2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案含解析新人教A版必修5_第1頁
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文檔簡介

PAGE3.3.2簡潔的線性規(guī)劃問題內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解線性規(guī)劃中的基本概念.2.會用圖解法解決線性規(guī)劃問題.3.能利用線性規(guī)劃解決實際應(yīng)用問題.應(yīng)用直觀想象提升數(shù)學(xué)運算強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模授課提示:對應(yīng)學(xué)生用書第63頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點一線性規(guī)劃的基本概念eq\a\vs4\al(閱讀教材P87-91,思索并完成以下問題)若x,y滿意不等條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y≤2,x≥1,y≥0)),那么當(dāng)x,y取何值時,z=2x+y有最大值,有最小值.在上述問題中(1)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y≤2,x≥1,y≥0))的點(x,y)有多少個?提示:無窮多個,構(gòu)成一個三角形區(qū)域(包括邊界).(2)求z=x+y的最大值、最小值,相當(dāng)于求直線x+y-z=0的什么量?提示:相當(dāng)于直線x+y-z=0在y軸上的截距的最值.學(xué)問梳理名稱意義約束條件變量x,y滿意的一組條件線性約束條件關(guān)于x,y的二元一次不等式目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值且涉及變量x,y的解析式線性目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于x,y的一次解析式線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題可行解滿意線性約束條件的解可行域全部可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解學(xué)問點二用圖解法解決線性規(guī)劃問題eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)如何求出x,y的值,使z最大、最?。?1)若將直線2x+y-z=0看作平行直線,進(jìn)行移動.當(dāng)由下而上移動時,動直線y=-2x+z最先達(dá)可行域的哪個點?此時z最大還是最小?提示:(0,1),z最小為1.(2)最終離開可行域的哪個點?此時z最大還是最?。刻崾荆?1,1),z最大為3.學(xué)問梳理在確定約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下,用圖解法求最優(yōu)解的步驟為:(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域;(2)將目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b≠0)變形為y=-eq\f(a,b)x+eq\f(z,b),將求z的最值問題轉(zhuǎn)化為求直線y=-eq\f(a,b)x+eq\f(z,b)在y軸上的截距eq\f(z,b)的最值問題;(3)畫出直線y=-eq\f(a,b)x+eq\f(z,b)并平行移動,在平移過程中,一般最先或最終經(jīng)過的點為最優(yōu)解;(4)求出最優(yōu)解并代入目標(biāo)函數(shù),從而求出目標(biāo)函數(shù)的最值.[自我檢測]1.若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0,,y≥0,,x+y≤1,))則z=x-y的最大值為()A.-1 B.1C.2 D.-2答案:B2.z=x-y在eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-y+1≥0,,x-2y-1≤0,,x+y≤1))的線性約束條件下,取得最大值的可行解為()A.(0,1) B.(-1,-1)C.(1,0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2)))答案:C授課提示:對應(yīng)學(xué)生用書第64頁探究一求線性目標(biāo)函數(shù)的最值與范圍[教材P91練習(xí)1(2)]求z=3x+5y的最大值和最小值,使x、y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x+3y≤15,y≤x+1,x-5y≤3))解析:題中約束條件表示的可行域如上圖所示,易知直線z=3x+5y經(jīng)過點B時,z取得最大值,經(jīng)過點A時,z取得最小值.