2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題1.1集合知識點(diǎn)講解含解析

專題1.1集合【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的詳細(xì)問題；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在詳細(xì)情境中了解全集與空集的含義；3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會求兩個(gè)簡潔集合的并集與交集；理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集；能運(yùn)用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算.4.培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象實(shí)力.【學(xué)問清單】1.元素與集合（1）集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．（2）集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A，記作；若b不屬于集合A，記作．（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．（4）常見數(shù)集及其符號表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*或N＋ZQR2.集合間的基本關(guān)系(1)子集：若對隨意x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A.(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A，則AB或BA.(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為CUA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(CUA)＝?，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.特殊提示:1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè).2.子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?CUA?CUB.4.CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).【典例剖析】高頻考點(diǎn)一集合的基本概念例1.(2024課標(biāo)II理2)已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為 （）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A方法二：依據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個(gè)整點(diǎn)，即為集合A的元素個(gè)數(shù)，故選A.【規(guī)律方法】與集合中的元素有關(guān)的問題的三種求解策略(1)探討一個(gè)用描述法表示的集合時(shí)，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件.(2)依據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)時(shí)要留意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿意互異性.(3)集合中的元素與方程有關(guān)時(shí)留意一次方程和一元二次方程的區(qū)分.【變式探究】(2024豫南九校聯(lián)考一)已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4個(gè)．故選D．【領(lǐng)悟技法】與集合元素有關(guān)問題的思路：（1）確定集合的元素是什么，即確定這個(gè)集合是數(shù)集還是點(diǎn)集．（2）看這些元素滿意什么限制條件．（3）依據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合元素的個(gè)數(shù)，但要留意檢驗(yàn)集合是否滿意元素的互異性高頻考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系例2.（2012·湖北省高考真題（文））已知集合，則滿意條件的集合的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】求解一元二次方程，得，易知.因?yàn)椋砸罁?jù)子集的定義，集合必需含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原題即求集合的子集個(gè)數(shù)，即有個(gè)，故選D.【方法技巧】(1)推斷兩集合之間的關(guān)系的方法：當(dāng)兩集合不含參數(shù)時(shí)，可干脆利用數(shù)軸、圖示法進(jìn)行推斷；當(dāng)集合中含有參數(shù)時(shí)，須要對滿意條件的參數(shù)進(jìn)行分類探討或采納列舉法．(2)要確定非空集合A的子集的個(gè)數(shù)，需先確定集合A中的元素的個(gè)數(shù)，再求解．不要忽視任何非空集合是它自身的子集．(3)依據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值(或取值范圍)的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿意的關(guān)系，常用數(shù)軸、圖示法來解決這類問題．【易錯(cuò)警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必需優(yōu)先考慮空集的狀況，否則會造成漏解．【變式探究】1.設(shè)集合，對隨意實(shí)數(shù)x恒成立，且，則下列關(guān)系中成立的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】，或．∴．∴．∴．2.（2024·銀川高級中學(xué)高三月考（理））已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，，故選B.高頻考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算例3.（2024·北京高考真題（文））已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=（）A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）【答案】C【解析】∵，∴，故選C.例4．（2024·全國高考真題（理））已知集合，則=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，則．故選C．例5.（2024·山西省高三其他（理））已知集合，，則()A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榛?，，所以，，，故選：A【規(guī)律方法】如何解集合運(yùn)算問題(1)看元素構(gòu)成:集合是由元素組成的，從探討集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的關(guān)鍵.(2)對集合化簡:有些集合是可以化簡的，先化簡再探討其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡潔明白、易于解決.