專題09空間角距離的計算

專題專題09空間角、距離的計算知識點一直線與平面所成的角知識點一直線與平面所成的角1.定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．(2)規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角等于0°.因此，直線與平面所成的角的范圍是[0°，90°].知識點二知識點二二面角1.有關(guān)概念：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面．從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．2.平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個二面角的平面角.如圖，OA?α，OB?β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角.3.范圍：[0，π]4.記法：棱為l，面分別為α，β的二面角記為α－l－β.如圖所示，也可在α，β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點P，Q，將這個二面角記作二面角P－l－Q5.度量：二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角知識點三知識點三點到平面的距離定義：從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫作這個點到這個平面的距離.知識點四知識點四直線與平面間的距離定義：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫作這這條直線和這個平面的距離.知識點五知識點五平行平面間的距離與兩個平行平面都垂直的直線，叫作這兩個平行平面的公垂線.它夾在這兩個平行平面間的線段，叫作這兩個平行平面的公垂線段.公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的距離.考點01直線與平面所成角（函數(shù)值）的計算【典例1】（2023·全國·高一專題練習）正方體中，直線與平面所成角大小為______．【答案】30°##【分析】由線面角的定義及線面垂直的判定找到線面角的平面角，進而求其大小.【詳解】如下圖，由正方體性質(zhì)知：，且，即，又面，面，故，由，面，故面，所以為直線與平面所成角的平面角，顯然，又，故.故答案為：【典例2】（2023·高一課時練習）如圖，長方體，，，，是棱上的一個動點，若點運動到棱靠近的一個三等分點時，恰有，求此時與平面所成的角__________．【答案】【分析】結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特點，可知與平面所成的角為，由及勾股定理可得，進而可求出得出結(jié)果.【詳解】長方體中，因為，，所以，，，因為底面，平面，所以，所以與平面所成的角為，，由條件可得，解得，因此，因為，所以，與平面所成的角為，故答案為：【典例3】（2023·高一課時練習）在長方體中，，，是中點，求：(1)與平面所成的角；(2)與平面所成的角．【答案】(1)(2)【分析】(1)連接，根據(jù)平面，可得即為直線與平面所成的角的平面角，解三角形即可；(2)連接，根據(jù)平面，可得即為直線與平面所成的角的平面角，解三角形即可.【詳解】（1）如圖，連接，因為平面，所以為在平面上的射影，故即為直線與平面所成的角的平面角，又平面，所以，在中，，所以，得，即直線與平面所成的角的大小是；（2）連接，因為平面，所以為在平面上的射影，所以即為直線與平面所成的角的平面角，又面，所以，因為，所以在中，，得，即直線與平面所成的角的大小是.【總結(jié)提升】求線面角的方法：(1)求直線和平面所成角的步驟：①尋找過斜線上一點與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角．(2)求線面角的技巧：在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點，比如中心、垂心、重心等．考點02二面角（函數(shù)值）的大小【典例4】（2023·全國·高一專題練習）點在二面角的平面上，點到平面的距離為，點到棱的距離為，則二面角的大小為______．【答案】或【分析】根據(jù)二面角的定義，結(jié)合勾股定理分類討論進行求解即可.【詳解】當二面角為鈍角時，如下圖所示：設，連接，因為，所以，而平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角的補角，在直角三角形中，，所以二面角的大小為，同理當二面角為銳角時，二面角的大小為，故答案為：或【典例5】（2023·高一課時練習）若正四棱錐的側(cè)面是正三角形，則它的側(cè)面與底面所成角的大小是______.【答案】【分析】如圖所示，為對角線的交點，為的中點，說明，則即為側(cè)面與底面所成角的平面角，解即可得解.【詳解】解：正四棱錐的四個側(cè)面與底面所成角相等，如圖所示，為對角線的交點，為的中點，則底面，，則，則即為側(cè)面與底面所成角的平面角，設棱錐的棱長為，則，在中，，所以，即正四棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小是.故答案為：.