難點(diǎn)01總集篇十三種簡便計(jì)算巧算法-2024年小升初數(shù)學(xué)典型例題

休對故人思故國，且將新火試新茶。詩酒趁年華。休對故人思故國，且將新火試新茶。詩酒趁年華。—北宋·蘇軾《望江南·超然臺作》2024年小升初數(shù)學(xué)典型例題系列難點(diǎn)01：總集篇·十三種簡便計(jì)算巧算法【十三大考點(diǎn)】【第一篇】專題解讀篇本專題是難點(diǎn)01：總集篇·十三種簡便計(jì)算巧算法。本部分內(nèi)容包括十三種簡便計(jì)算巧算法，一共三十多種題型，考題大多數(shù)以思維拓展題型為主，難度極大，內(nèi)容較多，建議作為根據(jù)學(xué)生實(shí)際水平和掌握情況，選擇性講解考點(diǎn)考題，一共劃分為十三個考點(diǎn)，歡迎使用?！镜诙磕夸泴?dǎo)航篇TOC\o"11"\h\u【考點(diǎn)一】巧算法其一：變形約分法。 4【典型例題1】先拆解，再約分。 5【典型例題2】先提取公因數(shù)，再約分。 5【典型例題3】大變小思想。 5【考點(diǎn)二】巧算法其二：平方差公式。 8【典型例題1】平方差公式基礎(chǔ)運(yùn)用。 8【典型例題2】平方差公式與分組重解約分。 8【考點(diǎn)三】巧算法其三：平方和公式與立方和公式。＊ 10【考點(diǎn)四】巧算法其四：連續(xù)兩數(shù)乘積之和與連續(xù)三數(shù)乘積之和（整數(shù)裂項(xiàng)）。＊ 11【典型例題1】連續(xù)兩數(shù)乘積之和。 12【典型例題2】連續(xù)三數(shù)乘積之和。 12【考點(diǎn)五】巧算法其五：高斯公式與等差數(shù)列。 14【典型例題1】求項(xiàng)數(shù)。 15【典型例題2】求和。 15【典型例題3】求末項(xiàng)。 15【典型例題4】拓展其一。 15【典型例題5】拓展其二。 16【考點(diǎn)六】巧算法其六：通項(xiàng)公式法。＊ 19【典型例題1】通項(xiàng)公式其一。 19【典型例題2】通項(xiàng)公式其二。 20【考點(diǎn)七】巧算法其七：錯位相減法與等比數(shù)列。 21【典型例題1】其一。 21【典型例題2】其二。 22【典型例題3】其三。 23【考點(diǎn)八】巧算法其八：分組法。 23【典型例題1】其一。 24【典型例題2】其二。 24【考點(diǎn)九】巧算法其九：換元法（字母代換法）。 26【考點(diǎn)十】巧算法其十：裂項(xiàng)法（分?jǐn)?shù)裂和與分?jǐn)?shù)裂差）。 28【典型例題1】其一。 29【典型例題2】其二。 31【典型例題3】其三。 32【典型例題4】其四。 33【典型例題5】其五。 34【典型例題6】其六。 35【考點(diǎn)十一】巧算法其十一：連鎖約分。 36【考點(diǎn)十二】巧算法其十二：估算法。 37【考點(diǎn)十三】巧算法其十三：繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算。 40【第三篇】知識總覽篇【第四篇】典型例題篇【考點(diǎn)一】巧算法其一：變形約分法?！痉椒c(diǎn)撥】1.常見整數(shù)的拆解：(1)AAAAA=A×11111；(2)A0A0A0A=A×1010101；(3)ababababab=ab×101010101；(4)abcabcabcabc=abc×1001001001；2.“大變小”思想：即在變形時盡量將較大數(shù)變?yōu)檩^小數(shù)。3.變形約分法主要格式與步驟：（1）通過拆數(shù)、湊數(shù)改變形式；（2）有公因數(shù)時提取公因數(shù)；（3）整套或部分約分；（4）求出結(jié)果?！镜湫屠}1】先拆解，再約分。簡便計(jì)算?！?11111”，即先變形再約分。==【典型例題2】先提取公因數(shù)，再約分。簡便計(jì)算。解析：先對分子、分母變形，再提取公因數(shù)之后，再進(jìn)行約分求解。===【典型例題3】大變小思想。簡便計(jì)算。解析：此題關(guān)鍵在于“2014×2015=（2013+1）×2015。===1【對應(yīng)練習(xí)1】簡便計(jì)算。

