專題11集合2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）（講）

專題1.1集合新課程考試要求1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義；3.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；能使用韋恩(Venn)圖表達集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理（例9）、數(shù)學(xué)運算（例2、例7）、直觀想象能力（例1）考向預(yù)測1.集合的基本概念2.集合間的基本關(guān)系3.集合的基本運算4.集合中的新定義問題【知識清單】1.元素與集合（1）集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．（2）集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A，記作；若b不屬于集合A，記作．（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．（4）五個特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集．2.集合間的基本關(guān)系(1)子集：若對任意x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A.(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一個元素不屬于集合A，則AB或BA.(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為CUA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}求集合A的補集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實是給定的條件.從全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素構(gòu)成的集合即為CUA.4.集合的運算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(CUA)＝?，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.特別提醒:1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個.2.子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?CUA?CUB.4.CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).【考點分類剖析】考點一集合的基本概念例1.(2018課標II理2)已知集合，則中元素的個數(shù)為 （）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A方法二：根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個整點，即為集合A的元素個數(shù)，故選A.【規(guī)律方法】與集合中的元素有關(guān)的問題的三種求解策略(1)研究一個用描述法表示的集合時，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件.(2)根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)時要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.(3)集合中的元素與方程有關(guān)時注意一次方程和一元二次方程的區(qū)別.【變式探究】（2020·巴楚縣第一中學(xué)高三二模）已知集合，，則集合中元素的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】根據(jù)集合列舉求解.【詳解】因為集合，，所以集合，故選：C【領(lǐng)悟技法】與集合元素有關(guān)問題的思路：（1）確定集合的元素是什么，即確定這個集合是數(shù)集還是點集．（2）看這些元素滿足什么限制條件．（3）根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性考點二：集合間的基本關(guān)系例2.（2012·湖北省高考真題（文））已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】求解一元二次方程，得，易知.因為，所以根據(jù)子集的定義，集合必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原題即求集合的子集個數(shù)，即有個，故選D.【方法技巧】(1)判斷兩集合之間的關(guān)系的方法：當兩集合不含參數(shù)時，可直接利用數(shù)軸、圖示法進行判斷；當集合中含有參數(shù)時，需要對滿足條件的參數(shù)進行分類討論或采用列舉法．(2)要確定非空集合A的子集的個數(shù)，需先確定集合A中的元素的個數(shù)，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值(或取值范圍)的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、圖示法來解決這類問題．【易錯警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解．【變式探究】1.（2021·赤峰二中高三一模（文））已知集合，且，則滿足條件的集合的個數(shù)（）A．8 B．9 C．15 D．16【答案】A【解析】先求得集合，根據(jù)，結(jié)合集合子集個數(shù)的計算，即可求解.【詳解】由不等式，解得，即又由，可得滿足條件的集合的個數(shù)為.故選：A.2．（2020·全國高一課時練習(xí)）若集合A={1，3，x}，B={x2，1}，且B?A，則滿足條件的實數(shù)x的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根據(jù)集合的包含關(guān)系可得x2=3或x2=x，解方程由集合的互異性即可求解.【詳解】解析由B?A，知x2=3或x2=x，解得x=±，或x=0，或x=1，當x=1時，集合A，B都不滿足元素的互異性，故x=1舍去.故選：C考點三：集合的基本運算例3.（2019·北京高考真題（文））已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=（）A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）【答案】C【解析】∵，∴，故選C.例4．（2020·全國高考真題（文））已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，則A∩B=（）A． B．{–3，–2，2，3）C．{–2，0，2} D．{–2，2}【答案】D【解析】解絕對值不等式化簡集合的表示，再根據(jù)集合交集的定義進行求解即可.【詳解】因為，或，所以.故選：D.例5.（2020·全國高考真題（理））已知集合U={?2，?1，0，1，2，3}，A={?1，0，1}，B={1，2}，則（）A．{?2，3} B．{?2，2，3} C．{?2，?1，0，3} D．{?2，?1，0，2，3}【答案】A【解析】首先進行并集運算，然后計算補集即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.例6.（2020·全國高考真題（理））已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個數(shù)為4.故選：C.【規(guī)律方法】如何解集合運算問題(1)看元素構(gòu)成:集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的關(guān)鍵.(2)對集合化簡:有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決.(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合:常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖.(4)創(chuàng)新性問題:以集合為依托，對集合的定義、運算、性質(zhì)進行創(chuàng)新考查，但最終化為原來的集合知識和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識來解決.【變式探究】1．（2020·福建省高三其他（文））設(shè)全集集合則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】故選：D.2.（2020·河南省高三月考（文））已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，則A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}【答案】D【解析】∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0＜x≤2}，∴A∩B＝{1，2}．故選：D．3．（2020·浙江省高三二模）已知集合集合則（）A．{0} B．{3} C．{0，2，3} D．【答案】B【解析】因為集合，集合，所以，故選：B4.（2021·湖南高三月考）已知集合，，則中的元素個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】化簡集合，根據(jù)補集和交集的概念求出，可得結(jié)果.【詳解】或，，所以，所以中的元素個數(shù)為.故選：C考點四：利用集合的運算求參數(shù)例7.（2020·全國高考真題（理））設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【解析】由題意首先求得集合A,B，然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于a的方程，求解方程即可確定實數(shù)a的值.【詳解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故選：B.例8.已知集合，，且，若，則實數(shù)的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，所以，又因為B≠，所以有QUOTE解得，故選D．點睛:（1）認清元素的屬性．解決集合問題時，認清集合中元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件．（2）注意元素的互異性．在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致錯誤．（3）防范空集．在解決有關(guān)等集合問題時，往往容易忽略空集的情況，一定要先考慮時是否成立，以防漏解．【方法規(guī)律】利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法①與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到；②若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解．【易錯警示】在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗證(滿足互異性)．【變式探究】1.（2017·江蘇省高考真題）已知集合，，若，則實數(shù)的值為________【答案】1【解析】由題意，顯然，所以，此時，滿足題意，故答案為1．2.（2020·上海高三三模）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是________【答案】【解析】集合，，若，則、有公共元素，所以故答案為：考點五：集合的新定義問題例9.（2015·湖北高考真題（理））已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,????x,y∈Z}，A．77B．49C．45D．30【答案】C【解析】因為集合A={(x,y)|x2+y2≤1,????x,y∈Z}，所以集合中有9個元素（即9個點），即圖中圓中的整點，集合B={(x,y)|??|x|≤2?【方法技巧】解決集合新定義問題的方法(1)正確理解新定義：耐心閱讀，分析含義，準確提取信息是解決這類問題的前提，剝?nèi)バ露x、新法則、新運算的外表，利用所學(xué)的集合性質(zhì)等知識將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們熟悉的集合，是解決這類問題的突破口.(2)合理利用集合性質(zhì)：運用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵．在解題時要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，并合理利用.(3)對于選擇題，可結(jié)合選項，通過驗證、排除、對比、特值法等進行求解或排除錯誤選項，當不滿足新定義的要求時，只需通過舉反例來說明，以達到快速判斷結(jié)果