【典例6】（2023·高一課時練習）已知平面ABCD，ABCD是正方形，異面直線PB與CD所成的角為．(1)二面角的大??；(2)直線與平面所成的角的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）作于E，連接ED，由已知推導出就是二面角的平面角，由此根據(jù)余弦定理得出，即可得出答案；（2）還原棱錐為正方體，作于F，連接，即可推導出就是直線與平面所成的角，即可求出答案.【詳解】（1）ABCD是正方形，，就是異面直線PB與CD所成的角，即，平面ABCD，平面ABCD，，，作于E，連接ED，在與中，，，，，，就是二面角的平面角，設，則，，則，則，即，二面角的大小為；（2）還原棱錐為正方體，作于F，平面平面，，平面，連接，則就是直線與平面所成的角，，，，即，直線與平面所成的角為.【規(guī)律方法】1.求二面角大小的步驟：簡稱為“一作二證三求”．作平面角時，一定要注意頂點的選擇．2．作二面角的平面角的方法：方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如右圖所示，∠AOB為二面角α－a－β的平面角．方法二：(垂線法)過二面的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角．如圖所示，∠AFE為二面角A－BC－D的平面角．方法三：(垂面法)過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖所示，∠AOB為二面角α－a－β的平面角．考點03點到平面距離的計算【典例7】（2023·高一單元測試）如圖，在直三棱柱中，，，，M為的中點.(1)證明：平面；(2)求點A到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用線面平行的判定定理證明；(2)利用等體積法求解.【詳解】（1）連接交于點，連接，則有為的中點，M為的中點，所以，且平面，平面，所以平面.（2）連接,因為，所以,又因為平面，平面，所以，,所以平面,又因為平面,所以,又，所以是等腰直角三角形，,所以,,設點A到平面的距離為，因為,所以,所以.【典例8】（2023春·全國·高一專題練習）如圖，是圓柱的一條母線，是底面的一條直徑，是圓上一點，且，.(1)求直線與平面所成角正弦值；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）由線面垂直判定可知平面，由線面角定義知所求角為，由長度關(guān)系可得結(jié)果；（2）過作，由面面垂直的判定與性質(zhì)可知即為所求距離，利用面積橋可求得結(jié)果.【詳解】（1）平面，平面，，；是圓的直徑，，又，平面，平面，即為直線與平面所成角，，，，又，，即直線與平面所成角的正弦值為.（2）過作，垂足為，由（1）得：平面，平面，平面平面，又平面平面，平面，，平面，，，根據(jù)等面積法知：，，即到平面的距離等于.【典例9】（2023·全國·高一專題練習）如圖，在三棱錐中，為的中點.(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，，結(jié)合線面垂直的判定即可證；（2）點O到平面PAC距離，即為三棱錐面PAC的高，計算出與即可.【詳解】（1）證明：因為為的中點，所以.連接，因為，所以.又，所以，所以.因為平面平面，所以平面.（2）因為，所以，.，.設點到的距離為，則，則.設點到平面的距離為，則.因為，所以，解得，即點到平面的距離為.【總結(jié)提升】1.利用垂直關(guān)系，構(gòu)造直角三角形；2．利用“等積法”．考點04直線與平面間距離的計算【典例10】（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中校考階段練習）如圖，在長方體中，.(1)求直線與平面的距離；(2)求四棱錐的體積；【答案】(1)(2)【分析】（1）先證得平面，然后利用等面積法求得直線與平面的距離.（2）根據(jù)錐體體積公式求得正確答案.【詳解】（1）由于平面平面，所以平面.過作，垂足為，根據(jù)長方體的性質(zhì)可知，由于平面，所以平面，在直角三角形中，，，解得，所以直線與平面的距離為.（2）由（1）知，四棱錐的高為，所以.【典例11】（2023·高一課時練習）設正方體的棱長是2，求棱和平面的距離．【答案】【分析】根據(jù)已知得出，即可得出平面，即可求出點到平面的距離，根據(jù)平面，得出到平面的距離即A到平面的距離，即可得出答案.【詳解】連接BD、AC，為正方體，四邊形ABCD為正方形，，，，平面，到平面的距離為，平面，到平面的距離即A到平面的距離，棱和平面的距離為.【典例12】（2023春·全國·高一專題練習）已知正方體的棱長為，分別是的中點．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由；(3)求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)存在，(3)【分析】（1）由平行四邊形和三角形中位線性質(zhì)可證得，由線面平行判定可得結(jié)論；（2）取中點，由等腰三角形三線合一性質(zhì)和勾股定理可證得，，由線面垂直的判定可得平面，進而得到的長；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論可知所求距離為的長，由（2）可知.【詳解】（1）連接，，，四邊形為平行四邊形，；分別為中點，，，平面，平面，平面.