解析：，將拆成，拆成，拆成，小括號里3個分?jǐn)?shù)都可以約分成，再將除法改寫成乘法，利用乘法分配律進(jìn)行簡算。＝（＋＋）÷＝（＋＋）×＝×＋×＋×＝1＋1＋1＝3【對應(yīng)練習(xí)2】簡便計(jì)算。

【答案】；1【分析】（1）先把帶分?jǐn)?shù)換成假分?jǐn)?shù)，再根據(jù)乘法分配律計(jì)算，最后把除法換成乘法計(jì)算即可。（2）先把1987看成（1988－1），再根據(jù)乘法分配律計(jì)算即可?！驹斀狻浚?）＝＝＝＝＝（2）＝＝＝＝1【對應(yīng)練習(xí)3】簡便計(jì)算。

【答案】1；【分析】第一個小題需要仔細(xì)觀察，大膽猜想，分子分母是比較復(fù)雜的式子，把其中一個向另一個轉(zhuǎn)化；第二小題分子、分母是更加復(fù)雜的式子，但仔細(xì)觀察卻有規(guī)律，分子中（1×4×7）看做整體，后面兩小段就可以分別寫成它的2倍、3倍；分母也是相同的思路。整理完之后，再進(jìn)一步尋求簡算方法?！驹斀狻浚?/p>

＝＝＝＝＝【考點(diǎn)二】巧算法其二：平方差公式。【方法點(diǎn)撥】平方差公式：?！镜湫屠}1】平方差公式基礎(chǔ)運(yùn)用。已知平方差公式：a2－b2＝（a＋b）×（a－b），計(jì)算：（1）852－152；（2）（89＋1）×（89－1）?！敬鸢浮浚?）7000（2）7920【分析】（1）852－152，計(jì)算時，利用平方差公式，把原式轉(zhuǎn)化為：（85＋15）×（85－15），即可簡算；（2）根據(jù)“a2－b2＝（a＋b）×（a－b）”可知，（89＋1）×（89－1）＝892＋12＝89×89＋1×1，即可簡算?！驹斀狻浚?）852－152＝（85＋15）×（85－15）＝100×70＝7000（2）（89＋1）×（89－1）＝892－12＝89×89－1×1＝7921－1＝7920【典型例題2】平方差公式與分組重解約分。簡便計(jì)算。解析：利用平方差公式首先對分子進(jìn)行分組重建，再進(jìn)行整體約分。===1【對應(yīng)練習(xí)1】簡便計(jì)算。992﹣972+952﹣932+…．+32﹣12．【答案】5000【詳解】首先數(shù)字分組，從第一個數(shù)起兩兩為一組，一正一負(fù)，進(jìn)一步利用平方差公式分解，化為2（99+97+95+…+3+1），進(jìn)一步計(jì)算求得結(jié)果即可．解：992﹣972+952﹣932+…+32﹣12

，=（992﹣972）+（952﹣932）+…+（32﹣12），=（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+…+（3+1）（3﹣1），=2（99+97+95+…+3+1），=5000．【對應(yīng)練習(xí)2】簡便計(jì)算。解析：分母可通過高斯求和公式進(jìn)行巧算，分子可根據(jù)公式a2－b2＝（a－b）（a＋b）進(jìn)行巧算。（5）【對應(yīng)練習(xí)3】簡便計(jì)算?！敬鸢浮俊痉治觥坑^察分子和分母，會發(fā)現(xiàn)它們有各自的規(guī)律可循．分母的數(shù)列排列的規(guī)律是從1加到10再加回到1，計(jì)算時只要計(jì)算(1+2+…+10)×2再減10，分子的規(guī)律注意是兩個和相減，可以根據(jù)減法性質(zhì)將括號打開進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：分母=（1+2+3+…+10）×210=100分子=2==（21）（2+1）+（43）（4+3）+…+（10099）（100+99）=3+7+11+…+199=（3+199）×50÷2=101×50所以，原式==【點(diǎn)睛】在繁分?jǐn)?shù)計(jì)算時，不要一味“傻算”、“硬算”，可以先找規(guī)律，再運(yùn)用學(xué)過的各種運(yùn)算技巧進(jìn)行計(jì)算．【考點(diǎn)三】巧算法其三：平方和公式與立方和公式。＊【方法點(diǎn)撥】1.平方和公式：；2.立方和公式：?！镜湫屠}】若已知12+22+32+42+…+252=5525，試求22+42+62+82+…+502之值.【答案】22100【詳解】22＋42+62+82+…+502=22×12+22×22+22×32＋…+22×252=4×（l2+22+32＋…＋252）=4×5525=22100.【對應(yīng)練習(xí)】計(jì)算；512+522+532+…+992+1002=．【答案】295425