(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合:常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖.(4)創(chuàng)新性問題:以集合為依托，對集合的定義、運(yùn)算、性質(zhì)進(jìn)行創(chuàng)新考查，但最終化為原來的集合學(xué)問和相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)問來解決.【變式探究】1．（2024·福建省高三其他（文））設(shè)全集集合則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】故選：D.2.（2024·河南省高三月考（文））已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，則A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}【答案】D【解析】∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0＜x≤2}，∴A∩B＝{1，2}．故選：D．3．（2024·浙江省高三二模）已知集合集合則（）A．{0} B．{3} C．{0，2，3} D．【答案】B【解析】因?yàn)榧?，集合，所以，故選：B高頻考點(diǎn)四：利用集合的運(yùn)算求參數(shù)例6.（2024·江蘇省高考真題）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為________【答案】1【解析】由題意，明顯，所以，此時(shí)，滿意題意，故答案為1．例7.已知集合，，且，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，所以，又因?yàn)锽≠，所以有QUOTE解得，故選D．點(diǎn)睛:（1）認(rèn)清元素的屬性．解決集合問題時(shí)，認(rèn)清集合中元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個(gè)先決條件．（2）留意元素的互異性．在解決含參數(shù)的集合問題時(shí)，要留意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會因?yàn)椴粷M意“互異性”而導(dǎo)致錯(cuò)誤．（3）防范空集．在解決有關(guān)等集合問題時(shí)，往往簡潔忽視空集的狀況，肯定要先考慮時(shí)是否成立，以防漏解．【方法規(guī)律】利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法①與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要留意端點(diǎn)值能否取到；②若集合能一一列舉，則一般先用視察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解．【易錯(cuò)警示】在求出參數(shù)后，留意結(jié)果的驗(yàn)證(滿意互異性)．【變式探究】（2024·上海高三三模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【解析】集合，，若，則、有公共元素，所以故答案為：高頻考點(diǎn)五：集合的新定義問題例8.（2015·湖北高考真題（理））已知集合，，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．77B．49C．45D．30【答案】C【解析】因?yàn)榧?，所以集合中?個(gè)元素（即9個(gè)點(diǎn)），即圖中圓中的整點(diǎn)，集合中有25個(gè)元素（即25個(gè)點(diǎn)）：即圖中正方形中的整點(diǎn)，集合的元素可看作正方形中的整點(diǎn)（除去四個(gè)頂點(diǎn)），即個(gè)．【方法技巧】解決集合新定義問題的方法(1)正確理解新定義：耐性閱讀，分析含義，精確提取信息是解決這類問題的前提，剝?nèi)バ露x、新法則、新運(yùn)算的外表，利用所學(xué)的集合性質(zhì)等學(xué)問將生疏的集合轉(zhuǎn)化為我們熟識的集合，是解決這類問題的突破口.(2)合理利用集合性質(zhì)：運(yùn)用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運(yùn)算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵．在解題時(shí)要擅長從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)覺可以運(yùn)用集合性質(zhì)的一些因素，并合理利用.(3)對于選擇題，可結(jié)合選項(xiàng)，通過驗(yàn)證、解除、對比、特值法等進(jìn)行求解或解除錯(cuò)誤選項(xiàng)，當(dāng)不滿意新定義的要求時(shí)，只需通過舉反例來說明，以達(dá)到快速推斷結(jié)果的目的.【變式探究】1．（2024·新余市第六中學(xué)高一期中）設(shè)集合是非空集合，定義且，已知，，則=__________.【答案】或【解析】如圖所示：，因?yàn)?，所?故答案為：.2.（遼寧阜新試驗(yàn)中學(xué)2024-2025年模擬）已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若對于隨意實(shí)數(shù)對(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，則稱集合M是“垂直對點(diǎn)集”．給出下列四個(gè)集合：①M(fèi)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)))))；②M＝{(x，y)|y＝log2x}；③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；④M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．其中是“垂直對點(diǎn)集”的序號是()A．①④ B．②③C．③④ D．②④【答案】C【解析】記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.對于①，對隨意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.對于②，當(dāng)A為點(diǎn)(1，0)時(shí)，不存在B∈M滿意題意．對于③④，對隨意A∈M，過原點(diǎn)O可作直線OB⊥OA，它們都與函數(shù)y＝ex－2及y＝sinx＋1的圖象相交，即③④滿意題意，故選C.3.若集合A具有以下性質(zhì)：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A，y∈A，則x－y∈A，且x≠0時(shí)，eq\f(1,x)∈A.則稱集合A是“好集”．下列命題正確的個(gè)數(shù)是()(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理數(shù)集Q是“好集”；(3)設(shè)集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，則x＋y∈A.A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】(1)集合B不是“好集”，假設(shè)集合B是“好集”，因?yàn)椋?∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，這與－2?B沖突．(2)有理數(shù)集Q是“好集”，因?yàn)?∈Q,1∈Q，對隨意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0時(shí)，eq