（2）取中點為，，，，，又，，，又，，則，，平面，平面，此時，則線段上存在點，為中點，使得平面，此時.（3）平面，到平面的距離即為點到平面的距離，由（2）知：當為中點時，平面，則點到平面的距離即為，又，直線到平面的距離為.【總結(jié)提升】利用圖形特征，找出或作出表示距離的線段；轉(zhuǎn)化成點到平面的距離問題．考點05平行平面間距離的計算【典例13】（2022·高一課時練習）兩平行平面，之間的距離為，直線與平面，分別交于A，兩點，點，若，則點P到平面的距離為_________．【答案】或【分析】作圖，利用三角形的相似比可得.【詳解】設點P到平面的距離為，到平面的距離為．當P在平面，之間時，；當P在平面，同側(cè)時，∵，∴，，∴，．∴點P到平面的距離為或．故答案為：12cm或36cm【典例14】（2023春·全國·高一專題練習）如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點，且，D、F、G分別是、、的中點，與相交于．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知條件得平面，從而，又，由此能證明平面．（2）由已知條件推導出平面，平面，由此能證明平面平面．由已知條件推導出為平行平面與之間的距離，由此能求出結(jié)果．【詳解】（1）證明：由直三棱柱的性質(zhì)得平面平面，又，平面平面，平面，平面，又平面，，，在和中，，，即，又，平面平面．（2）解：由題意知，在中，，又，，平面，平面，平面，、分別為、的中點，，又，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面平面．平面，平面平面，平面，為平行平面與之間的距離，，即平面與之間的距離為．1．（2022·全國甲（文）T9）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A. B.AB與平面所成的角為C. D.與平面所成的角為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對于A，，，，A錯誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因為，所以，B錯誤；對于C，，，，C錯誤；對于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．2.【多選題】（2022·新高考Ⅰ卷T9）已知正方體，則（）A.直線與所成的角為 B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為 D.直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設，連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD3.（2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．【答案】【解析】作分別垂直于，平面，連接，由題意可知，，平面，又平面，，，，，，又易知，為的平分線，，又，．一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習）在空間內(nèi)，直線與平面所成角的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間中線面角的定義即可求解.【詳解】空間內(nèi)，直線與平面平行或者直線在平面內(nèi)，此時直線與平面所成角為0，當直線與平面垂直時，直線與平面所成角為，故直線與平面所成角的取值范圍是,故選：D2．（2023·全國·高一專題練習）如圖，二面角的平面角為銳角，是內(nèi)的一點（它不在棱上），點是在平面內(nèi)的射影，點是上滿足為銳角的任意一點，那么（

）A．B．C．D．無法確定與的大小關(guān)系【答案】A【分析】過C向AB做垂線交AB于F，連接DF，由直角三角形可知，再由的正切即可比較大小.【詳解】過C向AB做垂線交AB于F，連接DF，如圖，因為，，所以，因為，，，平面，所以AB面CDF，平面，所以，在直角三角形CDF中，CF為斜邊DF為直角邊，所以，在直角三角形中，，在直角三角形DEF中，，由知，故選：A3．（2023·高一課時練習）正四面體的側(cè)棱與底面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，在正四棱錐中，為的中心，則底面，再解即可.【詳解】解：如圖所示，在正四棱錐中，為的中心，則底面，為邊上的中線，，所以即為側(cè)棱與底面所成角的平面角，設正四面體的棱長為，則，在中，，即正四面體的側(cè)棱與底面所成角的正弦值是.故選：C.4．（2023·高一課時練習）正四棱錐中，E是AB上一點（不與端點重合），設SE與BC所成角大小為，SE是平面ABCD所成角大小為，二面角大小為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意作出輔助線，再利用線線、線面、二面角的定義得到，，，進而推得，，，，，從而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，，由此即可判斷的大小.【詳解】設點為點在底面的投影點，點為的中點，作過點作直線，且點為直線的中點，，，點為點在底面的投影點，底面，底面，，且，為正四棱錐，點為點在底面的投影點，點為底面的中心，又點為的中點，，，，底面，底面，，，且平面，平面，平面，平面，，，，，點為直線的中點，且，，且，又，，，四邊形是平行四邊形，，即，，又，，平面，平面，平面，又平面，，在中，，在中，，，在中，，，在中，為斜邊，為直角邊，則，當點在線段上運動中，與重合時，，則，則，與都為銳角，則，在中，為斜邊，為直角邊，則，當點在線段上運動中，與重合時，，則，且，則，，與都為銳角，則，，綜上所述：，故選：A.二、多選題5．（2023·全國·高一專題練習）如圖，平面，正方形邊長為1，E是CD的中點，F(xiàn)是AD上一點，當時，則（