【分析】首先根據(jù)12+22+32+…+（n﹣1）2+n2=，分別求出前100個數(shù)、前50個數(shù)的平方和各是多少；然后用前100個數(shù)的平方和減去前50個數(shù)的平方和，求出算式512+522+532+…+992+1002的值是多少即可．【詳解】512+522+532+…+992+1002=﹣=338350﹣42925=295425故答案為295425．【考點(diǎn)四】巧算法其四：連續(xù)兩數(shù)乘積之和與連續(xù)三數(shù)乘積之和（整數(shù)裂項(xiàng)）。＊【方法點(diǎn)撥】1.連續(xù)兩數(shù)乘積之和：1×2+2×3+3×4+?+n×（n+1）=n×（n+1）×（n+2）。2.連續(xù)三數(shù)乘積之和：1×2×3+2×3×4+3×4×5+?+n×（n+1）×（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）?！镜湫屠}1】連續(xù)兩數(shù)乘積之和。簡便計(jì)算。1×2＋2×3＋……＋19×20【答案】2660【分析】觀察算式可知，乘數(shù)是連續(xù)的自然數(shù)，可以利用裂項(xiàng)方法直接解答。1×2＝（1×2×3－0×1×2）÷32×3＝（2×3×4－1×2×3）÷3……依次類推，將算式中的每個乘法都寫出來，然后計(jì)算即可?！驹斀狻?×2＋2×3＋……＋19×20＝（1×2×3－0×1×2）÷3＋（2×3×4－1×2×3）÷3＋……＋（19×20×21－18×19×20）÷3＝[（1×2×3－0×1×2）＋（2×3×4－1×2×3）＋……＋（19×20×21－18×19×20）]÷3＝[1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3＋……＋19×20×21－18×19×20]÷3＝[19×20×21－0×1×2]÷3＝19×20×21÷3＝2660【典型例題2】連續(xù)三數(shù)乘積之和。簡便計(jì)算。1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋18×19×20【答案】35910【分析】每個乘法算式都有三個乘數(shù)，且為連續(xù)的自然數(shù)，利用整數(shù)裂項(xiàng)解答即可?！驹斀狻?×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋18×19×20＝（1×2×3×4－0×1×2×3）÷4＋（2×3×4×5－1×2×3×4）÷4＋……＋（18×19×20×21－17×18×19×20）÷4＝[（1×2×3×4－0×1×2×3）＋（2×3×4×5－1×2×3×4）＋……＋（18×19×20×21－17×18×19×20）]÷4＝[18×19×20×21－0×1×2×3]÷4＝18×19×20×21÷4＝35910【對應(yīng)練習(xí)1】簡便計(jì)算。解析：因?yàn)閚（n＋1）（n＋2）＝n（n＋1）（n＋2）（n＋3）－（n－1）n（n＋1）（n＋2），所以原式＝×1×2×3×4＋（×2×3×4×5－×1×2×3×4）＋…＋（×9×10×11×12－×8×9×10×11）＝×9×10×11×12＝2970。＝×1×2×3×4＋（×2×3×4×5－×1×2×3×4）＋…＋（×9×10×11×12－×8×9×10×11）＝×9×10×11×12＝2970【對應(yīng)練習(xí)2】簡便計(jì)算。