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=x+1,,x-5y=3))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=x+1,,5x+3y=15,))可得點A(-2,-1)和點B(1.5,2.5).所以zmax=17,zmin=-11.[例1](1)設(shè)x,y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+3y-3≤0,,2x-3y+3≥0,,y+3≥0,))則z=2x+y的最小值是()A.-15 B.-9C.1 D.9[解析]依據(jù)線性約束條件畫出可行域,如圖(陰影部分).作出直線l0:y=-2x.平移直線l0,當(dāng)經(jīng)過點A時,目標(biāo)函數(shù)取得最小值.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-3y+3=0,,y+3=0))得點A的坐標(biāo)為(-6,-3).∴zmin=2×(-6)+(-3)=-15.故選A.[答案]A(2)已知-1<x+y<4且2<x-y<3,求z=2x-3y的取值范圍.[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-1<x+y<4,,2<x-y<3))得平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示.由圖得當(dāng)z=2x-3y分別過點A,B時取最小值、最大值.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y=-1,,x-y=3,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=-2,))∴B(1,-2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y=4,,x-y=2,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3,,y=1,))∴A(3,1).∴2×3-3×1<z=2x-3y<2×1-3×(-2),即3<z<8,故z=2x-3y的取值范圍是(3,8).延長探究1.若本例(1)條件不變,求z=2x+y的最大值.解析:由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+3y-3=0,y=-3))得B點(6,-3)平移直線y=-2x+z過B點時,z最大.zmax=2×6-3=9.2.若本例(1)條件不變,求z=eq\f(1,3)x+y-1的最大值.解析:由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+3y-3=0,2x-3y+3=0))得C點(0,1).由z=eq\f(1,3)x+y-1得y=-eq\f(1,3)x+z+1知斜率k=-eq\f(1,3)>-eq\f(2,3)∴z=eq\f(1,3)x+y-1過C點時,z有最大值.zmax=0+1-1=0.3.若本例(1)條件不變,求|2x+y|的取值范圍.解析:設(shè)z=2x+y,當(dāng)z=0時,即直線y=-2x+z過(0,0)時,|z|min=0.當(dāng)y=-2x+z過A(-6,-3)時zmin=-15,|z|=15.當(dāng)y=-2x+z過B(6,-3)時zmax=9,∴|z|=9.綜上,|2x+y|的范圍為[0,15].方法技巧(1)解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是作出可行域,若可行域為封閉區(qū)域,則區(qū)域的頂點很可能就是目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的點,因此我們在解決這些問題時,可以依據(jù)這些點快速找到目標(biāo)函數(shù)取得最值時對應(yīng)的x,y的值,再代入目標(biāo)函數(shù)中即可求得最值.(2)求解線性規(guī)劃問題時,常常須要比較相關(guān)直線的斜率的大小,以確定它們的傾斜程度,從而找出最優(yōu)解,所以要熟識直線斜率與傾斜角之間的關(guān)系.(3)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在可行域的頂點或邊界處取得,當(dāng)表示線性目標(biāo)函數(shù)表示的直線與可行域的某邊重合時,其最優(yōu)解可能有多數(shù)個.探究二非線性目標(biāo)函數(shù)的最值范圍[教材P104第5題]已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y-3≤0))當(dāng)x、y取何值時,x2+y2取得最大值、最小值?并求其最值.探究:由題意可畫出不等式組所表示的可行域,如圖所示.因為x2+y2是點(x,y)到原點的距離的平方,所以當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-2y+4=0,,3x-y-3=0,))即x=2,y=3時,x2+y2最大,且最大值為13.又易知x2+y2的最小值為原點到直線BC的距離的平方,為eq\f(4,5).[例2]已知實數(shù)x,y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+y-2≥0,,x-2y+4≥0,,3x-y-3≤0.))