）A．B．C．若PA=1，則異面直線PE與BC所成角的余弦值為D．若PA=1，則直線PE與平面所成角為【答案】BC【分析】連接，證明，計算判斷AB；求出異面直線夾角余弦、線面角的正弦判斷CD作答.【詳解】連接，如圖，因為平面，平面，則，而，平面，于是平面，又平面，因此，在正方形中，，，則，，A錯誤，B正確；取中點，連接，則，為異面直線PE與BC所成的角或其補角，而平面，平面，有，又，平面，則有平面，平面，于是，，因此，C正確；由平面知，是直線PE與平面所成的角，，顯然，D錯誤.故選：BC三、填空題6.（2023春·全國·高一專題練習）已知如圖邊長為的正方形外有一點且平面，，二面角的大小的正切值______．【答案】【分析】由線面垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合二面角平面角定義可知所求角為，根據(jù)長度關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】設，連接，平面，平面，，，四邊形為正方形，，，平面，平面，又平面，，是二面角的平面角，由，得：.故答案為：.7．（2023·高一課時練習）設二面角的大小為45°，A為棱上一點，在內(nèi)與成45°角，則與平面所成角的大小為_____．【答案】30°##【分析】過作，交于，在平面內(nèi)作，過點作，交于，由已知條件推導出是直線與平面所成的角，由此能求出線段與平面所成角的大小．【詳解】如圖，過點作于，在平面內(nèi)作交于，連接，由于，，平面，所以平面，平面，故是二面角的平面角，即，由，設，由于平面，平面，平面，，，，平面，是直線與平面所成的角，，，，，由于為銳角，，故答案為：30°四、解答題8.（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在正四棱錐中，.(1)求側(cè)棱與底面所成角的大小；(2)求二面角的大小的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)線面角的定義可證得為所求角，設等邊的邊長為，由長度關(guān)系可求得，從而得到結(jié)果；（2）由二面角平面角定義可知為所求二面角的平面角，由長度關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）設底面正方形的中心為，連接，由正四棱錐結(jié)構(gòu)特征知：平面，即點在平面上的投影為，為側(cè)棱與底面所成角，在中，，，為等邊三角形，設其邊長為，平面，平面，，在中，，，，，即側(cè)棱與底面所成角的大小為.（2）取的中點為，連接，在正方形中，；在等邊中，，為二面角的平面角，平面，平面，；在中，，，，二面角的大小的余弦值為.9.（2023·高一課時練習）如圖，在長方體中，，點為的中點．(1)求直線與平面所成的角；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】(1)連接BP，則平面，得為直線AP與平面所成角，利用線面垂直的性質(zhì)求出即可求解；(2)過點P作，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理可得平面，即PE為點P到平面的距離，求出PE即可.【詳解】（1）連接BP，則，在長方體中，平面，所以為直線AP與平面所成角，由平面，得，即，由，得，所以直線AP與平面所成的角為；（2）過點P作，垂足為E，在長方體中，平面，平面，得，又平面，所以平面，即PE為點P到平面的距離，而，所以點P到平面的距離為.10.（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中點為F.(1)求證：平面；(2)求直線到面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）連接BD交AC于O，連接FO，得，根據(jù)線面平行的判定可得平面；（2）根據(jù)線面平行，將線到面的距離化為點到面的距離，再根據(jù)等體積法可求出結(jié)果.【詳解】（1）連接BD交AC于O，連接FO，∵F為AD的中點，O為BD的中點，則，∵平面ACF，平面ACF，∴平面ACF.（2）因為平面平面ABCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD.由于平面ACF，則PB到平面ACF的距離，即P到平面ACF的距離.又因為F為PD的中點，點P到平面ACF的距離與點D到平面ACF的距離相等.取AD的中點E，連接EF，CE，則，因為平面ABCD，所以平面ABCD，因為平面，所以，因為菱形且，，所以，，則，，，，設點D到平面ACF的距離為，由得即直線PB到平面ACF的距離為.11.（2023·高一課時練習）如圖，四棱錐中，平面，，．過點作直線的平行線交于為線段上一點．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（