7×8＋8×9＋……＋49×50【答案】41538【分析】觀察算式可知，乘數(shù)是連續(xù)的自然數(shù)，可以利用裂項(xiàng)方法直接解答。7×8＝（7×8×9－6×7×8）÷38×9＝（8×9×10－7×8×9）÷3……依次類推，將算式中的每個乘法都寫出來，然后計(jì)算即可?！驹斀狻?×8＋8×9＋……＋49×50＝（7×8×9－6×7×8）÷3＋（8×9×10－7×8×9）÷3＋……＋（49×50×51－48×49×50）÷3＝[（7×8×9－6×7×8）＋（8×9×10－7×8×9）＋……＋（49×50×51－48×49×50）]÷3＝[7×8×9－6×7×8＋8×9×10－7×8×9＋……＋49×50×51－48×49×50]÷3＝[49×50×51－6×7×8]÷3＝[124950－336]÷3＝124614÷3＝41538【對應(yīng)練習(xí)3】簡便計(jì)算。11×12＋12×13＋……＋99×100【答案】332860【分析】觀察算式可知，乘數(shù)是連續(xù)的自然數(shù)，可以利用裂項(xiàng)方法直接解答。11×12＝（11×12×13－10×11×12）÷312×13＝（12×13×14－11×12×13）÷3……依次類推，將算式中的每個乘法都寫出來，然后計(jì)算即可。【詳解】11×12＋12×13＋……＋99×100＝（11×12×13－10×11×12）÷3＋（12×13×14－11×12×13）÷3＋……＋（99×100×101－98×99×100）÷3＝[（11×12×13－10×11×12）＋（12×13×14－11×12×13）＋……＋（99×100×101－98×99×100）]÷3＝[11×12×13－10×11×12＋12×13×14－11×12×13＋……＋99×100×101－98×99×100]÷3＝[99×100×101－10×11×12]÷3＝[999900－1320]÷3＝998580÷3＝332860【考點(diǎn)五】巧算法其五：高斯公式與等差數(shù)列?！痉椒c(diǎn)撥】高斯公式：1.求和公式：總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2；2.末項(xiàng)公式：末項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)1）×公差；3.項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)首項(xiàng)）÷公差+1?！镜湫屠}1】求項(xiàng)數(shù)。有一列數(shù)，2、5、8、11、14、…則104在這列數(shù)中是第（）個數(shù)。A．33 B．32 C．34 D．35解析：D（104﹣2）÷3+1=102÷3+1=35，所以104在這列數(shù)中是第35個數(shù)?！镜湫屠}2】求和。計(jì)算。3＋5＋7＋9＋……57解析：項(xiàng)數(shù)：（57－3）÷（5－3）＋1＝54÷2＋1＝28原式＝（3＋57）×28÷2＝60×28÷2＝840【典型例題3】求末項(xiàng)。有一串?dāng)?shù)1、7、13、19、25、…這列數(shù)的第1000個數(shù)是________

。解析：這個數(shù)列是首項(xiàng)是1，公差是6的等差數(shù)列，第1000項(xiàng)是：1+（1000﹣1）×6=1+999×6=1+5994=5995?！镜湫屠}4】拓展其一。簡便計(jì)算?！敬鸢浮俊痉治觥坑^察分?jǐn)?shù)的分子和分母發(fā)現(xiàn)它們是連續(xù)的奇數(shù)，相鄰的兩個數(shù)相差2，那么分子里數(shù)字的個數(shù)有（2013－1）÷2＋1＝1007個數(shù)，分子的數(shù)字和是（2013＋1）×1007÷2＝2014×1007÷2，分母里的數(shù)字的個數(shù)有（4027－2015）÷2＋1＝1007個數(shù)，分母的數(shù)字和是（4027＋2015）×1007÷2＝6042×1007÷2，最后進(jìn)行約分?！