試求z=eq\f(y+1,x+1)的最大值和最小值.[解析]作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分(包含邊界)所示,由于z=eq\f(y+1,x+1)=eq\f(y--1,x--1),故z的幾何意義是點(x,y)與點M(-1,-1)連線的斜率,因此eq\f(y+1,x+1)的最值是點(x,y)與點M(-1,-1)連線的斜率的最值,由圖可知,直線MB的斜率最大,直線MC的斜率最小,又∵B(0,2),C(1,0),∴zmax=kMB=3,zmin=kMC=eq\f(1,2).∴z的最大值為3,最小值為eq\f(1,2).方法技巧非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的求解方法(1)非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題,要充分理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,諸如兩點間的距離(或平方),點到直線的距離,過已知兩點的直線斜率等,充分利用數(shù)形結(jié)合學(xué)問解題,能起到事半功倍的效果.(2)常見代數(shù)式的幾何意義主要有:①eq\r(x2+y2)表示點(x,y)與原點(0,0)的距離;eq\r(x-a2+y-b2)表示點(x,y)與點(a,b)的距離.②eq\f(y,x)表示點(x,y)與原點(0,0)連線的斜率,eq\f(y-b,x-a)表示點(x,y)與點(a,b)連線的斜率.這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問題得以轉(zhuǎn)化,往往是解決問題的關(guān)鍵.延長探究4.若本例條件不變,把目標(biāo)函數(shù)改為z=eq\f(3y+1,2x+1),求z的取值范圍.解析:z=eq\f(3,2)×eq\f(y+\f(1,3),x+\f(1,2)),設(shè)k=eq\f(y+\f(1,3),x+\f(1,2))表示(x,y)與點M(-eq\f(1,2),-eq\f(1,3))斜率.kMB=eq\f(2+\f(1,3),\f(1,2))=eq\f(14,3),kMC=eq\f(\f(1,3),1+\f(1,2))=eq\f(2,9).∴zmax=eq\f(3,2)×eq\f(14,3)=7,zmin=eq\f(3,2)×eq\f(2,9)=eq\f(1,3).z的范圍為[eq\f(1,3),7].5.若本例條件不變,求z=eq\r(x+12+y+12)的取值范圍.解析:eq\r(x+12+y+12)表示點(x,y)與點M(-1,-1)的距離.∴zmax=|MA|=eq\r(2+12+3+12)=5.由于kMC=eq\f(1,2),故直線MC與邊界線2x+y-2=0垂直.故zmin=|MC|=eq\r(1+12+12)=eq\r(5).探究三已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)[例3]若實數(shù)x,y滿意不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-2≤0,,y-1≤0,,x+2y-a≥0,))目標(biāo)函數(shù)t=x-2y的最大值為2,則實數(shù)a的值是________.[解析]如圖,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,x+2y-a=0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y=\f(a-2,2),))代入x-2y=2中,解得a=2.[答案]2方法技巧含參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)問題的求解策略(1)約束條件中含有參數(shù):此時可行域是可變的,應(yīng)分狀況作出可行域,結(jié)合條件求出不同狀況下的參數(shù)值.(2)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù):此時目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線是可變的,假如斜率肯定,則對直線作平移變換;假如斜率可變,則要利用斜率與傾斜角間的大小關(guān)系分狀況確定最優(yōu)解的位置,從而求出參數(shù)的值.跟蹤探究1.已知x,y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y≥0,,x+y≤2,,y≥0.))若z=ax+y的最大值為4,則a=()A.3 B.2C.-2 D.-3解析:作出可行域如圖.①當(dāng)a<0時,明顯z=ax+y的最大值不為4;②當(dāng)a=0時,z=y(tǒng)在B(1,1)處取得最大值為1,不符合題意;③當(dāng)0<a<1時,z=ax+y在B(1,1)處取得最大值,zmax=a+1=4,故a=3,舍去;④當(dāng)a=1時,z=x+y的最大值為2;⑤當(dāng)a>1時,z=ax+y在A(2,0)處取得最大值,zmax=2a=4,得a=2,符合題意.綜上,a=2.