2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.3.1棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積和體積同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)二十二棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積(15分鐘35分)1.正方體的表面積為96,則正方體的體積是 ()A.48QUOTE B.64 C.16 D.96【解析】選B.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a則6a2=96,a=4,V正方體=a3=64.2.長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積分別為2,6和9,則長(zhǎng)方體的體積是 ()A.6QUOTE B.3QUOTE C.11 D.12【解析】選A.設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c,不妨令ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc)2=108,所以V=abc=6QUOTE.3.正四棱柱的底面積為P,過(guò)相對(duì)側(cè)棱截面的面積為Q,則它的體積是 ()A.QUOTEQ B.QUOTEQ C.QUOTEQ D.QUOTEQ【解析】選D.設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)、高分別為a、h,則P=a2,Q=QUOTEah.所以V=a2h=a·ah=QUOTE·QUOTE=QUOTEQ.4.已知一個(gè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為QUOTE,那么它的體積為 ()A.6QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.2【解析】選B.因?yàn)檎忮F的高h(yuǎn)=QUOTE=2,所以V=QUOTESh=QUOTE×6×QUOTE×2=QUOTE.5.已知正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為4cm,8cm,側(cè)棱長(zhǎng)為8cm,則它的側(cè)面積為.

【解析】作出正四棱臺(tái)的一個(gè)側(cè)面如圖,設(shè)E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),過(guò)D作DG⊥BC于點(diǎn)G.由題知AD=4cm,BC=8cm,CD=8cm,得DE=2cm,FC=4cm,則GC=2cm,在Rt△DGC中,DG=QUOTE=2QUOTE(cm),即斜高為2QUOTEcm,所以所求側(cè)面積為4×QUOTE×(4+8)×2QUOTE=48QUOTE(cm2).答案:48QUOTE6.如圖,棱錐的底面ABCD是一個(gè)矩形,AC與BD交于點(diǎn)M,VM是棱錐的高.若VM=4cm,AB=4cm,VC=5cm,求錐體的體積.【解析】因?yàn)閂M是棱錐的高,所以VM⊥MC.在Rt△VMC中,MC=QUOTE=QUOTE=3(cm),所以AC=2MC=6(cm).在Rt△ABC中,BC=QUOTE=QUOTE=2QUOTE(cm).S底=AB·BC=4×2QUOTE=8QUOTE(cm2),所以V錐=QUOTES底h=QUOTE×8QUOTE×4=QUOTE(cm3).所以棱錐的體積為QUOTEcm3.(20分鐘40分)一、單選題(每小題5分,共10分)1.(2024·淮安高一檢測(cè))已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,高為QUOTE,則該正四棱錐的全面積為 ()A.8 B.12 C.16 D.20【解析】選B.如圖,四棱錐P-ABCD為正四棱錐,高OP=QUOTE,底面邊長(zhǎng)AB=2.過(guò)O作OG⊥BC,垂足為G,連接PG,則斜高PG=QUOTE=2.所以正四棱錐的全面積是S=2×2+4×QUOTE×2×2=12.2.(2024·深圳高一檢測(cè))將一正方體截去四個(gè)角后,得到一個(gè)四面體,這個(gè)四面體的體積是原正方體體積的 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.將正方體ABCD-A′B′C′D′截去四個(gè)角后得到一個(gè)四面體BDA′C′,設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a,則VB-B′A′C′=VA′-ABD=VD-A′C′D′=VC′-BCD=QUOTE×QUOTE×a×a×a=QUOTE.所以四面體BDA′C′的體積:V=V正方體-4VB-B′A′C′=a3-QUOTE=QUOTE.所以這個(gè)四面體的體積是原正方體體積的QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)3.(2024·武漢高一檢測(cè))三棱柱的底面是正三角形,側(cè)棱垂直于底面,它的側(cè)面綻開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為6和4的矩形,則它的體積可能為 ()A.QUOTE B.4QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選AB.因?yàn)檎庵膫?cè)面綻開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為6和4的矩形,所以有以下兩種狀況,①6是下底面的周長(zhǎng),4是三棱柱的高,此時(shí),下底面的邊長(zhǎng)為2,面積為QUOTE×22=QUOTE,所以三棱柱的體積為4×QUOTE=4QUOTE.②4是下底面的周長(zhǎng),6是三棱柱的高,此時(shí),下底面的邊長(zhǎng)為QUOTE.面積為QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以三棱柱的體積為QUOTE×6=QUOTE.4.如圖,在透亮塑料制成的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1A.有水的部分始終呈棱臺(tái)狀B.水面四邊形EFGH的面積不變更C.有水的部分始終呈棱柱狀D.當(dāng)E∈AA1時(shí),AE+BF是定值【解析】選CD.從棱柱的特征平面AA1B1B平行于平面CC1D1D即可推斷A錯(cuò)誤,C正確;在B中,水面四邊形EFGH中的EF是可以變更的,EH是不變的,所以面積是變更的,故B不正確;在D中,當(dāng)E在棱AA1上時(shí),AE+BF是定值.水的體積是定值,高不變,所以底面面積不變,故D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)5.正四棱臺(tái)的高是12cm,兩底面邊長(zhǎng)相差10cm,全面積是512cm2,則上底面的邊長(zhǎng)是,下底面的邊長(zhǎng)是.

【解析】如圖所示,設(shè)正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為A1B1=acm,則AB=(a+10)cm,高OO1=12cm,所以斜高EE1=QUOTE=QUOTE=13cm.所以a2+(a+10)2+QUOTE×4×(2a+10)×13=512.解得a=2(負(fù)值舍去),所以下底面邊長(zhǎng)為a+10=12cm.答案:2cm12cm6.一個(gè)封閉的正三棱柱容器,高為3,內(nèi)裝水若干(如圖甲,底面處于水平狀態(tài)),將容器放倒(如圖乙,一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài)),這時(shí)水面與各棱交點(diǎn)E,F,F1,E1分別為所在棱的中點(diǎn),則圖甲中水面的高度為.

【解析】因?yàn)镋,F,F1,E1分別為所在棱的中點(diǎn),所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的體積V=S梯形EFCB×3=QUOTES△ABC×3=QUOTES△ABC.設(shè)甲中水面的高度為h,則S△ABC×h=QUOTES△ABC,解得h=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題7.(10分)已知正三棱錐S-ABC,一個(gè)正三棱柱的一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)在棱錐的三條側(cè)棱上,另一底面在正三棱錐的底面上,若正三棱錐的高為15cm,底面邊長(zhǎng)為12cm,內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為120cm2.(1)求正三棱柱的高.(2)求棱柱上底面截得的棱錐與原棱錐側(cè)面積之比.【解析】(1)如圖,設(shè)正三棱柱高為h,底面邊長(zhǎng)為x,則QUOTE