驹斀狻浚剑剑焦蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】此題考查的是一個特殊的計(jì)算，注意計(jì)算是有規(guī)律可循的?！镜湫屠}5】拓展其二。簡便計(jì)算?！敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)高斯求和公式變形后，通過分子分母約分即可簡算．【詳解】解：【對應(yīng)練習(xí)1】計(jì)算：1+2+3++2012解析：原式=（1+2012）×2012÷2=2025078【對應(yīng)練習(xí)2】一個等差數(shù)列的首項(xiàng)為11，第10項(xiàng)為200，這個等差數(shù)列的公差等于多少？第19項(xiàng)等于多少？解析：（1）（200﹣11）÷（10﹣1）=189÷9=21即這個等差數(shù)列的公差等于21；（2）11+（19﹣1）×21=11+18×21=389即第19項(xiàng)等于389?！緦?yīng)練習(xí)3】甲乙兩人都住在同一胡同的同一側(cè)，這一側(cè)的門牌號碼是連續(xù)的奇數(shù)．甲住21號，乙住193號．甲、乙兩人的住處相隔著多少個門？解析：已知a1＝21，an＝193，d＝2由n＝（an－a1）÷d＋1＝（193－21）÷2＋1＝87因求甲、乙住處相隔多少個門，所以得87－2＝85【對應(yīng)練習(xí)4】計(jì)算：?！敬鸢浮俊痉治觥孔屑?xì)審題，我們會發(fā)現(xiàn)，題干中分母的規(guī)律：；同時很容易發(fā)現(xiàn)是一個等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式我們可得，進(jìn)而可得：?！驹斀狻吭剑剑剑剑健军c(diǎn)睛】這道題目稍微有點(diǎn)難度，需要先歸納分母的通項(xiàng)，然后利用裂項(xiàng)進(jìn)行解題，所以同學(xué)們應(yīng)該在記住公式的同時做適當(dāng)?shù)木C合應(yīng)用。【對應(yīng)練習(xí)5】簡便計(jì)算。解析：同分母相加，分母不變，分子相加。分子相加過后發(fā)現(xiàn)是連續(xù)的自然數(shù)相加，是一組等差數(shù)列，等差數(shù)列的求和為（第一個數(shù)＋最后一個數(shù)）×項(xiàng)數(shù)÷2。＝＝＝＝＝＝【對應(yīng)練習(xí)6】簡便計(jì)算。解析：觀察式子發(fā)現(xiàn)，越往后就是一組等差數(shù)列，等差數(shù)列的求和方式為（第一個數(shù)＋最后一個數(shù)）×項(xiàng)數(shù)÷2。將式子進(jìn)行整理后發(fā)現(xiàn)規(guī)律。、、＝＝＝【考點(diǎn)六】巧算法其六：通項(xiàng)公式法。＊【方法點(diǎn)撥】通項(xiàng)公式其一：；通項(xiàng)公式其二：。【典型例題1】通項(xiàng)公式其一。簡便計(jì)算。解析：根據(jù)，把算式轉(zhuǎn)化為，再進(jìn)行計(jì)算；＝＝＝＝【對應(yīng)練習(xí)】簡便計(jì)算?！敬鸢浮俊痉治觥糠帜甘莾蓚€連續(xù)自然數(shù)的乘積，分子是兩個連續(xù)自然數(shù)的平方和。把分?jǐn)?shù)進(jìn)行拆分與裂項(xiàng)。，＝2＋，＝2＋……，。＝1－，＝－，＝－……＝－，＝－。【詳解】＝2＋＋2＋＋2＋＋……＋2＋＋2＋＝2×19＋（＋＋＋……＋＋）＝38＋（1－＋－＋－＋……－＋－）＝38＋（1－）＝38＋＝【典型例題2】通項(xiàng)公式其二。簡便計(jì)算。解析：根據(jù)及裂項(xiàng)消去法代入化簡【對應(yīng)練習(xí)】計(jì)算：．【答案】【詳解】式子中每一項(xiàng)的分子與分母初看起來關(guān)系不大，但是如果將其中的分母根據(jù)平方差公式分別變?yōu)?，，，……，，可以發(fā)現(xiàn)如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先將原式乘4后進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)果后除以4就得到原式的值了．