a中(中間項).

注意：

一個推導(dǎo)

利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式：

Sn=al+a2+a3+...+an,①

Sn=an+an-l+...+al,②

①+②得：Sn=n(al+an)/2

兩個技巧

已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元.

⑴若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時,可設(shè)為…，e-2d,a-d,a,a+d,a+2d，….

(2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)為...，a-3d,a-d,a+d,a+3d，…，其余

各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進行對稱設(shè)元.

四種方法

等差數(shù)列的判斷方法

Q)定義法：對于n>2的任意自然數(shù)，驗證an-an-1為同一常數(shù)；

(2)等差中項法：^iiE2an-l=an+an-2(n>3,n￡N.)都成立；

(3)通項公式法：驗證an=pn+q;

(4)前n項和公式法：驗證Sn=An2+Bn.

注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列.

高考數(shù)學(xué)的知識點歸納7

定義：

形如y=xAa(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量幕為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為鬲函

數(shù)。

定義域和值域：

當(dāng)a為不同的數(shù)值時，幕函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定

義域為大于0的所有實數(shù);如果a為負數(shù)則x肯定不能為0不過這時函數(shù)的定義域還必須根［據(jù)

q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于。，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有

實數(shù);如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時，幕函

數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于。時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。在x小于0時，則

只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域。

性質(zhì)：

對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=o/q,q和p都是整數(shù),則x'p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q

是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是［0,+8)。當(dāng)指數(shù)n是負整數(shù)時，

設(shè)a=-kf則x=l/(x"),顯然xwO,函數(shù)的定義域是(-8,0)U(0,+8).因此可以看到x所受

到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為

負數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負數(shù)兩種可能，即對于x>0,則a可以是任意實數(shù)；

排除了為0這種可能，即對于x排除了為負數(shù)這種可能，即對于x為大于且等于0的所有

實數(shù),a就不能是負數(shù)。

高考數(shù)學(xué)的知識點歸納8

1.平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。

2.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半匾的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣

弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做亙徑。

3.頂點在圓心上的角兒做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫

做圓周角。

4.過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊

都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。

5.直線與圓有3種位置關(guān)系：無公共點為相離;有2個公共點為相交;圓與直線有公共點為相

切，這條直線叫做圓的切線，這個的公共點叫做切點。

6.兩圓之間有5種位置關(guān)系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含;有公

共點的,一圓在另一圓之外叫外切,在之內(nèi)叫內(nèi)切;有2個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距

離叫做圓心距。

7.在圓上，由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形。這個扇

形的半徑成為圓錐的母線。

圓--O半徑一r弧直徑一d

扇形弧長/圓錐母線一I周長一C面積一S三、有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理（27個）

1.點P與圓0的位置關(guān)系（設(shè)P是一點，則P0是點到圓心的距離）:

P在。。外，PO>r;P在OO上,PO=r;P在。0內(nèi),P0

2.圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心

是圓心.

3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。逆定理：平分弦（不是直

徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。

4.在同圓或等圓中，如果2個圓心角，2個圓周角，2條弧，2條弦中有一組量相等，那么

他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

5.一條弧所對的圓周隹等于它所對的圓心角的一半。

6.直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

7.不在同一直線上的3個點確定一個圓。

8.一個三角形有確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三

角形3個頂點距離相等;內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點，到三角形3邊距離相等。

9.直線AB與圓O的位置關(guān)系（設(shè)OP_LAB于P,則PO是AB到圓心的距離）:

AB與相離，PO>r;AB與相切，PO=r;AB與。O相交，PO

10.圓的切線垂直于過切點的直徑;經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個圓

的切線。

11.圓與圓的位置關(guān)系（設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,且R",圓心距為P）:

外離P>R+r;外切P=R+r相交R-r

1.圓的周長C=2nr=nd

2.圓的面積S=s=nr?

3.扇形弧長l=nnr/180

4.扇形面積S=nnr?/350=rl/2

5.圓錐側(cè)面積S=ml

高考數(shù)學(xué)的知識點歸納9

高三高考數(shù)學(xué)必考知識點

1.集合的有關(guān)概念。

1）集合（集）：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）.其中每一個對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何

中的點與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性（a?A和a?A,二者必居其一）、互異性（若a?A,b?A,則awb）

和無序性（｛a,b｝與｛b,a｝表示同一個集合）。

③集合具有兩方面的意義,即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須

符號條件

2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3）集合的分類：有限集，無限集，空集。

4）常用數(shù)集：N,Z,Q,R,N.

2.子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。

1）子