答案:B探究四簡潔的線性規(guī)劃問題的實際應(yīng)用[教材P88-90的例5、例6、例7]方法步驟:(1)列出約束條件和目標(biāo)函數(shù).(2)利用線性規(guī)劃求最值、最優(yōu)解.[例4]某公司倉庫A存有貨物12噸,倉庫B存有貨物8噸,現(xiàn)按7噸、8噸和5噸把貨物分別調(diào)運給甲、乙、丙三個商店.從倉庫A運貨物到商店甲、乙、丙,每噸貨物的運費分別為8元、6元、9元;從倉庫B運貨到商店甲、乙、丙,每噸貨物的運費分別為3元、4元、5元.問應(yīng)如何支配調(diào)運方案,才能使得從兩個倉庫運貨物到三個商店的總運費最少?[解析]將已知數(shù)據(jù)列成下表:商店每噸運費倉庫甲乙丙A869B345設(shè)倉庫A運給甲、乙商店的貨物分別為x噸,y噸,則倉庫A運給丙商店的貨物為(12-x-y)噸,從而倉庫B運給甲、乙、丙商店的貨物分別為(7-x)噸、(8-y)噸、[5-(12-x-y)]=(x+y-7)噸,于是總運費為z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7)=x-2y+126.∴線性約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12-x-y≥0,,7-x≥0,,8-y≥0,,x+y-7≥0,,x≥0,y≥0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y≤12,,0≤x≤7,,0≤y≤8,,x+y≥7,))目標(biāo)函數(shù)為z=x-2y+126.作出上述不等式組表示的平面區(qū)域,其可行域如圖中陰影部分所示.作出直線l:x-2y=0,把直線l平行移動,明顯當(dāng)直線l移動到過點(0,8)時,在可行域內(nèi),z=x-2y+126取得zmin=0-2×8+126=110,即x=0,y=8時總運費最少.支配的調(diào)運方案如下:倉庫A運給甲、乙、丙商店的貨物分別為0噸、8噸、4噸,倉庫B運給甲、乙、丙商店的貨物分別為7噸、0噸、1噸,此時可使得從兩個倉庫運貨物到三個商店的總運費最少.方法技巧解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟(1)分析題意,設(shè)出未知量;(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù);(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解;(4)作答.跟蹤探究2.某學(xué)校用800元購買兩種教學(xué)用品,A種用品每件100元,B種用品每件160元,兩種用品至少各買一件,要使剩下的錢最少,A,B應(yīng)各買的件數(shù)為()A.2,4 B.3,3C.4,2 D.不確定解析:設(shè)購買A種用品x件,B種用品y件,剩下的錢為z元,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1,,y≥1,,x,y∈N*,,100x+160y≤800.))求z=800-100x-160y最小時的整數(shù)解(x,y),求得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3,,y=3.))故要使剩下的錢最少,A,B應(yīng)各買的件數(shù)為3,3,所以選B.答案:B授課提示:對應(yīng)學(xué)生用書第66頁[課后小結(jié)](1)畫圖對解決線性規(guī)劃問題至關(guān)重要,關(guān)鍵步驟基本上是在圖上完成的,所以作圖應(yīng)盡可能精確,圖中操作盡可能規(guī)范.(2)作不等式組表示的可行域時,留意標(biāo)出相應(yīng)的直線方程,還要給可行域的各頂點標(biāo)上字母,平移直線時,要留意線性目標(biāo)函數(shù)的斜率與可行域中邊界直線的斜率進(jìn)行比較,確定最優(yōu)解.(3)在解決與線性規(guī)劃相關(guān)的問題時,首先考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合方法可快速解決相關(guān)問題.[素養(yǎng)培優(yōu)]1.弄錯目標(biāo)函數(shù)與直線的截距間的關(guān)系致誤假如實數(shù)x,y滿意條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y+1≥0,,y+1≥0,,x+y+1≤0,))那么z=2x-y的最大值為________.易錯分析此題易錯在于沒有弄清直線y=2x-z在y軸上的截距與z的關(guān)系,誤以為在y軸上的截距最大時z取最大值,事實上,直線y=2x-z在y軸上的截距是-z,因此當(dāng)直線在y軸上的截距最大時,z反而取最小值.自我訂正畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖中的陰影部分).由z=2x-y可得y=2x-z,因此平移直線y=2x-z,當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的點B時,直線在y軸上的截距最小,則z取得最大值,而B

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