原式【考點(diǎn)七】巧算法其七：錯位相減法與等比數(shù)列?！痉椒c(diǎn)撥】錯位相減法是常見的數(shù)列求和方法，通常步驟如下：1.設(shè)原式=m，作為①式；2.兩邊同時乘或除以公比進(jìn)行擴(kuò)大或縮小，得到的式子作為②式；3.兩式相減，錯位抵消，求出結(jié)果?！镜湫屠}1】其一。簡便計(jì)算。1+2+4+8+16+?+256+512解析：本題中的數(shù)成等比數(shù)列，其中公比為2。解：設(shè)m=1+2+4+8+16+?+256+512①兩邊同時乘2得：2m=2+4+8+16+?+256+512+1024②①②得：M=10241=1023即原式=1023【對應(yīng)練習(xí)】簡便計(jì)算。3+6+12+24+48+96+384+768解析：1533【典型例題2】其二。簡便計(jì)算。解析：設(shè)m=①兩邊同時乘3得：3m=②②①得：2m=1即m=【對應(yīng)練習(xí)1】簡便計(jì)算。解析：【對應(yīng)練習(xí)2】簡便計(jì)算。解析：【典型例題3】其三。簡便計(jì)算。解析：＝＝＝＝＝＝＝【對應(yīng)練習(xí)】簡便計(jì)算。+++++++解析：7【考點(diǎn)八】巧算法其八：分組法。【方法點(diǎn)撥】分組法一般步驟：1.觀察算式，尋找規(guī)律，進(jìn)行分組；2.如果有公因數(shù)時，先提取公因數(shù)，再按規(guī)律進(jìn)行計(jì)算。【典型例題1】其一。計(jì)算。2001－1998＋1995－1992＋…＋15－12＋9－6＋3解析：【對應(yīng)練習(xí)】計(jì)算。50+49﹣48﹣47+46+45﹣44﹣43+…﹣4﹣3+2+1。解析：50+49﹣48﹣47+46+45﹣44﹣43+…﹣4﹣3+2+1=（50﹣48）+（49﹣47）+…+（6﹣4）+（5﹣3）+2+1=2+2+2+…+2+1=2×25+1=51【典型例題2】其二。簡便計(jì)算。解析：原式====【對應(yīng)練習(xí)1】簡便計(jì)算?！敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)減法的性質(zhì)，將算式變?yōu)?，然后根?jù)乘法分配律，將算式變?yōu)?，再?jì)算括號里面的減法和加法，然后計(jì)算括號外面的乘法，最后計(jì)算括號外面的減法?！驹斀狻浚剑剑剑剑健緦?yīng)練習(xí)2】簡便計(jì)算?！敬鸢浮?90【分析】根據(jù)加法交換律和減法的性質(zhì)，將算式變?yōu)?，然后根?jù)乘法分配律，將算式變?yōu)?，再?jì)算出，接著將首尾相加，將算式變?yōu)?，然后?jì)算出小括號里面的加法，最后去掉括號進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻浚剑剑剑剑剑剑剑健究键c(diǎn)九】巧算法其九：換元法（字母代換法）。【方法點(diǎn)撥】在計(jì)算過程中，有些式子很長，計(jì)算復(fù)雜，那么就可以用字母代替式子中的一部分，使計(jì)算簡便，這樣的方法成為換元法，也叫字母代換法1.一般情況下，設(shè)最短式子為A，次短式子為B；2.單獨(dú)分離整數(shù)，即整數(shù)不包括在A、B之內(nèi)。【典型例題】簡便計(jì)算?！敬鸢浮俊痉治觥苛睿紸，＝B，將原式改寫成含字母A、B的式子，再根據(jù)乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c將式子化簡，最后再把A、B換回原來的式子計(jì)算出結(jié)果?！驹斀狻苛睿紸，＝B；原式＝A×（B＋）－（A＋）×B＝AB＋A－AB－B＝A－B＝×（A－B）＝×[（）－（）]＝×[]＝×1＝【對應(yīng)練習(xí)1】簡便計(jì)算。【答案】【分析】假設(shè)，，把字母代入原式化簡含有字母的式子，最后再把a(bǔ)和b的值代入化簡后的式子求出結(jié)果，據(jù)此計(jì)算?！驹斀狻考僭O(shè)，原式＝＝＝＝＝＝＝＝【對應(yīng)練習(xí)2】簡便計(jì)算。解析：【對應(yīng)練習(xí)3】簡便計(jì)算?！敬鸢浮俊驹斀狻浚?+）×（++）﹣（+++）×（+）＝（++）×（+）+（++）×﹣（++）×（+）﹣×（+）＝×+（+）×﹣×（+）＝×＝.【考點(diǎn)十】巧算法其十：裂項(xiàng)法（分?jǐn)?shù)裂和與分?jǐn)?shù)裂差）?！痉椒c(diǎn)撥】1.裂項(xiàng)法：把一個分?jǐn)?shù)拆分成兩個或兩個以上分?jǐn)?shù)相減的形式，然后再進(jìn)行計(jì)算的方法叫做裂項(xiàng)法。2.常用裂項(xiàng)法公式：①；②；③；④⑤⑥【典型例題1】其一。觀察下列等式：，，，請將以上三個等式兩邊分別相加得：。（1）猜想并寫出：（

）。（2）（

）。（3）探究并計(jì)算：（

）。（4）計(jì)算：【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）先根據(jù)題中所給出的等式進(jìn)行猜想，寫出猜想結(jié)果即可；（2）根據(jù)（1）中的猜想計(jì)算出結(jié)果；（3）根據(jù)乘法分配律提取，再計(jì)算即可求解；（4）先拆項(xiàng)，再抵消結(jié)果即可求解?！驹斀狻浚?）＝＝【點(diǎn)睛】本題考查的是分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習(xí)1】簡便計(jì)算。＋＋【答案】【分析】根據(jù)裂項(xiàng)求和的方法，，，，然后根據(jù)加法交換律和加法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻浚剑剑ǎ剑ǎ剑健军c(diǎn)睛】本題考查裂項(xiàng)求和，熟練運(yùn)用交換律和結(jié)合律是解題的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習(xí)2】簡便計(jì)算?！驹斀狻浚剑剑剑健镜湫屠}2】其二。簡便計(jì)算。解析：【對應(yīng)練習(xí)】簡便計(jì)算。+++…+【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)?（﹣），=（﹣），…，因此通過拆分，加減相互抵消，解決問題．解：+++…+=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=點(diǎn)評：完成此題，注意分?jǐn)?shù)的拆分，通過加減相抵消的方法，求出結(jié)果．【典型例題3】其三。簡便計(jì)算。＝＝＝＝＝＝＝【點(diǎn)睛】此題用分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)的方法解決問題更便捷，做這類問題，應(yīng)仔細(xì)審題，找到解決的最佳途徑，運(yùn)用運(yùn)算技巧靈活解答?！緦?yīng)練習(xí)】簡便計(jì)算?！敬鸢浮?9【分析】通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：每一項(xiàng)的結(jié)果都是“2﹣分?jǐn)?shù)單位”的形式，分母為原來的分母．然后把分?jǐn)?shù)拆分，通過加減相互抵消，即可求出結(jié)果．【詳解】＝＝＝＝＝＝39＋＝39【點(diǎn)睛】此題解答的關(guān)鍵在于把分?jǐn)?shù)拆分，變成相互抵消的形式，使計(jì)算簡便．【典型例題4】其四。簡便計(jì)算。解析：【對應(yīng)練習(xí)】簡便計(jì)算。解析：【典型例題5】其五。簡便計(jì)算?！敬鸢浮俊痉治觥糠帜甘莾蓚€連續(xù)自然數(shù)的乘積，分子是兩個連續(xù)自然數(shù)的平方和。把分?jǐn)?shù)進(jìn)行拆分與裂項(xiàng)。，＝2＋，＝2＋……，。＝1－，＝－，＝－……＝－，＝－?！驹斀狻浚?＋＋2＋＋2＋＋……＋2＋＋2＋＝2×19＋（＋＋＋……＋＋）＝3